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Com excec¸a˜o da Questa˜o 9, em todas as questo˜es da prova con- sidera-se fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E), onde E e´ uma base ortonormal positiva de V3. 1Q1. Assinale a alternativa que conte´m uma afirmac¸a˜o FALSA: (a) (~u ∧ ~v) · ~w = (~w ∧ ~u) · ~v, para quaisquer ~u, ~v, ~w ∈ V 3; (b) (~u ∧ ~v) · ~w = ~u · (~v ∧ ~w), para quaisquer ~u, ~v, ~w ∈ V 3; (c) se [~u,~v, ~w] < 0 enta˜o F = (~u,~v, ~w) e´ uma base negativa de V 3; (d) [~u,~v, ~w] = [~u,~v − ~u+ ~w, ~w], para quaisquer ~u, ~v, ~w ∈ V 3; (e) se [~u,~v, ~w] = 1 enta˜o [~u+ ~v,~v + ~w, ~u] = 2. 1Q2. Considere o paralelep´ıpedo ABCDEFGH ilustrado na figura abaixo: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � r r A B CD E F GH N M Sabendo-se que o volume de ABCDEFGH e´ 36, que 3 −−→ BM = −−→ BC e que N e´ o ponto me´dio do segmento CG, pode-se afirmar que o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −−→ AM , −−→ AN e −→ AE e´ igual a: (a) 108; (b) 24; (c) 36; (d) 144; (e) 72. 1Q3. Seja λ ∈ R e considere os vetores: ~u = (λ,−2λ,−3λ), ~v = (−1, 0, 1), ~w = (1, 0, 0). Sabendo-se que o volume do paralelep´ıpedo determinado por ~u, ~v e ~w e´ igual a 4, pode-se afirmar que λ e´ igual a: (a) 2; (b) 13 ; (c) −2; (d) 13 ou −13 ; (e) 2 ou −2. 1Q4. Considere os planos: pi1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, pi2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0, e a reta r : X = (x0, y0, z0) + λ(m,n, p), λ ∈ R. Assinale a alternativa contendo uma afirmac¸a˜o FALSA: (a) pi1 e pi2 sa˜o perpendiculares se e somente se a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0; (b) se pi1 e pi2 sa˜o concorrentes enta˜o o produto vetorial de ~η1 = (a1, b1, c1) por ~η2 = (a2, b2, c2) e´ um vetor diretor da reta pi1 ∩ pi2; (c) se r e´ paralela a pi2 enta˜o a2m+ b2n+ c2p = 0; (d) r e´ perpendicular a pi1 se e somente se a1m+ b1n+ c1p = 0; (e) se pi1 e pi2 sa˜o paralelos enta˜o existem nu´meros reais na˜o nulos α, β tais que α(a1, b1, c1) + β(a2, b2, c2) = (0, 0, 0). 1Q5. Considere a reta r : X = (1, 1, 1) + λ(−2, 1, 0), λ ∈ R, o plano pi1 : x + 2y − z = 0 e o ponto P = (1, 1,−2). Sabendo-se que o plano pi2 conte´m r e intercepta pi1 perpendicularmente, pode-se afirmar que a distaˆncia entre P e pi2 e´ igual a: (a) √ 30 2 ; (b) 5 √ 6 8 ; (c) 15√ 8 ; (d) 15; (e) 15√ 94 . 1Q6. Considere os planos pi1 : x + y − z − 1 = 0, pi2 : −x + y = 0, a reta r = pi1 ∩pi2 e a reta s : X = (2, 1, 0)+λ(1, 0, 1), λ ∈ R. Pode-se afirmar que a distaˆncia entre r e s e´: (a) 23 ; (b) 2; (c) 2√ 3 ; (d) 1√ 3 ; (e) 0. 1Q7. Considere os planos: pi1 : 6x− 3y + 6z + 3 = 0, pi2 : 4x− 2y + 4z + 8 = 0. A distaˆncia entre pi1 e pi2 e´: (a) 1; (b) 4; (c) 52 ; (d) 5; (e) 112 . 1Q8. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) se A1 = (x1, y1, z1), A2 = (x2, y2, z2) sa˜o pontos de um plano pi enta˜o C = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) tambe´m e´ um ponto de pi; (II) os pontos X da forma X = (1, 0, 2) + λ(1, 2,−1) + µ(2, 4,−2) des- crevem um plano quando λ e µ percorrem todos os nu´meros reais; (III) para quaisquer retas r e s, existem infinitos planos distintos paralelos a r e a s que sa˜o equidistantes de r e s. Pode-se afirmar que: (a) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira; (b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras; (c) todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas; (d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira; (e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras. 1Q9. Considere o cubo ABCDEFGH ilustrado na figura abaixo: � � � � � � � � � � � � A B CD E F GH e o sistema de coordenadas Σ = (A, E) em E3, onde E = (−−→AB,−→AC,−→AF ). Se pi denota o plano determinado pelos pontos B, D e F , pode-se afirmar que uma equac¸a˜o geral no sistema Σ para pi e´: (a) 2x+ 2y + z − 1 = 0; (b) x+ y + z − 1 = 0; (c) x+ 2y + z − 1 = 0; (d) −x− y − z + 4 = 0; (e) −x− 2y − 2z + 4 = 0. 1Q10. Considere o plano pi : 2x+ y + 2z − 3 = 0, a reta: r : X = (1, 0, 2) + t(2,−4, 3), t ∈ R, e um ponto P sobre a reta r cuja distaˆncia a pi seja igual a 3. Pode-se afirmar que a soma das coordenadas de P e´: (a) 3 ou 5; (b) 4 ou 1; (c) 2 ou 3; (d) 3 ou 1; (e) 4 ou 5. 1Q11. A projec¸a˜o ortogonal do ponto P = (0, 1, 1) sobre a reta: r : X = (−2, 0, 0) + λ(1, 2, 4), λ ∈ R, e´ um ponto cuja soma das coordenadas e´ igual a: (a) 13 ; (b) 23 ; (c) −43 ; (d) 43 ; (e) −23 . 1Q12. Seja m ∈ R e considere as retas: r : x− 1 = y + 1 2 = −z + 1, s : X = (m+ 1, 1, 0) + λ(1, 3,−1), λ ∈ R. Sabendo-se que r e s sa˜o concorrentes, pode-se afirmar que a soma das coordenadas do ponto de intersec¸a˜o entre r e s e´: (a) 3; (b) 1; (c) 0; (d) 2; (e) 4. 1Q13. Considere o vetor ~u = (1, 1, 1) e as retas: r : X = (2, 3, 1) + λ(1, 0, 1), λ ∈ R, s : X = (3, 4, 1) + µ(0, 1, 1), µ ∈ R. Sabendo-se que t e´ uma reta paralela a ~u que intersecta as retas r e s respectivamente nos pontos R e S, pode-se afirmar que a soma da soma das coordenadas de R com a soma das coordenadas de S e´ igual a: (a) 17; (b) 16; (c) 14; (d) 18; (e) 15. 1Q14. Sejam m,n ∈ R e considere o sistema linear: x+ y − z = 1, 2x+my − 2z = n, 3x− y − 4z = 0. Sabendo-se que esse sistema na˜o possui soluc¸a˜o, pode-se afirmar que: (a) m 6= 2 e n = 2; (b) m = 2 e n = 2; (c) m = 1 e n 6= 2; (d) m 6= 2 e n 6= 2; (e) m = 2 e n 6= 2. 1Q15. Suponha que o ponto P = (2, 3,−2) seja ve´rtice de um losango que possui uma diagonal contida na reta r : x = y = z. Se Q e´ o outro ve´rtice desse losango que na˜o pertence a r, pode-se afirmar que a soma das coordenadas de Q e´ igual a: (a) 4; (b) 3; (c) 6; (d) 5; (e) 2. 1Q16. Considere o vetor ~a = (3,−1, 2), a reta: r : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1), λ ∈ R, e o plano pi : x − y + 2z − 1 = 0. Sabendo-se que ~a = ~b + ~c, sendo ~b um vetor paralelo a r e ~c um vetor paralelo a pi, pode-se afirmar que a soma das coordenadas de ~b e a soma das coordenadas de ~c sa˜o respectivamente iguais a: (a) 22 e −12; (b) 16 e 5; (c) 16 e 6; (d) 22 e 12; (e) 16 e −12. 1Q17. Seja m ∈ R e considere as retas: r : { x−my = 0, mx− 2y − z + 1 = 0, s : X = (1, 0, 2) + λ(m, 1,m), λ ∈ R. Pode-se afirmar que: (a) se m = 2 ou m = −1 enta˜o as retas r e s sa˜o reversas; (b) para todo m as retas r e s sa˜o paralelas; (c) se m = 2 ou m = −1 enta˜o as retas r e s sa˜o concorrentes; (d) para todo m as retas r e s determinam um plano; (e) na˜o existe m de modo que as retas r e s sejam concorrentes. 1Q18. A medida em radianos do aˆngulo entre os vetores ~a e ~b e´ pi3 e o vetor ~c e´ ortogonal a ~a e a ~b. Sabendo-se que ‖~a‖ = 1, ‖~b‖ = 2 e que ‖~c‖ = 4, pode-se afirmar que o volume do tetraedro determinado pelos vetores ~a, ~b e ~c e´ igual a: (a) 13 ; (b) √ 3 3 ; (c) 2 √ 3 3 ; (d) 23 ; (e) 4 √ 3 3 . 1Q19. Considere o ponto P = (1, 1, 2) e o plano pi : x + y − z + 1 = 0. A soma das coordenadas do ponto sime´trico a P em relac¸a˜o ao plano pi e´ igual a: (a) 103 ; (b) 13 ; (c) 4; (d) 3; (e) 53 . 1Q20. Seja m ∈ R e considere o sistema linear: x+ y − z = 1, x− y − z = 1, 3x− y −mz = 0. Sabendo-se que esse sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o, pode-se afirmar que: (a) m = −3; (b) m 6= 3; (c) m 6= 3 e m 6= −3; (d) m = 3; (e) m 6= −3.
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