2 AULA6.

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MARINHA DO BRASIL
COLÉGIO NAVAL
MATEMÁTICA
1T(RM2-T) AMANDA SILVÉRIO
1T(RM2-T) CAROLINA
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IV) DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE POR RECORRÊNCIA
V) TEOREMA FUNDAMENTAL (DE LAPLACE)
EXERCÍCIOS
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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I) Introdução
Nós todos estamos familiarizados com funções do tipo 
f(x) = sen x e f(x) = x², que associam um número real f(x) a 
um valor real da variável x. Como ambos x e f(x) tomam 
apenas valores reais, tais funções são descritas como 
funções reais de uma variável real. Neste capítulo nós 
vamos estudar “funções determinante”, que são funções 
reais de uma variável matricial, o que significa que 
associam um número real f(X) a uma matriz quadrada X. 
Nosso trabalho com as funções determinante vai gerar 
aplicações importantes à teoria de sistemas de equações 
lineares e também vai nos levar a uma fórmula explícita 
da inversa de uma matriz invertível.
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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II) Definição
Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos 
reais. Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos 
determinante da matriz M (e indicamos por det M) o número que 
obtemos operando com os elementos de M da seguinte forma:
1º) Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, então det A é o único 
elemento de A.
 A = [a11] 
det A = det [a11] = a11
 
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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2º) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2:
 
A = 
 
 o seu determinante é a11 . a22 a12 . a21
 
 
Para substituir a notação det = usa-se a notação = 
na qual se utilizam barras verticais "cercando" os elementos de A.
 
 
det A = = a11 . a22 a12 . a21
 
 
 
 
 
Então:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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3º) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3:
 
A = 
 
o seu determinante é:
 a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13 a13 . a22 . a31  
a12 . a21 . a33 a23 . a32 .a11
 
Obs: Existe para o determinante de 3ª ordem uma regra prática, chamada 
regra de Sarrus que consiste no seguinte:
 1º) repetimos a primeira e segunda colunas à direita da matriz;
2º) multiplicamos os três elementos da diagonal principal e os das 
paralelas a esta diagonal;
3º) multiplicamos os três elementos da diagonal secundária e os das 
paralelas a esta diagonal, e trocamos os sinais destes produtos;
4º) somamos os resultados obtidos.
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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III) Menor complementar e complemento algébrico
Def.: Seja A uma matriz quadrada, de ordem n , n 2, e seja aij um 
elemento qualquer de A. Definimos menor complementar do elemento 
aij, e indicamos por Mij, como sendo o determinante da matriz que se 
obtém suprimindo linha i e a coluna j de A.
Exemplos:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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Def.: Seja A uma matriz quadrada de ordem n , n 2, e seja aij um 
elemento qualquer de A . O número:
 
 
  
chama-se complemento algébrico ou cofator do elemento aij.
Exemplos:
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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IV) Definição do determinante por recorrência 
Vimos até aqui a definição de determinantes para matrizes quadradas de 
ordem 1, 2 e 3.
Agora, a partir do conceito de cofator, definiremos determinante para uma 
matriz de ordem n, qualquer.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Define se:
Para n = 1: A = [a11] e det A = [a11] = a11
 
Para n 2 :  
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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Então o determinante de um a matriz quadrada de ordem n, n 2, é a 
soma dos produtos dos elementos da primeira coluna da matriz pelos 
respectivos cofatores.
  Exemplos:
 
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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V) Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n 2. O seu determinante é a 
soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer 
pelos respectivos cofatores.
Isto é,
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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Obs.: A escolha da linha (ou coluna) para o cálculo de um determinante 
deve ser adequada: a fila escolhida deve ser aquela que possua mais 
zeros. Para cada zero da fila escolhida corresponde um cofator que não 
precisa ser calculado.
 
 Exemplos:
 
1º) Consideremos a matriz A = 
 CAPÍTULO V- DETERMINANTES
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Exercícios:
1) Calcule o determinante da matriz quadrada A = (aij), de ordem 3, 
onde aij =
2) Calcule os valores de x que tornam iguais os determinantes das 
matrizes
3) Calcule: a) b)
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