Multiplicadores de Lagrange _ Teoria e Exercicio

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO III 
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 
 
 
Suponha que queiramos encontrar os extremos relativos de uma função de uma função f 
(x,y,z), sujeito ao vínculo g(x,y,z) = 0. Introduzimos uma nova variável , chamada de 
multiplicador de Lagrange e formamos a função auxiliar F para a qual 
 
F(x,y,z,) = f (x,y,z) + g(x,y,z) = 0 
 
O problema consiste, portanto, em encontrar os pontos críticos da função F de quatro 
variáveis x, y, z e  para os quais se anulam as quatro derivadas parciais primeiras de F. 
 
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 F = 0 
 
Ou seja, ( ) ( ). 
 
 
1. Determine os pontos da esfera que estão mais próximos e mais afastados do ponto (3,1,-1). 
Resp.: Prox: (6/11,2/11,-2/11) e Afast: (-6/11, -2/11, 2/11). 
 
2. O plano x + y + 2z = 2 intercepta o paraboloide z = x2 + y2 em uma elipse. Determine os 
pontos dessa elipse que estão mais próximos e mais longe da origem. Resp.: Prox. 
(1/2,1/2,1/2) e Afast. (-1,-1,2). 
 
3. Um disco circular é a região limitada pela circunferência x2 + y2 = 1. Se T graus for a 
temperatura em qualquer ponto do disco e T = 2x2 + y2 – y, ache o ponto mais quente e mais 
frio do disco usando o método do Multiplicador de Lagrange. Resp.: mais quente ( 
√ 
 
 
 
 
) e 
mais frio (0,1/2). 
 
4. A produção total P de certo produto depende da quantidade L de trabalho empregado e da 
quantidade K de capital investido. No modelo de Cobb-Douglas: P = bLαK1-α segue a partir de 
determinadas suposições, onde b e α são constantes positivas e α < 1. Se o custo por unidade 
de trabalho for m e o custo por unidade de capital for n, e uma companhia puder gastar 
somente uma quantidade p de dinheiro como despeja total, então a maximização da 
produção P estará sujeita à restrição mL + nK = p. Mostre que a produção máxima ocorre 
quando 
 
 
 e 
( ) 
 
 . 
 
5. Utilize o Multiplicador de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, e 
que tem um perímetro constante p, é um quadrado.