Lista de Exerc+¡cios Fluxo do Vetor Campo El+®trico & Lei de Gauss

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1 
 
Colégio Naval 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Victor Rocha Rodrigues da Silva - 3ª Série do Ensino Médio - 2o bimestre / 2013 
 
 
LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 
(Fluxo do Vetor Campo Elétrico & Lei de Gauss) 
 
 
I - Fluxo do Vetor Campo Elétrico (Fluxo Elétrico) 
 
 
1) Considere uma caixa triangular fechada sendo atravessada por um campo elétrico uniforme e horizontal de 
magnitude 7,80 
.
 10
4
 N/C como mostra a figura. Calcule o fluxo do vetor campo elétrico (fluxo elétrico) através 
da: 
 
(a) superfície retangular vertical (srv); 
(b) superfície inclinada (si); 
(c) superfície inteira da caixa. 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
O fluxo elétrico (

) de um campo elétrico uniforme através de uma superfície plana de área A é a 
grandeza física escalar definida por: 
 
E A cos    
 
 
(a) 
 
4 2 2 o
srv 7,80 10 10,0 10 30,0 10 cos180
        
 
 
3 2
srv
N
2,34 10 m
C
    
 
 
(b) 
 
o 10,0cos60
x

 
 2 
 
x 20,0 cm
 
 
4 2 2 o
si 7,80 10 20,0 10 30,0 10 cos60
        
 
 
3 2
si
N
2,34 10 m
C
   
 
 
(c) 
 
1º modo 
 
T srv si lat frente lat detrás base      
 
 
3 3
T 2,34 10 2,34 10 0 0 0        
 
 
Observações: 
 
– lateral da frente: a normal está perpendicular ao plano da página e para fora da mesma, θ = 90º. 
– lateral detrás: a normal está perpendicular ao plano da página e para dentro da mesma, θ = 90º. 
– base: a normal está perpendicular à base e para baixo, θ = 90º. 
 
2
T
N
0 m
C
  
 
 
2º modo 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
T
0
 

 
 
2
T
N
0 m
C
  
 
 3 
2) A linha ag é uma das diagonais de um cubo. A partícula com carga elétrica q está localizada na extensão da 
linha ag, muitíssimo próxima do vértice a do cubo. Determine aproximadamente o fluxo elétrico em cada uma 
das faces do cubo que apresenta o ponto a como vértice. 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
O fluxo elétrico (

) de um campo elétrico uniforme através de uma superfície plana de área A é a 
grandeza física escalar definida por: 
 
E A cos    
 
 
No presente caso, as linhas de campo elétrico que emanam da partícula com carga elétrica são 
praticamente tangentes a cada uma das 3 faces em questão, sendo assim θ = 90º, e, portanto, 
 
2
T
N
0 m
C
  
. 
 
 
 4 
II - Fluxo do Vetor Campo Elétrico (Fluxo Elétrico) & Lei de Gauss 
 
 
1) Tópicos de Física: questão 88 – pág. 63 (vide Resolução no Manual do Professor 3 localizado no interior do 
DVD) 
 
2) Tópicos de Física: questão 89 – pág. 63 (vide Resolução no Manual do Professor 3 localizado no interior do 
DVD) 
 
3) Quatro superfícies fechadas (S1, S2, S3 e S4) contêm as cargas elétricas –2Q, +Q e –Q como mostra a figura. 
Encontre o fluxo elétrico para cada uma das superfícies. 
 
 
 
Resolução: 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
S1: 
T
2Q Q 
 

 => 
T
Q
 

 
 
S2: 
T
Q Q 
 

 => 
2
T
N
0 m
C
  
 
 
S3: 
T
2Q Q Q  
 

 => 
T
2Q
 

 
 
S4: 
T
0
 

=> 
2
T
N
0 m
C
  
 
 
 5 
4) Considere um cone de altura h e com base de raio R localizada sobre um plano horizontal. Um campo elétrico 
uniforme penetra no cone como mostra a figura. Determine o fluxo elétrico através do cone. 
 
 
 
Resolução: 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
T
0
 

 
 
2
T
N
0 m
C
  
 
 
 6 
5) Uma partícula de carga elétrica q está localizada no centro de um anel com densidade linear uniforme de carga 
elétrica λ e raio a, como mostra a figura. Determine o fluxo do vetor campo elétrico (fluxo elétrico) através da 
esfera (superfície gaussiana) de raio R < a centrada na partícula. 
 
 
 
Resolução: 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
T
q
 

 
 
observação: a carga elétrica contida no anel 
anelq 2 a  
 não está localizada no interior da superfície 
gaussiana, e, portanto, não gera fluxo elétrico através desta. 
 
 7 
6) Uma linha finíssima e infinitamente longa localizada a distância d do ponto O contêm carga elétrica 
uniformemente distribuída com densidade linear de carga elétrica λ, como mostra a figura. Determine o fluxo 
elétrico total através da superfície da esfera de raio R centrada em O resultado de tal distribuição linear de 
carga elétrica para dois casos distintos: quando R < d e quando R > d. 
 
 
 
Resolução: 
 
1º caso (R < d) 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
T
0
 

 
 
2
T
N
0 m
C
  
 
 
2º caso (R > d) 
 
 
 
Teorema de Pitágoras 
 
observação: L é o comprimento da linha que está localizada dentro da esfera. 
 
2
2 2LR d
2
 
  
 
 
 
2
2 2L R d
2
 
  
 
 
 
 8 
2 2L 2 R d  
 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
T
L 
 

 
 
2 2
T
2 R d  
 

 
 
 9 
7) Na figura, uma partícula com carga elétrica q está a uma distância d / 2 diretamente acima do centro de um 
quadrado de lado d. Determine o fluxo elétrico através do quadrado? Considere para tal o meio como sendo o 
vácuo. (Sugestão: Pense no quadrado como sendo uma das faces de um cubo de aresta d.) 
 
 
 
Resolução: 
 
Considere um cubo com a partícula com carga elétrica q em seu centro. Em virtude da simetria da 
questão, pode-se afirmar que o fluxo elétrico através de cada uma de suas faces será o mesmo. Tal fato facilita 
em muito a resolução do problema! Pela Lei de Gauss pode-se determinar o fluxo elétrico total através do cubo, 
que pode ser considerado uma superfície gaussiana, e daí obter-se o fluxo elétrico através de cada uma de suas 
faces, simplesmente dividindo o fluxo elétrico total pelo número de faces do cubo, 6. 
 
Fluxo Elétrico Total através do Cubo 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
T
q
 

 
 
Fluxo Elétrico através de Cada Face do Cubo 
 
T
face
6

 
 
 
face
q
6
 

 
 
observação: é importante observar que não se pode utilizar a Lei de Gauss diretamente para o cálculo do fluxo 
elétrico através de uma das faces do cubo, já que esta somente pode ser aplicada à superfícies fechadas. 
 
E se a partícula com carga elétrica não estivesse localizada no ponto em questão? Neste caso o 
problema seria muitoooo mais difícil do que este. Pergunte ao seu professor na Escola Naval e depois me 
mande um telegrama com a resposta, ok? 
 
 10 
8) Uma partícula com carga elétrica Q positiva está localizada no centro de um cubo de aresta L. Em adição, seis 
outras partículas com cargas elétricas de mesmo módulo, porém negativas, estão posicionadas simetricamente 
ao redor de Q, como mostra a figura. Determine o fluxo elétrico através de uma das faces do cubo. 
 
 
 
Resolução: 
 
Este problema apresenta simetria semelhante ao da questão anterior. O acréscimo das 6 partículas com 
carga elétrica certamente irá alterar o fluxo elétrico total através do cubo (superfície gaussiana) em virtude da 
alteração na carga elétrica interna ou envolvida por este, como mostra a Lei de Gauss, entretanto, ainda assim 
têm-se para todas as faces do cubo valores idênticos para o fluxoelétrico. Tal fato facilita em muito a resolução 
do problema! O fluxo elétrico através de cada uma das faces do cubo pode ser obtido simplesmente dividindo o 
fluxo elétrico total pelo número de faces do cubo, 6. 
 
Fluxo Elétrico Total através do Cubo 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
T
Q 6 q 
 

 
 
Fluxo Elétrico através de Cada Face do Cubo 
 
T
face
6

 
 
 
face
Q 6 q
6
 
 

, 
 
sendo q < 0 C. 
 
E se fossem acrescentadas ao invés de 6, 5 partículas com carga elétrica negativa? Neste caso o 
problema seria muitoooo mais difícil do que este. Pergunte ao seu professor na Escola Naval e depois aproveite 
o telegrama anterior para me enviar a resposta, ok? 
 
 
 11 
III - Lei de Gauss – Relação entre Campo Elétrico (E) e Densidade Superficial de Carga Elétrica (σ) 
 
 
1) Considere um condutor eletricamente carregado e em equilíbrio eletrostático. Use a Lei de Gauss para 
determinar o módulo do vetor campo elétrico (E) em função da densidade superficial de carga elétrica (σ) para 
um ponto muito próximo de sua superfície e do lado de fora da mesma (Epróx). Para tal utilize um minúsculo 
cilindro como superfície gaussiana. 
 
 
 
Resolução: 
 
Fluxo Elétrico Total através da Superfície Gaussiana Cilíndrica 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
base fora base dentro lateral fora lateral dentro
A
       

 
 
base fora E A  
, pois θ = 0o. 
 
2
base dentro
N
0 m
C
  
, pois Eint = 0 N/C. 
 
2
lateral fora
N
0 m
C
  
, pois θ = 90o. 
 
2
lateral dentro
N
0 m
C
  
, pois Eint = 0 N/C. 
 
A
E A 0 0 0

    

 
 
A
E A

 

 
 
E



 
 
De um modo geral, contemplando a possibilidade do condutor estar negativamente carregado, têm-se: 
 
 12 
E



 
 
próxE



 
 
Já na superfície do condutor, temos: 
 
próx
sup
E
E
2

 
 
sup
1
E
2

 

 
 
Importante: Este resultado é muito importante, pois explica em parte um fenômeno curioso existente na 
natureza, o famoso “Poder das Pontas”. Em regiões com maior densidade superficial de carga elétrica (σ), o 
campo elétrico (E) é mais intenso. Resta provar que nas regiões pontiagudas, a densidade superficial de carga 
elétrica (σ) é realmente maior, tarefa esta que ficará a cabo do Tópico de Potencial Elétrico a seguir. 
 
E  
 
 
 13 
2) Considere uma esfera de raio R em equilíbrio eletrostático com carga elétrica Q positiva. Utilize o resultado 
obtido na questão anterior e obtenha o módulo do campo elétrico para um ponto qualquer muito próximo a sua 
superfície (Epróx) e em seguida para um ponto qualquer em sua superfície (Esup). 
 
Resolução: 
 
Campo Elétrico Próximo à Superfície de uma Esfera (Epróx) 
 
próxE



 
 
Sendo σ > 0 C / m2, então: 
 
próxE



 
 
Fazendo 
esf
Q
A
 
, temos: 
 
esf
próx
Q
A
E 

 
 
próx
esf
Q
E
A


 
 
Fazendo 
2
esfA 4 R 
, temos: 
 
próx 2
Q
E
4 R

   
 
 
próx 2
Q
E
4 R

  
 
 
Fazendo 
1
K
4

  
, finalmente: 
 
próx 2
K Q
E
R


 
 
Campo Elétrico na Superfície de uma Esfera (Esup) 
 
próx
sup
E
E
2

 
 
2
sup
K Q
RE
2


 
 
sup 2
1 K Q
E
2 R

 
 
 
 14 
 
 15 
IV - Lei de Gauss – Simetria Plana 
 
 
1) Considere uma superfície plana, de espessura desprezível, ilimitada e uniformemente eletrizada com densidade 
superficial de carga elétrica (σ) positiva gerando um campo elétrico uniforme em cada um dos dois semi-
espaços. Use a Lei de Gauss para determinar o módulo do vetor campo elétrico para um ponto qualquer. Para 
tal utilize o minúsculo cilindro indicado na figura como superfície gaussiana. 
 
 
 
Resolução: 
 
Fluxo Elétrico Total através da Superfície Gaussiana Cilíndrica 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
base frente base det rás lateral
A
     

 
 
base frente E A  
, pois θ = 0o. 
 
base detrás E A  
, pois θ = 0o. 
2
lateral
N
0 m
C
  
, pois θ = 90o. 
A
E A E A 0

    

 
A
2 E A

  

 
E
2



 
 
De um modo geral, contemplando a possibilidade da densidade superficial de carga elétrica (σ) ser 
negativa, têm-se: 
E
2



 
 16 
2) Considere duas placas planas condutoras, paralelas, ilimitadas e uniformemente eletrizadas com densidades 
superficiais de carga elétrica (σ) de mesmo módulo, porém de sinais opostos. Determine o módulo do vetor 
campo elétrico resultante nas três regiões distintas formadas: (a) entre as placas; (b) à direita das placas; e (c) à 
esquerda das placas. 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
(a) entre as placas; 
 
 
RE E E  
 
 
RE E E  
 
 
RE
2 2
 
 
  
 
 
E



 
 
(b) à direita das placas; e (c) à esquerda das placas. 
 
RE E E  
 
 
RE E E  
 
 
 17 
RE
2 2
 
 
  
 
 
E 0 N / C
 
 
Importante: No caso de placas planas condutoras finitas, de mesmo tamanho, paralelas e relativamente próximas 
entre si, ou seja, em que a distância que as separam é ordens de grandeza menor do que as dimensões das placas, e 
para pontos próximos ao eixo central que as corta perpendicularmente pelos seus respectivos centros, tais 
resultados são considerados excelentes aproximações, dado que o “efeito de borda” em tal situação é desprezível. 
 18 
V - Lei de Gauss – Simetria Esférica 
 
 
1) Considere uma esfera condutora de raio R, em equilíbrio eletrostático e com carga elétrica Q positiva 
distribuída de maneira uniforme sobre a sua superfície. Prove usando a Lei de Gauss que é possível determinar 
o campo elétrico para um ponto distante d > R utilizando para tal a Lei de Coulomb, ou seja, utilizando o 
conceito de centro de carga elétrica, semelhantemente ao que fora feito na mecânica com o conceito de centro 
de massa. 
 
Resolução: 
 
 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
  intT
SG
q
E A cos     


 
 
 
Observação: Na Escola Naval a notação será mais rigorosa, ou seja, será usada a notação do Cálculo: 
 
int
T
SG
q
E dA   

 
 
 
?q int 
 
 
intq Q
 
 
Por outro lado, em virtude da simetria (esférica) da questão, E é constante, e, portanto, pode ser 
retirado do somatório. 
 
 
SG
Q
E A cos    


 
 
 o
SG
Q
E A cos0   


 
 
Nota: Para qualquer ponto sobre a superfície gaussiana em questão, tanto o vetor campo elétrico como o vetor 
normal são radiais, ou seja, perpendiculares à superfície gaussiana em cada ponto. Além disso, apontam para 
fora da mesma. Se a carga elétrica da esfera fosse negativa, neste caso, o vetor campo elétrico apontaria para 
 19 
dentro da mesma, mas o vetor normal continuaria apontado como sempre para fora da mesma e de maneira 
perpendicular, e assim, θ = 180º. 
 
 
SG
Q
E A  


 
 
2 QE 4 d    

 
 
2
Q
E
4 d
 
    
 
 
Fazendo 
1
K
4

  
, finalmente: 
 
2
K Q
E
d

 
 
 
De um modo geral, contemplando a possibilidade do condutor estarnegativamente carregado, têm-se: 
 
2
K Q
E
d

 
 
 
Importante: Este resultado, o conceito de centro de carga elétrica, é muito importante, pois facilita em 
muito a resolução de uma infinidade de problemas envolvendo condutores com simetria esférica, ou seja, de 
cargas elétricas distribuídas em esferas, cascas esféricas e superposições de cascas esféricas concêntricas. 
 20 
2) Uma casca esférica CONDUTORA de raio interno a e raio externo b com carga elétrica total –q possui em 
seu centro O uma carga elétrica pontual +2q. 
 
observação: a casca esférica CONDUTORA está em equilíbrio eletrostático. 
 
a) Determine a distribuição de carga elétrica nas superfícies interna e externa da casca esférica 
CONDUTORA. 
 
b) Determine o campo elétrico em um ponto P qualquer, tal que r < a, onde r é a distância do ponto P ao 
centro. 
 
c) Determine o campo elétrico em um ponto P qualquer, tal que a < r < b, onde r é a distância do ponto P ao 
centro. 
 
d) Determine o campo elétrico em um ponto P qualquer, tal que r > b, onde r é a distância do ponto P ao 
centro. 
 
 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
A carga elétrica pontual +2q induz na superfície interna da casca esférica CONDUTORA 
uma carga elétrica de mesmo módulo, mas de sinal contrário, ou seja, –2q. (Elementos 
Correspondentes – Livro Texto – pág. 61). Note que se somarmos a carga elétrica das duas 
superfícies (interna e externa) da casca esférica o total será –q. 
 
 21 
b) r < a 
 
 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
  intT
SG
q
E A cos     


 
 
 
Observação: Na Escola Naval a notação será mais rigorosa, ou seja, será usada a notação do Cálculo: 
 
int
T
SG
q
E dA   

 
 
 
?q int 
 
 
intq 2q 
 
 
Por outro lado, em virtude da simetria (esférica) da questão, E é constante, e, portanto, pode ser 
colocado em evidência, ou seja, retirado do somatório. 
 
  int
SG
q
E A cos    


 
 
 o
SG
2q
E A cos0   


 
 
SG
2q
E A  


 
 
2 2qE 4 r    

 
 
2
2q
E
4 r
 
    
 
 
 22 
Fazendo 
1
K
4

  
, finalmente: 
 
2
K 2q
E
r

 
 
 
Em virtude da simetria esférica em questão, semelhantemente ao que fora feito na mecânica com o 
conceito de centro de massa, este problema também pode ser facilmente resolvido utilizando o conceito de 
centro de carga elétrica e a Lei de Coulomb para o cálculo do campo elétrico, assim: 
 
int
2
K q
E
d


 
 
2
K 2q
E
r


 
 
 
 
 
 23 
c) a < r < b 
 
 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
  intT
SG
q
E A cos     


 
 
 
Observação: Na Escola Naval a notação será mais rigorosa, ou seja, será usada a notação do Cálculo: 
 
int
T
SG
q
E dA   

 
 
 
?q int 
 
 
)q2(q2q int 
 
 
intq 0 C
 
 
Por outro lado, em virtude da simetria (esférica) da questão, E é constante, e, portanto, pode ser 
colocado em evidência, ou seja, retirado do somatório. 
 
  int
SG
q
E A cos    


 
 
 
SG
0
E A cos    


 
 
 
SG
E A cos 0    
 
 
 
0
E A cos 0

    
 
 
Logo, 
 
E 0 N / C
 
 24 
 
Resultado este esperado, já que no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico 
é sempre nulo. 
 
Em virtude da simetria esférica em questão, semelhantemente ao que fora feito na mecânica com o 
conceito de centro de massa, este problema também pode ser facilmente resolvido utilizando o conceito de 
centro de carga elétrica e a Lei de Coulomb para o cálculo do campo elétrico, assim: 
 
int
2
K q
E
d


 
 
2
K 0
E
d


 
 
E 0 N / C
 
 
 25 
d) r > b 
 
 
 
Lei de Gauss 
 
int
T
q
 

 
 
  intT
SG
q
E A cos     


 
 
 
Observação: Na Escola Naval a notação será mais rigorosa, ou seja, será usada a notação do Cálculo: 
 
int
T
SG
q
E dA   

 
 
 
?q int 
 
 
intq 2q 2q q   
 
 
intq q 
 
 
Por outro lado, em virtude da simetria (esférica) da questão, E é constante, e, portanto, pode ser 
colocado em evidência, ou seja, retirado do somatório. 
 
  int
SG
q
E A cos    


 
 
 
SG
q
E A cos    


 
 
 o
SG
q
E A cos0   


 
 
SG
q
E A  


 
 
 26 
2 qE 4 r    

 
 
2
q
E
4 r
 
    
 
 
Fazendo 
1
K
4

  
, finalmente: 
 
2
K q
E
r

 
 
 
Em virtude da simetria esférica em questão, semelhantemente ao que fora feito na mecânica com o 
conceito de centro de massa, este problema também pode ser facilmente resolvido utilizando o conceito de 
centro de carga elétrica e a Lei de Coulomb para o cálculo do campo elétrico, assim: 
 
int
2
K q
E
d


 
 
2
K q
E
r

