MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ELETRÔNICOS

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Aula 02 – Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletrônicos 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 1 
 
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE 
 
AULA 02 – MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ELETRÔNICOS 
 
Na aula anterior vimos a modelagem de sistemas mecânicos de translação, nesta aula iremos estudar 
circuitos elétricos (RLC - resistor, indutor e capacitor) e eletrônicos (Amplificadores Operacionais). 
Assim como nos sistemas mecânicos faz-se necessário estabelecer alguma relação entre as 
grandezas a serem estudadas, para tal utilizaremos as leis de Kirchhoff que combinadas aos 
elementos apresentados na Figura 1, modelam a grande maioria dos sistemas elétricos utilizados na 
prática. A Lei de Kirchhoff para as tensões pode ser assim enunciada: 
“A soma algébrica das tensões em qualquer malha de um circuito elétrico é nula”. 
A Lei de Kirchhoff para as correntes afirma que: 
“A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito elétrico é nula”. 
 i t
 v t
   v t R i t
R
Resistor i t
 v t
 
 d i t
v t L
dt

L
Indutor i t
 v t
     
0
1
0
t
v t i d v
C
  
C
Capacitor i t
 v t
   0v t , i t ? 
Curto-circuito
 i t
 v t
    0v t ? , i t 
Circuito aberto i t
 v t
Fonte de tensão i t  v t
Fonte de corrente
 i t
 
Figura 1: Elementos de circuitos elétricos 
 
Para representar o método de solução dos exercícios de modelagem de sistemas elétricos iremos 
resolver o seguinte exercício. 
 
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EXEMPLO 1: Seja o circuito elétrico passivo 
apresentado na Figura 2. 
 
a) Escreva equações diferenciais que descrevam o 
comportamento de 
 1v t
 e 
 2v t
. Para isso, assuma 
tensão inicial nula no capacitor C. 
 
 
Figura 2: Circuito RLC 
Resolução: A primeira etapa baseia-se na aplicação das Leis de Kirchhoff, neste exemplo 
desejamos encontrar a equação que descreve as tensões, portanto utilizaremos a lei das tensões 
(Malhas), do circuito temos: 
11 R C L
v v v v  
 ( 1 ) 
2 C Lv v v 
 ( 2 ) 
A segunda etapa, assim como nos sistemas mecânicos de translação, consiste na lei dos elementos, 
que para o exemplo proposto é fornecida por: 
 
A terceira etapa consiste nas leis de interconexão, ou seja, substituir as leis dos elementos nas 
equações encontradas na primeira etapa. 
 1 1
0
1
 
t
di
v R i i d L
C dt
     
 ( 3 ) 
 2
0
1
 
t
di
v i d L
C dt
   
 ( 4 ) 
EXEMPLO 2: Determine a EDM responsável por relacionar a tensão de entrada ei e a tensão de saída 
eo. 
 
Figura 3: Amplificador Operacional na configuração inversora 
A primeira etapa consiste na análise do circuito. 
Uma vez que a corrente de entrada do 
amplificador operacional é desprezível 
(Propriedade do AO), aplicando-se a Lei de 
Kirchhoff das correntes, têm-se que 
1 2i i
. 
 
 
1R i t
 1v t  2v t
2R
C
L
 
ccVie
ccV
1R
0e1
i 2
R2i
e
i. 
1 1R
v R i 
 (tensão no resistor) 
ii. 
 0C Cv v    
0
0 0
1 1
 
t t
i d i d
C C
     
 (tensão no capacitor) 
iii. 
L
di
v L
dt
 
 (tensão no indutor) 
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Como 
1
1
ie ei
R


 e 
0
2
2
e e
i
R
 

, temos 
0
1 2
ie e e e
R R
  

, mas pelas propriedades do A.O. sabemos que 
0e 
, portanto: 
0 0 2
1 2 1
i
i
e e e R
R R e R

   
 ( 5 ) 
que nos fornece a relação entre a tensão de saída e0 e a tensão de entrada ei. 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
Obter a expressão que relacione a tensão de entrada e a de saída: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
ccV
ie
ccV
1R
0e
2R
ccV
ccV
ie 0e
2R
1R
(a) (b)