Aula especial de Rema

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1 
 
Núcleo de Arquitetura 
Disciplina de Resistência dos Materiais 
AULA ESPECIAL 
 
Goiânia, 30 de Maio de 2015 
 
 
2 
Apresentação 
 
Prof. Hélio Elias da Silva 
 
Engenheiro Civil (UCG, 1991) 
Mestre em Engenharia Civil (UFG, 2005) 
Professor de Sistemas Estruturais – Arquitetura UNIP 
Coordenador de Desenvolvimento Tecnológico – Eternit S/A 
E-mail: helioeliasdasilva@yahoo.com.br 
3 
Isostática 
Objetivo principal: Determinar os esforços atuantes 
numa estrutura a fim de dimensioná-la adequadamente. 
 
4 
Viga bi-apoiada 
5 
Tipos de apoios 
A B 
6 
Reações de apoio 
A B 
RVA RVB 
RHB 
7 
Tipos de carregamento 
A B 
RVA RVB 
RHB 
P 
Carga concentrada 
8 
Tipos de carregamento 
A B 
RVA RVB 
RHB 
Q 
Carga distribuída 
9 
Tipos de carregamento 
A 
RVA 
RHA 
Balanço 
MA 
P 
10 
Tipos de esforços 
Diagrama de momento fletor 
A B 
+ 
11 
Tipos de esforços 
Diagrama de esforço cortante 
A B 
+ 
- 
12 
Tipos de esforços 
Diagrama de esforço normal 
A B 
- 
13 
Determinação das reações de apoio (caso 1) 
A B 
RVA RVB 
RHB 
P 
L 
a b 
∑F horizontal = 0 
RHB = 0 
∑F vertical = 0 
RVA + RVB – P = 0 
RVA + RVB = P 
14 
Regra da mão direita – positivo e negativo 
Momento = força x distância 
Momento positivo Momento negativo 
15 
Determinação das reações de apoio (caso 1) 
A B 
RVA RVB 
RHB 
P 
L 
a b 
∑M(A) = 0 
P x a – RVB x L = 0 
– RVB x L = - P x a 
 RVB x L = P x a 
 RVB = P x a 
 L 
∑M(B) = 0 
RVA x L – P X b = 0 
RVA x L = P X b 
RVA = P X b 
 L 
16 
Determinação das reações de apoio (caso 1) 
A B RVA RVB RHB 
P 
L 
a b 
RVA + RVB = P 
Vamos checar para ver se 
está correto? 
RVA = P x b 
 L 
 RVB = P x a 
 L 
P x b + P x a = P 
 L L 
P x b + P x a = P 
 L 
P (a+b) = P 
 L 
P (L) = P 
 L 
P = P 
17 
Determinação dos momentos fletores (caso 1) 
A B 
P.b/L P.a/L 
P 
L 
a b 
No trecho AS 
M(x) = P.b/L . x 
M(A) >> x = 0 
S 
x 
M(A) = P.b/L . 0 
M(A) = 0 
18 
Determinação dos momentos fletores (caso 1) 
A B 
P.b/L P.a/L 
P 
L 
a b 
No trecho AS 
M(x) = P.b/L . x 
M(P) >> x = a 
S 
x 
M(A) = P.b/L . a 
M(A) = P.b.a/L 
M(A) = P.a.b 
 L 
19 
Determinação dos momentos fletores (caso 1) 
A B 
P.b/L P.a/L 
P 
L 
a b 
No trecho SB 
M(x) = P.b/L . x – P.(x-a) 
M(P) >> x = a 
S 
x 
M(P) = P.b/L . a – P.(a-a) 
M(P) = P.b.a/L – P.(0) 
M(P) = P.a.b 
 L 
20 
Determinação dos momentos fletores (caso 1) 
A B 
P.b/L P.a/L 
P 
L 
a b 
No trecho SB 
M(x) = P.b/L . x – P.(x-a) 
M(B) >> x = L 
S 
x 
M(P) = P.b/L . L – P.(L-a) 
M(P) = P.b – P.(b) 
M(P) = P . (b-b) 
M(P) = P . (0) 
M(P) = 0 
21 
Diagrama de momentos fletores (caso 1) 
A B 
P 
+ 
Mmáx=P.a.b 
 L 
22 
Exercício prático (caso 1) : 
A B 
RVA RVB 
RHB 
5 tf 
10,00 m 
4,00 m 6,00 m 
23 
A 
RVA RVB 
RHB 
5 tf 
10,00 m 
4,00 m 6,00 m 
B 
RVA = P X b 
 L 
RVA = 5 tf X 6m 
 10 m 
RVA = 3 tf 
 RVB = P x a 
 L 
 RVB = 5 tf x 4 m 
 10 m 
 RVB = 2 tf 
Exercício prático: Obtendo as reações de apoio 
24 
A 
RVA RVB 
RHB 
5 tf 
10,00 m 
4,00 m 6,00 m 
B 
M máx = P . a . b 
 L 
Exercício prático: Obtendo os momentos fletores 
M máx = 5 tf . 4 m . 6 m 
 10 m 
M máx = 12 tf.m 
25 
Diagrama de momentos fletores 
A B 
5 tfm 
+ 
Mmáx = 12 tfm 
26 
2 tf 
3 tf 
Diagrama de esforço cortante 
A B 
5 tfm 
RVA = 3 tf RVB = 2 tf 
27 
Q 
Determinação das reações de apoio (caso 2) 
∑F horizontal = 0 
RHB = 0 
∑F vertical = 0 
RVA + RVB – Q x L = 0 
RVA + RVB = Q x L 
A B 
RVA RVB 
RHB 
L 
RVA = RVB = Q x L 
 2 
28 
Q 
Determinação dos momentos fletores (caso 2) 
M(x) = Rva . x – Q . x . x 
 2 
A B 
RVA = Q.L/2 RVB = Q.L/2 
L 
X 
Q 
X 
A 
M(x) = Q.L . x – Q . x2 
 2 2 
X/2 
Q . x 
A 
29 
Q 
Determinação dos momentos fletores (caso 2) 
Para x = 0 (Apoio A): 
A B 
RVA = Q.L/2 RVB = Q.L/2 
L 
X 
M(x) = Q.L . x – Q.x2 
 2 2 
M(A) = Q.L . 0 – Q.02 = 0 
 2 2 
30 
Q 
Determinação dos momentos fletores (caso 2) 
Para x = L (Apoio B): 
A B 
RVA = Q.L/2 RVB = Q.L/2 
L 
X 
M(x) = Q.L . x – Q.x2 
 2 2 
M(A) = Q.L . L – Q.L2 
 2 2 
= Q.L2 – Q.L2 
 2 2 
= 0 
31 
Q 
Determinação dos momentos fletores (caso 2) 
Para x = L/2 (Meio do vão – momento máximo): 
A B 
RVA = Q.L/2 RVB = Q.L/2 
L 
X 
M(x) = Q.L . x – Q.x2 
 2 2 
M(L/2) = Q.L . L – Q.(L/2)2 
 2 2 2 
= Q.L2 – Q.L2 
 4 8 
32 
Q 
Determinação dos momentos fletores (caso 2) 
A B 
RVA = Q.L/2 RVB = Q.L/2 
L 
X 
M(máx) = Q.L2 – Q.L2 
 4 8 
= 2Q.L2 – Q.L2 
 8 
= Q.L2 
 8 
Portanto, numa viga como essa, o momento máximo é: 
M(máx) = Q.L2 
 8 
33 
3 tf/m 
Exercício prático (caso 2) 
A B 
RVA RVB 
8,0 m 
Rva = Rvb = Q.L = 3 tf/m . 8 m = 12 tf 
 2 2 
Calculando as reações de apoio: 
34 
Exercício prático (caso 2) 
A B 
Diagrama de esforço cortante: 
12 tf 
12 tf 
+ 
- 
35 
3 tf/m 
Exercício prático (caso 2) 
A B 
RVA RVB 
8,0 m 
Mmáx = Q.L2 = 3 tf/m . (8 m)2 = 24 tf.m 
 8 8 
Calculando o momento fletor máximo (meio do vão): 
36 
Exercício prático (caso 2) 
Diagrama de momento fletor: 
A B 
+ 
Mmáx = 24 tf.m 
37 
Q 
Determinação das reações de apoio (caso 3) 
A B 
RVA RVB 
RHB 
L 
R = Q . L 
 2 
A B 
RVA RVB 
RHB 
2/3 . L 
38 
Determinação das reações de apoio (caso 3) 
R = Q . L 
 2 
A B 
RVA RVB 
RHB 
2/3 . L 
∑F horizontal = 0 
RHB = 0 
∑F vertical = 0 
RVA + RVB – Q.L= 0 
 2 
RVA + RVB = Q.L 
 2 
39 
Determinação das reações de apoio (caso 3) 
R = Q . L 
 2 
A B 
RVA RVB 
RHB 
2/3 . L 
∑M(B) = 0 
RVA . L – Q.L . 2 . L = 0 
 2 3 
RVA = Q.L 
 3 
40 
Determinação das reações de apoio (caso 3) 
R = Q . L 
 2 
A B 
RVA RVB 
RHB 
2/3 . L 
∑M(A) = 0 
- RVB . L + Q.L . 1 . L = 0 
 2 3 
RVB = Q.L 
 6 
41 
Determinação do momento fletor máximo (caso 3) 
O equacionamento é complexo 
Mmáx = 0,064 . Q . L2 
Q 
A B 
L 
Mmín = 0 (sobre os apoios) 
42 
Exercício prático (caso 3) 
5 tf/m 
A B 
6,50 m 
RVA = Q.L 
 3 
RVA = 5 tf/m.6,50 m = 10,83 tf 
 3 
43 
Exercício prático (caso 3) 
5 tf/m 
A B 
6,50 m 
RVB = Q.L 
 6 
RVA = 5 tf/m.6,50 m = 5,42tf 
 6 
44 
Exercício prático (caso 3) 
5 tf/m 
A B 
6,50 m 
Mmáx = 0,064 . Q . L2 
Mmáx = 0,064 . 5 tf/m . (6,50m)2 
Mmáx = 13,52 tf.m 
45 
A 
RVA 
RHA 
Balanço 
MA 
Determinação das reações de apoio (caso 4) 
P 
L 
46 
Determinação das reações de apoio (caso 4) 
A 
RVA 
RHA 
MA P 
L 
∑F horizontal = 0 
RHA= 0 
∑F vertical = 0 
- P + RVA= 0 
RVA = P 
47 
Determinação das reações de apoio (caso 4) 
A 
RVA 
RHA 
MA P 
L 
∑ M(A) = 0 
P . L - MA= 0 
MA = P.L 
48 
Exercício prático (caso 4) 
A 
RVA 
RHA 
MA 1,5 tf 
2,50 m 
RHA= 0 
RVA= 1,5 tf 
MA = P.L = 1,5 tf . 2,50 m = 3,75 tf.m 
49 
Determinação das reações de apoio (caso 5) 
A 
RVA 
RHA 
MA Q 
L 
∑F horizontal = 0 
RHA = 0 
∑F vertical = 0 
RVA = Q . L 
50 
Determinação das reações de apoio (caso 5) 
A 
RVA 
RHA 
MA Q 
L 
∑(MA) = 0 
- Q.L . L/2 + MA = 0 
L/2 Q.L 
MA = Q.L2 
 2 
51 
Exercício prático (caso 5) 
A 
2,3 tf/m 
3,50 m 
Mmáx = Q.L2 
 2 
Mmáx = 2,3 tf.m.(3,50 m)2 
 2 
Mmáx = 14,09 tf.m 
52 
Caso particular de carga inclinada 
Ângulo A 
Força F 
53 
Caso particular de carga inclinada 
A 
Força F 
Fhorizontal 
F
v
e
rt
ic
a
l 
54 
Caso particular de carga inclinada 
300 
10 tf 
Fhorizontal = 10 tf . cos 300 
 
F
v
e
rt
ic
a
l 
=
 1
0
 t
f 
. 
s
e
n
 3
0
0
 
55 
Caso particular de carga inclinada 
300 
10 tf 
Fhorizontal = 8,66 tf 
 
F
v
e
rt
ic
a
l 
=
 5
,0
 t
f 
56 
Exercício prático (caso 6) : 
A B 
RVA RVB 
RHB 
15 tf 
11,00 m 
5,50 m 5,50 m 
600 
57 
Exercício prático – obtendo as componentes 
A B 
RVA RVB 
RHB 
15 tf 
11,00 m 
5,50 m 5,50 m 
600 
 Componente horizontal 
15 tf . cos 600 = 7,5 tf 
58 
Exercício prático – obtendo as componentes 
A B 
RVA RVB 
RHB 
15 tf 
11,00 m 
5,50 m 5,50 m 
600 
 Componente vertical 
15 tf . sen 600 = 12,99 tf 
59 
Exercício prático: Obtendo as reações de apoio 
A B 
RVA RVB 
RHB 
7,5 tf 
11,00 m 
5,50 m 5,50 m 
12,99 tf 
∑F horizontal = 0 
7,5 tf + RHB = 0 
RHB = - 7,5 tf 
RVA = P X b 
 L 
 RVB = P x a 
 L 
RVA = 12,99 X 5,5 
 11 
RVA = 6,49 tf 
 RVB = 12,99 x 5,5 
 11 
RVB = 6,49 tf 
60 
M máx = P . a . b 
 L 
Exercício prático: Obtendo os momentos fletores 
M máx = 12,99 tf . 5,5 m . 5,5 m 
 11 m 
M máx = 35,72 tf.m 
A B 
RVA RVB 
RHB 
7,5 tf 
11,00 m 
5,50 m 5,50 m 
12,99 tf 
61 
Diagrama de momentos fletores 
A B + 
Mmáx = 35,72 tfm 
62 
 
Muito obrigado por sua atenção 
 
DESEJO A TODOS UM ÓTIMO FIM DE SEMANA 
 
Prof. Hélio Elias da Silva