Mecânica I - Poli - P1 - 2000

Prévia do material em texto

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
PMC 2100 – MECÂNICA A 
Primeira Prova – 29 de setembro de 2000 – Gabarito 
Questão 1 Dado o seguinte sistema de forças: 
 
 
 
a) Determine a resultante R
r
. (0,5) 
b) Determine o momento OM
r
 em relação ao pólo O. (1,0) 
c) Determine o momento GM
r
 em relação ao pólo G e o momento EM
r
 
em relação ao pólo E. (1,0) 
d) Verifique a qual sistema de forças mais simples o sistema original é 
redutível. (0,5) 
e) Determine o momento mínimo. (0,5) 
a) Resultante: 
jaiaR
kajaiaF
iaF
kajaiaF
rrr
rrrr
rr
rrrr
++=
+++=
-=
--+=
23
2
1
 
b) Momento em relação a O: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
kajaiaM
jakajakaiaja
kajaiaia
iakajaia
kajaiaka
FrFrFrM
O
OAOGOCO
rrrr
rrrrrr
rrrr
rrrr
rrrr
rrrrrrr
222
222222
3/2/1/
4
22
2
2
+-=
-+-++=
++´+
-´+++
--´=
´+´+´=
 
c) Momentos em relação a G e E: 
( ) ( )
( ) ( )
kajaiaM
kakajaiajaiaja
kajaiaRrMM
kajaiaM
iajakakakajaia
jaiakajaia
kajaiaRrMM
E
EOOE
G
GOOG
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrr
rrrrrrr
222
2222
222
/
222
2222222
222
/
6
242
4
522
24
2
4
+-=
++-=+´-+
+-=´+=
+-=
+-+-+-=
+´---+
+-=´+=
 
d) ( ) ( ) 04 33222 =-=++×+-=× aajaiakajaiaRM O rrrrrrr 
\o sistema é redutível a uma única força. 
e) Se o sistema equivalente é composto por uma 
única força, 0
rr
=mínM 
 
Questão 2 A placa triangular AED tem massa 3m, as barras AB e CD tem massa m (cada uma) e a barra BC 
tem massa 2m. Todos os sólidos são homogêneos. 
a) Determine as coordenadas do baricentro da placa 
triangular AED. (0,5) 
b) Determine as coordenadas do baricentro da barra 
ABCD. (1,0) 
c) Determine as coordenadas do baricentro do sólido 
composto pela placa AED e pela barra ABCD. 
(1,0) 
 
 
a) Placa: b) Barra: c) Sólido composto: 
0
3
=
=
P
P
y
cx 
0=Pz 
4
3
4
3
2
2
2
2
0
b
y
m
mb
mmm
b
mbm
b
m
y
x
B
B
B
=
=
++
×+×+×
=
=
 
0=Bz 
7
3
7
3
43
4
3403
7
743
04
3
3
by
m
mb
mm
bmm
y
c
x
m
mc
mm
m
c
m
x
S
S
S
S
=
=
+
×+×
=
=
=
+
×+×
=
 
0=Sz 
x 
y 
B 
A 
D 
C a 
a 
b 
c 
E 
i
r j
r
k
r
D 
E 
F 
G 
A 
B 
C 
O 
a 
a 
2a 
),(2
),(
),(
33
22
11
AFkajaiaF
GFiaF
CFkajaiaF
vrrrr
vrr
vrrrr
++=
-=
--+=
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
Questão 3 As 3 barras e a polia da figura têm massas desprezíveis, o vínculo em A é uma articulação, e o 
vínculo em B é um apoio simples. 
a) Determine as forças que a polia e o 
fio aplicam nas barras. (1,0) 
b) Determine as reações vinculares. 
c) Determine as forças na conexão C 
entre as barras. (1,0) 
d) Desenhe as barras indicando todos 
os esforços atuantes. (1,0) 
 
 
 
a) Isolando a polia: 
PT
aTaPMD
=
=-Þ=å 0..0 
å =Þ= 00 xx DF 
PD
TPDF
y
yy
2
00
=
=--Þ=å 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Observando a estrutura formada pelas barras: 
PFFFFFF AxBAxAxBx 400 =Þ=Þ=-Þ=å 
PF
PPFF
Ay
Ayy
=
=-+Þ=å 020 
PF
aFaPaPM
B
BA
4
0.2.3.20
=
=--Þ=å 
 
 
 
 
 
 
 
c) Isolando a barra AD: 
 
 
 
 
 
 
Nó A: 
PAFAF xAxxx 400 =Þ=-Þ=å 
PFPPFAF
FFAF
ABAyyAB
ABAyyy
54
00
=Þ+=+=
=-+Þ=å 
 
 
 
PCACACF xxxxxx 400 =Þ=Þ=-Þ=å 
PCAPACF yyyyy 2020 -=Þ=--Þ=å 
PA
PCaCaPM
y
yyA
4
60.3.20
=\
=Þ=-Þ=å 
Nó B: 
PB
FBBFF
x
BxxBx
4
00
=
=Þ=-Þ=å 
PB
FBBFF
y
AByyABy
5
00
=
=Þ=-Þ=å 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a a
a
a
B 
A C
D 
E P 
T P 
D 
Dx 
Dy 
D C A 
2P
Cy 
Cx 
Ay 
Ax 
FAx 
FAy FAB 
Ax 
Ay 
FB 
FAB 
Bx 
By 
A 
B
C D 
E 
FB 
FAx 
FAy 
P 
2P 
B
C 
E 
Bx = 4P
P 
By = 5P
Cy = 6P 
Cx = 4P 
A 
B
FAB = 5P 
FAB = 5P 
(1,0)