Derivadas 2

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Derivadas – parte 2 
Prof. aurimar 
Derivada – significado cinemático 
Sabemos que a velocidade de um objeto em movimento é definida pela distância percorrida dividida 
pelo tempo gasto. Se um objeto em um instante de tempo t1 se encontra na posição s1 e no instante 
de tempo t2 se encontra na posição s2, então ele se deslocou s = s2 – s1 e a velocidade média, vm, do 
objeto é definida por: 
 
𝑣𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡
=
𝑠2 − 𝑠1
𝑡2 − 𝑡1
 
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
 = 𝑠′ 𝑡 = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑠 
A velocidade média é a variação da posição s em relação ao tempo t, ou seja, é justamente a taxa de 
variação (derivada) média da posição em relação ao tempo. 
No limite, quando t  0, teremos a velocidade em um instante de tempo, isto é, a velocidade 
instantânea v, 
Derivada – significado cinemático 
Do mesmo modo, sabemos que a aceleração de um objeto em movimento é definida pela variação da 
velocidade no tempo. Se um objeto em um instante de tempo t1 possui velocidade v1 e no instante de 
tempo t2 se encontra com velocidade v2, então a aceleração média, am, do objeto é definida por: 
 
𝑎𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣2 − 𝑣1
𝑡2 − 𝑡1
 
𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
 = 𝑣′ 𝑡 = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣 𝑡 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 
𝑎 = 𝑣′ 𝑡 = 𝑠′′ 𝑡 = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑠. 
A velocidade média é justamente a taxa de variação (derivada) média da velocidade v em relação ao 
tempo t. 
No limite, quando t  0, teremos a aceleração em um instante de tempo, isto é, a aceleração 
instantânea a, 
Significado cinemático 
 Como a aceleração é a derivada da velocidade, e a velocidade é a derivada da posição, então a 
aceleração é a derivada segunda (duas vezes) da posição s em relação ao tempo t. Usando a notação 
de Leibniz para derivadas. 
𝑣 = 𝑠′ 𝑡 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 𝑒 𝑎 = 𝑣′ 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑣) =
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
= 𝑠′′(𝑡) 
Exemplo: Um móvel tem sua trajetória descrita pela seguinte equação: s(t) = 2t3 – t2 +10 
(s em metros e t em segundos). Ache a sua velocidade e a sua aceleração no instante de tempo 
t = 2,0 segundos. 
Resp.: 
𝑣 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 6𝑡2 − 2𝑡 → 𝑣 2,0 = 6 ∙ 22 − 2 ∙ 2 =
20𝑚
𝑠
. 
𝑒 𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 12𝑡 − 2 → 𝑎 2,0 = 12 ∙ 2 − 2 =
22𝑚
𝑠2
. 
Derivadas de funções elementares 
x(h) 6 8 10 12 14 16 18 
T(oC) 4,0 6,1 10,0 14,3 17,3 18,8 16 
Derivadas de funções elementares 
Derivada de funções elementares 
5) Derivada da função logarítmica 
Derivada de funções elementares 
Derivada de funções elementares