Trajetoria de tensao em vigas

Prévia do material em texto

1 
Estudo sobre a Trajetória de 
Tensões Principais em Vigas Isostáticas 
 
Oliveira, Juliana M.(1); Rios, Fernanda P(1).; Sahb, Keyla F.P.(1); Silva, André A.(1); 
Franco, Elízia S.S.(1); Bueno,Fagner S.(1);Grande, José E.(2); Oliveira, Janes C.A. de(3) 
 
1 Acadêmicos de Engenharia Civil, Universidade Católica de Goiás – UCG 
julianaenge@uol.com.br; fprios@ig.com.br; keylafabricia@uol.com.br; 
 araujosilva@pop.com.br; eliziafranco1@pop.com.br; fagnerfritz@yahoo.com.br 
 
2 Professor , Universidade Católica de Goiás (UCG) e Universidade Federal de Goiás (UFG) 
emerenciano@ucg.br 
 
3 Professor M.Sc., Universidade Católica de Goiás (UCG) e Universidade Estadual de Goiás (UEG) 
janes@cultura.com.br 
 
Palavras-Chave: Tensões – Métodos Numéricos – Vigas - Estruturas 
RESUMO 
 
A avaliação do estado de tensões em um elemento estrutural constitui um item 
de fundamental importância para o engenheiro estrutural. A partir do 
conhecimento dos valores máximos de tensões é possível garantir um 
dimensionamento seguro e econômico para a peça estrutural. 
Este trabalho tem como objetivo apresentar um estudo prático desenvolvido na 
turma de resistência dos materiais da Universidade Católica de Goiás visando 
exemplificar a avaliação de tensões em uma viga isostática. A variação das 
tensões principais nas várias fibras do elemento estrutural é apresentada na 
forma gráfica objetivando facilitar a visualização, por parte do aluno, do 
surgimento e desenvolvimento das tensões em um elemento estrutural. 
1.INTRODUÇÃO 
O curso de resistência dos materiais constitui uma das cadeiras básicas do 
curso de engenharia e objetiva fornecer ao futuro profissional, um 
entendimento sobre o comportamento dos elementos estruturais quando 
submetidos a estados de tensões além de avaliar as características principais 
de cada material que interferem no dimensionamento. 
A análise das tensões principais em uma viga isostática constitui uma parte do 
programa do curso resistência dos materiais onde o aluno aprende a distinguir 
as várias trajetórias formadas pelas tensões desenvolvidas no elemento 
estrutural. Analisando o efeito combinado das tensões normais e cisalhantes é 
possível identificar as trajetórias das tensões principais, ou seja, conjunto de 
 2 
curvas ortogonais que explicam o comportamento do elemento estrutural sob 
tensão. 
Para visualizar as possíveis trajetórias de tensões principais desenvolvidas em 
uma peça estrutural, são necessárias várias etapas que incluem o cálculo das 
tensões normais e cisalhantes nas diversas fibras do elemento estrutural, 
determinação dos planos principais onde ocorrem as tensões e o traçado de 
gráficos que traduzem as variações destas tensões no elemento estrutural. 
Seguindo a orientação sugerida por Beer & Johnston (1982) e Timoshenko & 
Gere (1983), são esboçadas as trajetórias de tensões principais em uma viga 
isostática. A partir de uma metodologia simples, as etapas são distribuídas em 
grupos de tal forma a inteirar todos os alunos no entendimento sobre o estado 
de tensões principais em um elemento estrutural. 
2. REFERENCIAL TEÓRICO 
No estudo das tensões planas o elemento está sujeito a tensões principais e de 
cisalhamento.Um elemento sujeito a tensões planas pode ter tensões normais 
e cisalhantes nas faces x e y , porém não tem nenhuma tensão na face z. Na 
figura 1.1 é apresentado um esquema típico de um elemento estrutural 
submetido a um estado de tensões planas. 
 sy 
 
 txy 
 sx ++ tyx sx 
 tyx 
 txy 
 sy 
Figura 2.1 – Elemento sujeito a tensões planas 
 3 
Considerando um elemento que sofre uma rotação q, em relação ao plano 
horizontal, surgem tensões normais e cisalhantes identificadas como sq e tq, 
que podem ser encontradas através de relações trigonométricas adequadas 
(figura 1.2): 
 sq 
 sx q 
 tyx tq 
 txy 
 sy 
Figura 2.2 – Elemento Girado de um ângulo q 
sq = sx + sy + 1 (sx - sy) cos 2q - tyx sen 2q 
 2 2 
(1) 
 
tq =(sx - sy) sen2q - tyx cos 2q 
 2 
(2) 
 
Ressaltando que as expressões (1) e (2) foram deduzidas seguindo a 
convenção sugerida por Timoshenko (1983). Variando o ângulo q no intervalo 
de 0o a 360o, é possível encontrar diversos valores de sq e tq correspondentes 
ao plano girado. 
 
O plano que define os valores máximos e mínimos para a tensão sq definem o 
plano principal de tensões. Neste plano não ocorrem tensões de cisalhamento. 
Derivando a expressão (1) em relação a q e igualando a zero, encontra-se a 
relação (3) que define o ângulo correspondente ao plano principal: 
 
 
Tg2qp = 2 . tyx 
 sx - sy 
(3) 
 
As tensões principais máximas e mínimas podem ser encontradas pela 
expressão (4) : 
 
2
2
yx
2
yx
2
yx2,1 t+÷
ø
öç
è
æ s-s±s+s=s 
(4) 
 
 
 4 
Ressalta-se que a avaliação das tensões principais e dos respectivos planos 
onde estas tensões ocorrem podem ser encontradas utilizando o círculo de 
Mohr. 
 
3. METODOLOGIA UTILIZADA 
 
Nos cálculos realizados neste estudo são admitidas algumas hipóteses 
simplificadoras: 
- o material é homogêneo e obedece a lei de Hooke; 
- considerou-se para a viga em estudo como submetida a um estado de 
tensões planas; 
- Considerou como válido o princípio de Saint-Venant, admitindo sy = 0, 
mesmo nas proximidades do ponto de aplicação das cargas. 
 
Considerou-se uma viga isostática contendo 1 vão e dois balanços. A viga foi 
discretizada em 11 seções transversais e foram considerados 11 fibras para o 
estudo, em cada seção. Buscando detectar com mais precisão, as variações 
nas tensões cisalhantes, no apoio foram consideradas duas seções: uma 
imediatamente antes e outra após o apoio. Nas figuras 3.1 a 3.5, são 
esquematizadas todo o processo de discretização utilizado: 
 
 
Figura 3.1 – Esquema Geral da Viga Estudada 
 
 
Figura 3.2 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) 
 
 
Figura 3.3 – Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 
 
 
 
 
 5 
Em cada seção transversal da peça, nas fibras em estudo, serão determinadas 
as tensões normais e cisalhantes em um elemento infinitesimal. Estas tensões 
serão utilizadas no cálculo dos planos principais e as respectivas tensões 
nestes planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 – Esquema do Elemento Infinitesimal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 – Discretização do Elemento Estrutural 
 
 
Os ângulos que definem os planos principais e as respectivas tensões 
principais são encontrados aplicando as expressões (3) e (4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.6 – Atuação das Tensões no Elemento Inf initesimal 
 
4. RESULTADOS 
 
Com os resultados das tensões principais e os respectivos planos onde estas 
atuam, tornou-se possível a identificação das trajetórias de tensões principais 
desenvolvidas no elemento estrutural. Os gráficos podem ser traçados 
utilizando softwares como o Autocad e o Microsoft Excel. A figura4.1 
esquematiza o traçado das tensões principais na viga em estudo: 
 
 
 6 
 
Figura 4.1 – Esboço da Trajetória de Tensões Principais 
 
Com o desenvolvimento dos softwares específicos para a análise estrutural, o 
estudo das trajetórias de tensões principais tornou-se uma tarefa mais simples 
onde cabe o engenheiro apenas avaliar com rigor os resultados apresentados. 
A figura 4.2 exemplifica a utilização de um software na avaliação das tensões. 
O exemplo utilizado neste trabalho foi processado no software SAP2000n, 
onde foram conservadas as mesmas discretizações utilizadas no cálculo 
manual. 
 
 
 
Figura 4.2 – Esboço da Trajetória de Tensões Principais (SAP2000n) 
 
 
 
5. CONCLUSÕES 
 
Como base nos resultados obtidos pode-se concluir que: 
 
- O entendimento sobre os estados de tensões atuantes em um elemento 
estrutural é de fundamental importância para o engenheiro. Sendo que 
estes resultados, quando bem avaliados, traduzem perfeitamente o 
comportamento da peça sob ação das cargas atuantes; 
- O cálculo manual das tensões principais e seus respectivos planos 
principais parecem, a princípio, uma tarefa laboriosa mas ajudam o 
estudante de engenharia a visualizar na prática o comportamento do 
elemento estrutural sob tensão; 
- A inclusão deste estudo na disciplina de resistência dos materiais 
contribui, de forma significativa, em uma melhor aprendizagem por parte 
do aluno de um dos itens fundamentais do programa; 
- Com o desenvolvimento dos softwares de análise estrutural, capazes de 
realizar tarefas que demandam muito tempo em poucos segundos, aumentam 
 7 
mais ainda a responsabilidade do engenheiro na avaliação dos resultados. O 
rigor que antes se resumia aos cálculos trabalhosos e verificação passo a 
passo dos resultados, resume-se a um trabalho intensivo de verificação dos 
resultados do programa, seja na forma gráfica ou nos resultados impressos. 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Timoshenko, S. P. & Gere, J. E. – Mecânica dos Sólidos, Volume I, 
Editora LTC, Rio de Janeiro (1983); 
 
Beer, F. P. & Johnston Jr., E. R. – Resistência dos Materiais, Editora 
MacGraw-Hill do Brasil, São Paulo (1982); 
 
Franco, E. S. S. ; Oliveira, J. M. ; Sahb, K. F. P. – Estudo Sobre a 
Trajetória de Tensões Principais, Trabalho desenvolvido na disciplina de 
Resistência dos Materiais II, Universidade Católica de Goiás, 2002; 
 
Silva, A. L. A. ; Bueno, F. S. ; Rios, F. P. – Estudo Sobre a Trajetória de 
Tensões Principais, Trabalho desenvolvido na disciplina de Resistência 
dos Materiais II, Universidade Católica de Goiás, 2002; 
 
Oliveira, J. C. A. de – Notas de Aula do Curso de Resistência dos 
Materiais, Universidade Católica de Goiás, 2002; 
 
SAP2000n – Structural Analysis Program, NonLinear Versão 7.12, 
software produzido na Universidade de Berkeley, CA, 1995. 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Á turma de resistência dos Materiais, 2002, especialmente os alunos Fagner, Elízia, Keyla, 
Fernanda, André e Juliana, que empregaram muito esforço na efetivação dos cálculos e 
gráficos deste trabalho. Ao professor Emerenciano pela atenção dada a revisão deste artigo.