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Mecanica dos Fluidos: 1a prova (2014/noturno) NA˜O USE CALCULADORA. Para simplificar as contas supor g = 10m/s2, ρagua = 10 3 kg/m3, ρar = 1 kg/m 3, γar = 1, 5 patm = 10 5N/m2 = 1 bar, 0, 51/3 ∼ 0, 8 Exerc´ıcio 1. Voceˆ esta bebendo um suco com um canudo de altura h e diametro d, num recipiente muito grande. Voceˆ aspira l´ıquido. Quando o canudo esta cheio, coloca seu dedo sobre a extremidade de cima e retira o tubo do recipiente (cf. figura). a) (0,5) Fazer um diagrama de forc¸as para explicar porque o l´ıquido na˜o cai. b) (1,0) Calcular a pressa˜o exercida pelo l´ıquido sobre seu dedo supondo h = 20cm. c) (1,0) Voceˆ pode dispor de um canudo (r´ıgido) de comprimento muito grande. Para qual comprimento cr´ıtico do canudo o l´ıquido comec¸aria a escorregar pela extremidade de baixo? Este comprimento cr´ıtico muda se o canudo for inclinado? Muda se o canudo tiver diametro maior? [Desprezamos um pequeno efeito devido a mudanc¸a de fase da a´gua a` pressa˜o baixa.] Exerc´ıcio 2. Voceˆ colocou seu copo de cafeˆ cheio ate´ a altura h no prato girato´rio do seu forno micro-onda. Lem- brando suas aulas de mecaˆnica dos fluidos, voceˆ sabe que a superf´ıcie do l´ıquido no seu copo vai se deformar. Voceˆ quer saber se vai vazar cafe´. Seu copo e´ um cilindro de altura H=14 cm, diametro D=6 cm e h=12 cm. O prato girato´rio faz 12 voltas por minuto. Escolher os eixos de modo que ~g = −gzˆ a) (0,5) Escrever a equac¸a˜o de Euler (se quiser, pode introduzir uma forc¸a fict´ıcia e trabalhar no referencial de repouso do prato). b) (1,0) Mostrar que a pressa˜o no cafeˆ varia como p(r, z) = patm − ρaguag(z − z0) + ρaguaω 2r2/2 onde (r = 0,z0)e´ um ponto onde p = patm. c) (1,0) Calcular a equac¸a˜o da superf´ıcie livre (= em contacto com o ar) e desenha-la. Calcular z0 em func¸a˜o de D,h, ω e g. Derramou cafeˆ? Exerc´ıcio 3. Voceˆ esta´ andando com sua lancha novinha mum rio (de largura constante) com velocidade de escoa- mento pequena independente do tempo e baixios (bancos de areia no fundo). Lembrando (outra vez) as suas aulas de mecaˆnica de fluidos, voceˆ sabe que se a altura do fundo aumentar localmente um pouco, isto causa um abaixamento local do n´ıvel da a´gua (cf. figura). Para deixar voceˆ mais tranquilo, vamos calcular o valor deste abaixamento. Escolhemos os eixos de modo que ~g = −g zˆ. a) (0,5) Mostrar que hv = h′v′. b) (1,0) Usando a equac¸a˜o de Bernouilli, verificar que ∆h > 0, isto e´, tem abaixamento do n´ıvel da a´gua. c) (1,0) Calcular ∆h para v = 2m/s, h = 2m, H = 30cm. Pode usar 1/(1− ǫ)2 ∼ 1 + 2ǫ. Exerc´ıcio 4. Um fluido perfeito incompress´ıvel de densidade de massa ρ sob ac¸a˜o da gravidade tem o seguinte campo de velocidade: ~v = (2αy,−αx, 0) com α constante e o eixo z vertical para cima (~g = −gzˆ). a)(0,5) Mostrar que a equac¸a˜o de continuidade para massa e´ satisfeita. b) (1,0) Mostrar que (~v · ~∇)~v = −2α2(xxˆ+ yyˆ) e obter p(x, y, z). c) (1,0) Mostrar que a equac¸a˜o das linhas de corrente e´ x2+2 y2 = cste. Usando este resultado verificar que p/ρ+ gz + v2/2 e´ constante sobre as linhas de corrente. Este resultado e´ esperado? (Sinto muito, este exerc´ıcio na˜o tem nada a ver com bebida fria ou quente nem passeio gostoso.) Formula´rio ∂ρ ∂t + ~∇ · (ρ~v) = 0 d~v dt = ∂~v ∂t + (~v · ~∇)~v = − ~∇p ρ + ~g (~v · ~∇)~v = (~∇× ~v)× ~v + (1/2)~∇v2∫ V ~∇ · ~A dV = ∮ ~A · ~dS 1 2 v2 + p/ρ+ g z = cste 1 2 v2 + w + g z = cste pV = (R/m)T, p = Cργ, w = γ γ−1 p ρ ~∇ = rˆ ∂ ∂r + θˆ 1 r ∂ ∂θ + zˆ ∂ ∂z ~∇ · ~F = 1 r ∂(r Fr) ∂r + 1 r ∂Fθ ∂θ + ∂Fz ∂z ~∇× ~F = ( 1 r ∂Fz ∂θ − ∂Fθ ∂z ) rˆ + ( ∂Fr ∂z − ∂Fz ∂r ) θˆ + 1 r ( ∂(r Fθ) ∂r − ∂Fr ∂θ ) zˆ
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