aula 22 Vibrações

Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 05 a 17/09/2013 – Dúvidas sobre o trabalho 
 19/09/2013 - Apresentação de seminários 
 24/09/2013 - Reposição 
 01/10/2013 - Prova final. 
 Vibração é todo movimento periódico de um 
corpo ou sistema de corpos interligados, em 
torno de uma posição de equilíbrio. 
 Quando a causa 
◦ Vibrações livres: Quando o movimento se mantém 
por forças restauradoras gravitacionais ou elásticas; 
◦ Vibrações forçadas: Quando o movimento é 
causado por uma força externa periódica aplicada; 
 Quando ao amortecimento: 
◦ Vibrações não amortecidas: Quando os efeitos da 
amortecimento do sistema é desprezado; 
◦ Vibrações amortecidas: Quando amortecimento é 
considerado no equacionamento do problema. 
 
 
 Analisemos o sistema abaixo que consiste em 
bloco de massa m ligado a uma mola de 
rigidez k: 
 O diagrama de corpo livre do sistema, pode 
ser visto na figura: 
 A equação do movimento do bloco na direção 
x pode ser obtida aplicando-se a segunda lei 
de Newton: 
 
 
 
 
 
 
0

kxxm
xmkxamF xx


 A equação do movimento pode ser melhor 
apresentada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 wn é denominada frequência angular natural. 
m
k
xxx
m
k
x nn  ww 00 2
 Uma solução para equação diferencial 
anterior pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
◦ Sendo as constantes A e B determinadas com base 
nas condições iniciais do problema 
 
 
tBtAtx nn ww cossen)( 
 Conhecidas a posição e a velocidade do corpo 
para um instante t1 as constantes são 
definidas como: 
 
 
 
 
 
◦ Sendo x(t1) e v(t1) a posição e a velocidade do corpo 
para t =t1, respectivamente. 
 
 
 
)(
)(
1
1
txB
tv
A
n


w
 A equação do movimento pode também ser 
expressa em termos de uma única função 
seno: 
 
 
 
◦ Onde: 
 
 
 
 
 
 
 w  tCtx nsen)(









B
A
BAC
1
22
tg
 Graficamente temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O período do movimento vibratório do 
sistema é definido como: 
 
 
 
 
 
 
◦ Sendo wn a frequência natural do sistema 
 
 
 
 
k
m
n

w

 2
2

 Já a frequência do movimento, definida como 
o inverso do período, pode ser calculada 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
k
f
f n


w

2
1
2
1


 Observe que no problema massa mola as 
forças envolvidas são todas conservativas 
 Aplicando o princípio da conservação da 
energia mecânica: 
constante 
2
1
2
1
constante 
22 

kxxm
TV

 Derivando no tempo a equação do princípio 
da conservação da energia, temos: 
 
 
 
 Finalmente para : 
 
 
  00  kxxmxxkxxxm 
m
k
xx nn  ww 0
0x
 Todo sistema mecânico apresenta algum grau 
interno de atrito que dissipa a energia 
mecânica; 
 Modelos matemáticos precisos das forças 
dissipativas são bastante complexos; 
 Um amortecedor viscoso é um exemplo 
dispositivo muito comum adicionado a 
sistemas mecânicos que apresenta uma certa 
simplificação na sua formulação. 
 
 
 
 
 O dispositivo é composto de um cilindro 
preenchido com um fluido viscoso e um 
pistão com orifícios por onde o fluido escoa 
de um lado para o outro 
 
 
 
 
 
 
 
 Amortecedores desse tipo exercem uma força 
cujo módulo é proporcional à velocidade da 
massa, ou seja: 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 c = coeficiente de amortecimento viscoso e tem como 
unidades N.s/m. 
xcF 
 O diagrama de corpo livre do bloco mais a 
força de amortecimento é mostrado na 
figura: 
 
 
 
 A equação do movimento na direção x, agora 
é obtida fazendo: 
 
 
 
 
 Resultando em: 
 
 
 
 
 
xmxckxmaF xx  
0 xckxxm 
 A equação diferencial abaixo 
 
 
 
 Tem uma solução geral na forma: 
 
 
 
◦ Onde l é uma constante. 
 
 
0 kxxcxm 
tetx l)(
 O valor de l pode ser encontrado resolvendo 
a equação do segundo grau abaixo obtida 
substituindo a solução geral e suas derivadas 
na equação do movimento: 
 
 
 
 
 
02  kcm ll
 As raízes para equação do segundo grau são: 
 
 
 
 
 
m
k
m
c
m
c
m
k
m
c
m
c














2
2
2
1
22
22
l
l
e
 Definimos então o coeficiente de 
amortecimento crítico: 
 
 
 
 
 
◦ O qual é o coeficiente de amortecimento capaz de 
anular a raiz do coeficiente l da solução geral. 
 
 
 
 
nc m
m
k
mc w22 
 Com base no valor de c três situações podem 
ser identificadas: 
◦ Sistema Superamortecido: quando c>cc e as raízes 
l1 e l2 são soluções reais negativas e a solução 
geral pode ser escrita como: 
 
 
 
 
◦ O movimento correspondente a essa solução é não 
vibratório. Sendo A e B obtidas a partir das 
condições iniciais do problema. 
 
 
 
tt
BeAetx 21)(
ll 
◦ Sistema Criticamente Amortecido: quando c=cc, as 
raízes são iguais l1=l2 = -cc/2m=-wn. A solução 
geral para esse caso pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
◦ E essa situação representa a condição limite de c 
para o sistema não ser vibratório. 
 
 
 
 
  tneBtAtx w)(
◦ Sistema Subamortecido: quando c<cc, as raízes l1 e 
l2 são números complexos conjugados. A solução 
geral para esse caso pode ser escrita como: 
 
 
 
 
◦ Onde D e  são constantes determinadas pelas 
condições iniciais do problema e a frequência wd, 
frequência natural amortecida, é dada por: 
 
 
 
 
 
    w   teDtx dtmc sen)( 2/
2
1 






c
nd
c
c
ww
 Graficamente o movimento sub-amortecido 
pode observado em vermelho na figura 
abaixo 
 Considere agora que sob o bloco sistema 
inicial atua uma força de intensidade 
periódica: 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde F0 é a amplitude do função do carregamento 
e w0 sua frequência angular. 
 O diagrama de corpo livre do bloco agora 
pode ser visto abaixo: 
 A equação do movimento pode ser então 
escrita como: 
 
 
 
 
 Cuja solução geral é obtida na soma de uma 
solução complementar xc com uma particular 
xp. 
 
 
t
m
F
x
m
k
x 0
0 senw
pc xxx 
 A solução complementar xc é uma solução 
geral para equação homogênea associada, ou 
seja: 
 
 
 
 Cujo resultado já vimos ser do tipo 
 
 
 
0 x
m
k
x
tBtAtx nnc ww cossen)( 
 Uma solução particular para a equação do 
movimento, deve ser do tipo : 
 
 
 
◦ Sendo a constante C é obtida substituindo a 
solução particular na equação do movimento, ou 
seja: 
 
 
 
tCtxp 0sen)( w
 20
0
1 n
kF
C
ww

 A solução particular pode então ser escrita 
como: 
 
 
 
 E finalmente a solução geral: 
 
 
 
 
 
 
 
t
kF
tx
n
p 02
0 sen
1
)( w
ww

 
t
kF
tBtAtx
xxx
n
nn
pc
02
0 sen
1
cossen)( w
ww
ww



 Podemos separar a solução geral em duas 
partes. 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde A e B são obtidos considerando as condições 
iniciais do problema. 
 
 
 
 
  
  
 ForçadaVibração02
0
Natural Vibração
sen
1
cossen)( t
kF
tBtAtx
n
nn www
ww


 Graficamente teríamos 
◦ Solução complementar 
 
 
 
 
◦ Solução particular 
 
 
 
 
 
 
◦ Soma das duas soluções 
 
 
 
 
 
 
◦ Na prática como todos os sistemas estão sob efeito 
de algum tipo de atrito a parcela de vibração livre 
tende a desaparecer (transitória) e o sistema vibrará 
na seguindo a função de excitação. 
 
 
 
 A amplitude da vibração forçada é função da 
razão das frequências w0/wn: 
 
 
 
 
 
◦ Particularmente se w/wn = 1 a amplitude tende a 
crescer indefinidamente. 
 
t
kF
tx
n
p 0
Amplitude
2
0
0 sen
1
)( w
ww
  








 Definirmos então o fator de amplificação FA 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde (xp)max é a amplitude de vibração no regime 
permanente, e F0 /k e a deflexão estática provocada 
por uma força de módulo F0 na mola. 
 
 
 
 

 
 20
2
0
mola da estática deformação
0
max
1
11
n
np
kF
kF
kF
x
FA
ww
ww




 Graficamente. 
 
 
 
 
 21
1
n
FA
ww

 Observações: 
◦ Para w≈0 observe que FA ≈ 1, indica que a vibração 
esta em fase com a força de excitação; 
◦ Para w/ w n≈1 observe que a amplitude da vibração 
torna-se extremamente grande nesses casos 
afirma-se que o sistema está em ressonância; 
◦ Para frequências muito altas o valor de FA torna-se 
negativo indicando que o movimento está fora de 
fase com a força, tendendo a se extinguir. 
 
 
 Adicionando agora um amortecedor ao 
sistema massa-mola sob vibração forçada 
obtemos a equação: 
 
 
 
 
 Cuja solução é da forma: 
t
m
F
x
m
k
x
m
c
x 0
0 senw 
pc xxx 
 Como a solução complementar para essa equação 
diferencial já foi determinada antes, basta agora 
encontrar a solução particular que deve ter a 
forma: 
 
 
 
◦ sendo 
 
 
 
 
)'(sen')( 0 w  tCtx
      
  
  









2
0
01
2
0
22
0
0
1
2
'
;
21
/
'
n
nc
ncn
cc
tg
cc
kF
C
ww
ww
wwww
 O Fator de amplificação para esse caso é: 
 
 
 
 
 
       
;
21
1
/
'
2
0
22
0
0
ncn cc
FA
kF
C
FA
wwww 


 Graficamente teríamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Mostrando que quanto maior o amortecimento menor a 
amplitude de vibração do sistema. 
 
 
 
      
;
21
1
2
0
22
0 ncn cc
FA
wwww 

 Fim do conteúdo teórico!!!!!!!!!