AULA 3 Vigas

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ANÁLISE ESTRUTURAL I 
Prof.: Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 Definição 
 Tipos mais comuns 
 Classificação das vigas quanto a sua 
estabilidade: 
 Determinação de esforços atuantes e seus 
diagramas 
 
◦ 
 Definição 
◦ Vigas são elementos estruturais bastante utilizados 
na engenharia cujo modelo estrutural adotado em 
engenharia consiste em barras dispostas em uma 
mesma linha reta horizontal com carregamento 
atuando no plano vertical que contem seu eixo. 
 Esforços internos atuantes: 
◦ Devido o modelo adotado para viga ser coplanar os 
esforços desenvolvidos na estrutura são: 
 O momento fletor com vetor normal ao plano que 
contém o eixo da viga e o carregamento; 
 O esforço cortante na direção vertical; 
 E eventualmente, o esforço normal na direção do eixo. 
 
 Tipos de vigas usuais: 
 Vigas Gerber ( Composição de vigas): 
 Quanto ao equilíbrio estático: 
◦ Hipostáticas: quando o número de 
restrições/apoios da estrutura é inferior aos graus 
de liberdade permitidos; 
◦ Isostáticas: quando o número de restrições/apoios 
da estrutura é igual aos graus de liberdade 
permitidos; 
◦ Hiperestáticas: quando o número de 
restrições/apoios da estrutura é superior aos grau 
de liberdade permitidos; 
 Exemplos de vigas hipostáticas: 
 Exemplos de vigas Isostáticas: 
 
 Exemplo de vigas hiperestáticas: 
 
 Para calcularmos os esforços internos em 
uma seção de uma viga aplicamos um plano 
de corte em um ponto ao longo do seu eixo 
que contém esta seção. 
 
 Para que o equilíbrio seja mantido, após o 
corte, aparecerão esforços internos na seção 
de corte da viga: 
 
 
◦ Esforço Normal (N) 
◦ Esforço Cortante (V) 
◦ Momento Fletor (Q) 
 Convenção de sinais: 
◦ Esforço normal: 
 O esforço normal é considerado positivo em uma 
seção quando a resultante do esforço, calculada pelas 
forças esquerda ou à direita dessa seção, tender a 
tracionar a seção. 
 
◦ Esforço Cortante 
 O esforço cortante é considerado positivo quando, 
calculado pelas forças da porção à esquerda da seção 
de interesse na estrutura, a resultante do esforço tiver 
a direção de baixo para cima. 
 
◦ Momento Fletor 
 Momento Fletor é considerado positivo quando a 
resultante calculada pelas forças de qualquer um dos 
lados da seção em análise tender a tracionar as fibras 
inferiores da viga e comprimir as fibras superiores. 
 
 A variação dos esforços internos ao longo do 
eixo da viga podem ser melhor apresentados 
usando um gráfico denominado Diagrama de 
Esforços, assim para uma viga teremos: 
◦ Diagrama de Esforço Normal; 
◦ Diagrama de Esforço Cortante; 
◦ Diagrama de Momento Fletor. 
 
 Apesar de distintos os diagramas para os 
esforços internos em uma viga apresentam 
algumas relações entre si conforme veremos 
após analisarmos a viga abaixo: 
 
 Observe que a viga está submetida a um 
carregamento aleatório: 
 
 
 
 
 
 
◦ Atuam: cargas concentradas; cargas momento e 
uma força distribuída de função qualquer. 
 
 
◦ Analisemos agora o equilíbrio de um segmento de 
largura Dx da viga localizado a uma distância x da 
origem do eixo escolhido. 
 
 
 
 
 
 
 2)(
0)()(0
)(
0)()(0
xkxwxVM
MMxkxxwMxVM
xxwV
VVxxwVF
O
y
DDD
DDDD
DD
DD


◦ As forças para o equilíbrio do segmento são: 
 
 
 
 
◦ Dividindo as equações anteriores por Dx e fazendo 
Dx tender a zero temos: 
 
 
 
 
)(0
)(
)(0
)(
xV
dx
dM
x
xkxwV
x
M
xw
dx
dV
x
xw
x
V
D
D
D
D
D

D
D
 Conclusões: 
◦ A derivada da função do esforço cortante em cada 
ponto é igual a intensidade da carga distribuída em 
cada ponto com o sinal trocado 
 
 
 
◦ A derivada da função do momento fletor em cada 
ponto é igual a intensidade da força cortante em 
cada ponto. 
 
 
)(
)(
xw
dx
xdV

)(
)(
xV
dx
xdM

 
◦ Versão Integral das relações carregamento V e MF 
 
 DD dxxVMedxxwV )()(
◦ O equilíbrio nas regiões de força concentrada é 
obtido para: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Indicando que nesse ponto o diagrama de esforços 
cortantes tem um desnível para baixo no valor da força 
FV
VVFVFy
D
D 0)(;0
◦ O equilíbrio nas regiões de carga momento 
concentrada é obtido para: 
 
 
 
 
 
 
 
 Indicando que nesse ponto o diagrama de momentos 
fletores tem um desnível para cima no valor do 
momento 
 
 
 
o
oo
MMx
MxVMMMM
DD
DD
0
0;0
 Viga biapoiada submetida a uma carga 
concentrada P (a>b): 
lPbQ
lPabM
lPaV
lPbV
B
A




max
max
 Viga biapoiada submetida a um carregamento 
uniformemente distribuído: 
  
22)(
8
2)(
2
max
2
max
222
qlQqxqlxQ
qlM
lxlxqlxM
qlVV BA




 Viga biapoiada submetida uma carga 
triangular: 
  
  
3
316)(
064,0
6)(
3
6
max
22
2
max
332
plQ
lxplxQ
plM
lxlxplxM
plV
plV
B
A






 Viga biapoiada submetida a carga momento 
(a<b): 
lMQ
lMbM
lMV
lMV
B
A




max
max
 Particularmente se carga momento for 
aplicada em uma das extremidades ou nas 
duas o DMF tem a forma: 
 Caso mais geral de Carregamento: 
 Ou ainda: 
 Diagramas momento fletor para o trecho 
central da viga: 
 Diagramas finais: 
 “Para traçar o diagrama de momentos fletores de 
uma viga submetida a um carregamento qualquer, 
basta marcar os momentos fletores nos pontos de 
interesse, ligá-los por segmentos de retas e, a 
partir da linha assim obtida, pendurar 
perpendicularmente ao eixo da viga, os diagramas 
de viga biapoiada para cada uma das cargas 
distribuídas atuantes.” 
 Seja a viga biapoiada submetida ao 
carregamento, trace os diagramas de 
esforços. 
 Seja a viga biapoiada submetida ao 
carregamento geral, trace os diagramas de 
esforços.