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S É R I E S E E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S O R D I N Á R I A S 
1 a L i s t a d e Ex e r c í c i o s 
R E S P O S T A S , S U G E S T Õ E S E S O L U Ç Õ E S 
Exercício 01 . Não é d i fíci l concluir que | 
1
𝑛2−1
 | =
1
𝑛2−1
< 𝜀, se 𝑛 ≥ 𝑚 > √
1
𝜀
+ 1. 
Exercício 02 . Dado 𝜀 = 0.001, então, a f im de que 
1
𝑛2−1
< 𝜀, deve -se considerar 𝑛 ≥ 𝑚 = 32. 
Portanto, a desigualdade proposta será verdadeira a par t ir do tr igésimo segundo 
termo da sequência. (Se esse va lor de m for comparado com o ob tido em exemplo 
apresen tado em aula, pode -se chegar a a lguma conclusão acerca da “velocidade 
de convergência” das sequências envolvidas nos dois casos?) 
Exercício 03. Lembre -se de que 
|||||||| yxyx 
, ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Para conclui r a lgo sobre a 
recíproca do resultado, considere, por exemplo, a sequência ((−1)𝑛) e 𝑘 = −1. 
Exercício 04 . A sequência converge para 0 . 
Exercíc io 05 . A sequência converge para 0 . 
Exercício 06 . A sequência converge para 1 /5. 
Exercício 07 . A sequência converge para 1 /7. 
Exercício 08 . A sequência diverge. 
Exercício 09 . A sequência diverge. 
Exercício 10 . A sequência converge para 0 . 
Exercício 11 . A sequência converge para −2. 
Exercício 12 . A sequência diverge. 
Exercício 13 . A sequência converge para −1. 
Exercício 14 . A sequência converge para 0 . 
Exercício 15 . A sequência converge para 1 . 
Exercício 16 . A sequência converge para 1 . 
Exercício 17 . A sequência converge para 1 . 
Exercício 18 . A sequência diverge. 
Exercício 19 . A sequência converge para 1 /3. 
Exercício 20 . A sequência converge para 0 . 
Exercício 21 . A sequência converge para 0 . 
Exercício 22 . A sequência converge para 1 /2. 
Exercício 23 . A sequência converge para 0 . 
Exercício 24 . A sequência converge para 1 /6. 
Exercício 25 . A sequência converge para 1 . 
Exercício 26 . A sequência converge para 1 /e . 
Exercício 27 . A sequência converge para 1 /2. 
Exercício 28. A sequência é monótona es tr i tamente crescente , l imi tada e , consequentemente , 
convergente. É imediato ver que 3/5 é co ta infer ior . Além d isso, você poderá 
ver i ficar , sem d i ficuldades, que 1 é co ta superior e que o l imi te da seq uência é 
2/3 . 
Exercício 29 . A sequência é constante, logo monótona , l imi tada e convergente. 
Exercício 30. A sequência é monótona es tr i tamente decrescente , l imi tada e , consequentemente, 
convergente. O número √2 − 1 pode ser tomado como cota superior . O l imi te da 
sequência é 0 , valor que também pode ser considerado co mo cota infer ior . 
Exercício 31. A sequência é monótona es tr i tamente crescente e l imi tada apenas infer iormente: 
𝑎1 = 1 pode ser tomado co mo cota infer io r . Para concluir que a sequência 
diverge, note que, se 
1n
, então 
1
!

n
nn
, se 
2n
, então 
2
!

n
nn
, e , se 
3n
, 
n
n
nnn
n
nn
nnnn
n
n n




 )
132
(
).1.(....2.1
...............
!
. 
Ass im, 
...,3,2,1,
!
 nn
n
n n
, e , co mo lim
𝑛→∞
𝑛 = ∞, tem-se lim
𝑛→∞
𝑛𝑛
𝑛
= ∞. 
Exercício 32. A sequência não é monótona, sendo, porém, l imi tada. Os números –1 e 1 podem 
ser to mados, respec tivamente, como cotas infer ior e superio r . A sequência 
diverge, já que não exis te o l imi te do seu termo geral . 
Exercício 33. A sequência não é monótona, mas é l imi tada. Os números –1/6 e √2/2 podem ser 
tomados, respect ivamente, como co tas infer ior e super ior . A sequência converge 
para 0 . 
Exercício 34. Como 𝑓(0) = 0 e 𝑛𝑓(1 𝑛⁄ ) =
𝑓(1 𝑛⁄ )
1/𝑛
, busque o auxíl io do Teorema de L’Hôpital 
para concluir o resultado. 
Exercício 35 . Pr imeiramente, no te que (𝑎𝑛) é uma sequência estr i tamente crescente, já que 
𝑎𝑛+1 = ∑
1
𝑘!
𝑛+1
𝑘=0
 = ∑
1
𝑘!
𝑛
𝑘=0
+ 
1
(𝑛 + 1)!
 = 𝑎𝑛 + 
1
(𝑛 + 1)!
 ⇒ 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 
1
(𝑛 + 1)!
> 0, 
ou seja , 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1, ∀𝑛. 
Agora, ut i l izando -se a des igualdade fornecida e a fórmula do so ma dos termos 
de uma progressão geométr ica, consegue -se ver i f icar que a sequência é l imi tada 
super iormente, po is 
𝑎𝑛 = ∑
1
𝑘!
𝑛
𝑘=0
 = 1 + ∑
1
𝑘!
𝑛
𝑘=1
 ≤ 1 + ∑
1
2𝑘−1
𝑛
𝑘=1
 = 1 + 
1 − (
1
2)
𝑛
1 −
1
2
 = 1 + 2 ( 1 − (
1
2
)
𝑛
) < 3, 
j á que 1 + 2 ( 1 − (
1
2
)
𝑛
) = 1 + 2 − 2 (
1
2
)
𝑛
= 3 − 21−𝑛 e 21−𝑛 > 0, ∀𝑛. 
Exercício 36. O fato de 
f
 ser contínua no ponto 
a
 s igni fica que dado 
0
, existe 
0
, 
ta l que 
 |)()(||| afxfax
. Co mo 
aan )(
, existe 
m
, ta l que 
 || aamn n
, para qualquer número 
0
. Em part icular , 
tomando -se 

, segue que 
 || aamn n
, e , consequentemente, 
 |)()(| afaf n
, como desejado. 
Exercício 37. Basta observar que o resultado do exercício ante r ior nos permite concluir que 
se 
)( na
 converge, então 
(f
n
n
alim

)

n
lim
)( naf
. 
(Mesmo sem perceber, você ut i l i zou este resul tado em exerc íc io anter ior? ) 
Exercício 38. Como 𝑎𝑛+1 =
2𝑛+1
2𝑛+2
𝑎𝑛 e 
2𝑛+1
2𝑛+2
< 1, segue que (𝑎𝑛) é es tr i tamente decrescente, 
logo monótona. Já que 𝑎𝑛 > 0, ∀𝑛, a sequência, evidentemente, converge. 
Exercício 39 . ( i) Se 𝑛 = 1, então 𝑎1 = 1 = 2
1 − 1. 
( i i ) Se, por hipó tese, 𝑎𝑛 = 2
𝑛 − 1, então, co mo, 𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛 + 1, vê -se que 
 𝑎𝑛+1 = 2 ( 2
𝑛 − 1 ) + 1 = 2𝑛+1 − 1. 
A sequência d iverge, po is lim
𝑛→∞
(2𝑛 − 1) = + ∞. 
Exercício 40 . Note que 
n
naaa
2/14/12/14/12/14/12/1
2
2/1
1 2,,22.2,2
  
. Assim, 
usando a fórmula (*) , que fornece a so ma de um número fini to de termos em 
progressão geométr ica, conclui -se que a sequência dada converge para 2 . 
Observação 
Se 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são termos em progressão geo métr ica de razão 𝑞, então a soma 
desses termos va le 
(*) 𝑆𝑛 = 𝑎1
 1−𝑞𝑛
1−𝑞
 . 
 
Exercício 41. Uti l izando -se o método de indução , consegue -se ver i f icar que a sequência dada 
é monótona estr i tamente crescente e l imi tada superiormente. 
De fa to , tem-se 𝑎1 = 1 < 2 = 𝑎2. Supondo-se, então, 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1, segue que 
√𝑎𝑛 < √𝑎𝑛+1 , e , por tanto, que 1 + √𝑎𝑛 < 1 + √𝑎𝑛+1, ou seja , 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛+2 . 
Além disso, 𝑎1 = 1 < 3, e, sendo 𝑎𝑛+1 < 3, vê-se que 
𝑎𝑛+2 = 1 + √𝑎𝑛+1 < 1 + √3 < 3. 
Por fim, já que se tem a garant ia da convergência da sequência (𝑎𝑛), chamando 
de ℓ o va lor do seu l imi te , tem-se 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎 𝑛 + 1 = ℓ, e , dessa forma, a 
equação 
nn aa  11
 leva à conclusão de que ℓ = 
3 + √5
2
 . 
Exercício 42 . Note que 
nn nn nnn nnn n 233.2333233 
. Agora, para 
concluir o resultado, bas ta ap licar um dos Lemas apresentados em sala. 
Exercício 43 . Tem-se 𝑎1 = 4 > 1. Se 𝑎𝑛 ≥ 1, então (𝑎𝑛)
2 ≥ 1, e , por conseguinte, 
𝑎𝑛+1 =
(𝑎𝑛)
2 + 5
6
 ≥ 
1 + 5
6
= 1. 
Além d isso , 𝑎1 = 4 < 5, e , ana logamente, se 𝑎𝑛 ≤ 5, então (𝑎𝑛)
2 ≤ 5, e , 
também, 𝑎𝑛+1 = 
(𝑎𝑛)
2 + 5
6
 ≤ 
5 + 5
6
 = 
 10
6
 = 
5
3
 < 5. Logo, (𝑎𝑛) é l imitada. 
Por out ro lado, 𝑎1 = 4 > 3.5 = 𝑎2. Supondo-se, então, 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛, segue que 
(𝑎𝑛+1)
2 < (𝑎𝑛)
2, e , consequentemente, que (𝑎𝑛+1)
2 + 5 < (𝑎𝑛)
2 + 5, e , a inda, 
que 
(𝑎𝑛+1)
2+ 5
6
 < 
(𝑎𝑛)
2+ 5
6
 , ou seja , que 𝑎𝑛+2 < 𝑎𝑛+1, o que mostra que a sequência 
é monótona . 
Por um proced imento análogo ao apl icado no Exercício 41. , conclui -se que a 
sequência converge para 1 . 
Exercício 44. Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2, então 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 
(𝑎𝑛−1)
2 − 2
2𝑎𝑛−1
 , de onde, sem di f iculdade , 
conclui -se o resultado desejado. 
Exercício 45. a) 𝑎2 = 3/2 = 1 ,5 , 𝑎3 = 17/12 = 1 ,416666 . . . , 𝑎4 = 577/408 = 1 ,414215 . . . , 
𝑎5 = 665.857/470.832 = 1 ,414213 . . . . 
 b) Sim, para ℓ = √2 . 
 c) Aqui não se tem a mesma “garantia de convergência” a que se fez re ferênc ia 
no Exerc ício 41. Contudo, admitindo -se ta l convergência, ar t i fício idêntico 
ao ut i l izado naquele exercíc io leva à conclusão de que, rea lmente, ℓ = √2 . 
Exercício 46. a) 𝑎2 = (0, 1), 𝑎3 = (4/10, 6/10), 𝑎4 = (0, 2/10), 𝑎5 = (4/50, 6/50) = 
1
5
 (4/10, 6/10) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
c) (0, 0) é o ponto de mínimo de 𝑓. 
Exercício 47 . a ) ( 2,
4
3
,
8
9
,
16
27
,
32
81
, … ) 
 b) Sim, bastando observar que, pelo i tem anter ior , 𝑎𝑛 = 2 ( 
2
3
 )
𝑛−1
 . 
 c) É imediato ver i ficar que 
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
 > 1, de onde se conclui que 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 , ou 
seja , que a sequência é monótona es tr i tamente decrescente . 
 Como 
2
3
 = | 
2
3
 | < 1, 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 
2
3
 )
𝑛−1
= 0 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2 ( 
2
3
 )
𝑛−1
, e a sequência, 
portanto , converge a zero. 
Uma vez convergente, a sequência é , evidentemente, l imi tada. 
Exercício 48 . A ver i ficação da l inear idade de T é deixada co mo exercício . 
Agora, sendo 𝑣 autovetor de T associado a um autovalor 𝜆, então 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣, ou 
seja , (𝑎 − 𝑎𝑛) = 𝜆(𝑎𝑛), para cada n , e , por consequência, 𝑎 = (𝜆 + 1)𝑎𝑛. 
Dessa forma , 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(𝜆 + 1)𝑎𝑛 ⇒ 𝑎 = (𝜆 + 1)𝑎 ⇒ 𝜆𝑎 = 0. 
 Tem-se, por tanto, as possib il idades 𝑎 ≠ 0 e 𝑎 = 0. Se 𝑎 ≠ 0, então 𝜆 = 0, e , 
por tanto , (𝑎 − 𝑎𝑛) = (0), de onde se conclui que (𝑎𝑛) = (𝑎). 
 Se , por outro lado, 𝑎 = 0, então (− 𝑎𝑛) = 𝜆(𝑎𝑛), o que implica 𝜆 = −1. 
 Logo, os autovalores de T são 𝜆 = 0 e 𝜆 = −1, e , a lém d isso, os autovetores 
assoc iados ao autovalor 𝜆 = 0 são as sequências constantes não -nulas, enquanto 
os associados ao autovalor 𝜆 = −1 são as sequências não -constantes que 
convergem a zero. 
Exercício 49 . Se considerarmos a sequência de termo gera l 
𝛽𝑛 =
𝑎𝑛 − 𝑎
𝑎𝑛 + 𝑎
 , 
então (𝛽𝑛) converge para 0 e , a lém disso, sendo 
𝑎𝑛 = 𝑎 (
1 + 𝛽𝑛
1 − 𝛽𝑛
) , 
vê -se que (𝑎𝑛) converge para 𝑎. 
Exercício 50 . A sequência converge a zero . 
