Lista1 de Álgebra linear 2

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Álgebra Linear II
Lista de exercícios - Parte I
Bruno Costa
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Sistemas de equações são problemas constituídos por um conjunto
de variáveis e um conjunto de restrições a essas variáveis; as restrições
são representadas por equações. A solução do sistema é o conjunto de
valores das variáveis que satisfazem simultaneamente a todas as
restrições, ou equações. 
Deve-se pensar um sistema de equações como um problema onde as
equações são as informações que se deve utilizar para descobrir o valor
das variáveis, que por essa razão também são denominadas de
incógnitas. 
A regra geral para esse tipo de problema é que devem existir tantas
informações quanto incógnitas para que o problema tenha uma solução e
esta seja única. Se houver mais variáveis que equações , o problema pode
ter várias soluções, visto que com menos restrições que variáveis, é um
problema mais flexível. Por outro lado, se houver mais restrições que
incógnitas (mais equações que variáveis), o problema pode não ter
solução, pois pode ser um problema muito estrito.
Não obstante, duas restrições podem exigir coisas incompatíveis, e o
problema não terá solução; ou podem exigir a mesma coisa, diminuindo
o número de restrições genuínas.
Utilize esse raciocínio e analise os sistemas abaixo sem fazer muitas
contas, apenas observe o número de variáveis e o número efetivo de
restrições.
1) Classifique os problemas abaixo com respeito a possuírem solução
única, não possuírem solução, ou possuírem infinitas soluções.
A) B) C) D)
E) F) G) H)
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2) Escreva um sistema de 3 equações e 2 variáveis que:
 A) Possui infinitas soluções
 B) Não possui solução
 C) Possui apenas uma solução
3) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações e
assinale a alternativa correta:
 I - Se possui mais variáveis que equações, então sempre possui
solução.
 I I - Se possui mais equações que variáveis, então sempre possui
solução
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
4) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações com
número igual de equações e variáveis e assinale a alternativa correta:
 I - Se possui equações repetidas, então sempre possui infinitas
soluções.
 I I - Se todas as equações são distintas, então possui solução única.
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
Sistemas de equações equivalentes são aqueles que possuem as
mesmas soluções.
Uma equação gerada por uma combinação não-nula de outras
equações do sistema é uma equação redundante. Adicionar equações
redundantes a um sistema não altera a sua solução. Substituir uma
equação original por uma equação redundante também não altera a
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equação original por uma equação redundante também não altera a
solução, desde que a equação original tenha participado efetivamente da
geração da equação redundante; ou seja, a equação redundante
adicionada precisa reter a informação original no sistema.
Mais uma vez, sistemas de equações equivalentes são aqueles que
possuem as mesmas soluções.
5) Assinale os sistemas abaixo que são equivalentes ao sistema
:
A) B) C) D) 
E)
6) Assinale os sistemas abaixo que são equivalentes ao sistema
:
A) B) C) D)
E)
Nem sempre é simples decidir visualmente se uma equação é
gerada por outras, ou se é incompatível com outras. Faz-se necessário
utilizar uma metodologia eficiente que funcione em todos os casos. O
escalonamento é uma técnica de resolução de sistemas que revela as
relações de redundancia e incompatibilidade entre as equações de um
sistema. Iremos estudar o escalonamento nas próximas seções, mas,
antes, é imperativo saber enxergar os sistemas através de suas matrizes
aumentadas, e vice-versa.
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7) Escreva as matrizes aumentadas dos seguintes sistemas de
equações:
A) B) C) D) 
E) F) G)
8) Escreva os sistemas correspondentes às seguintes matrizes
aumentadas:
A) B) C)
 O escalonamento é um método milenar que transforma o sistema de
equações em um sistema triangular equivalente , ou seja, um sistema mais
fácil de resolver e que possui as mesmas soluções que o sistema original.
Nesse processo, as informações redundantes ou incompatíveis são
reveladas e as soluções, caso existam, são obtidas pela técnica de
substituição sucessiva. 
9) Resolva os sistemas abaixo utilizando o escalonamento das
equações:
A) B) C) 
D) 
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10) Utilize o escalonamento para simplificar as matrizes aumentadas
abaixo e resolver os sistemas correspondentes:
A) B) C)
D) E) F)
11) Em cada sistema abaixo, a última equação é uma combinação das
anteriores. Encontre os coeficientes dessas combinações:
A) B) C)
12) Seja S um sistema com 3 equações tal que a segunda equação é
múltiplo da primeira e a terceira é incompatível com a segunda. Seja R
uma forma escalonada de S , obtida sem trocar linhas, verifique as
afirmativas abaixo:
 I ) A segunda equação de R é nula
II) A terceira equação de R é nula 
13) Seja S um sistema com 4 equações tal que a primeira equação é
múltiplo da segunda e a quarta é combinação da segunda e da terceira.
Seja R uma forma escalonada de S , obtida sem trocar linhas, verifique as
afirmativas abaixo:
 I ) A primeira equação de R é nula
II) A quarta equação de R é nula
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COMBINAÇÕES LINEARES E O PRODUTO
MATRIZ-VETOR
Combinar vetores é gerar novos vetores através das operações
básicas de soma e multiplicação por número. O vetor resultante de uma
combinação de vetores é denominado de vetor gerado. A combinação de
vetores é o procedimento mais frequente da Álgebra Linear. Apesar de
simples, todos os conceitos dependem da definição de combinação, que
mais à frente veremos por que é chamada de combinação linear.
1) Assinale abaixo as igualdades que são possíveis para algum
número K, onde a, b e c representam números não-nulos:
A) K(1,a) = (2,0) B) K(a,0) = (2,4) C) K(1,2) = (2,3)
D) K(1,0,3) = (2,4,6) E) K(1,0,2,3) = (2,0,4,6) F) K(1,1,1,1) = (a,b,0,c)
2) Assinale abaixo as combinações de vetores que são possíveis para
algum valor de K e de L, onde a, b e c representam números não-nulos:
A) K(1,0) +L(0,1) = (2,3) B) K(1,0) + L(2,0) = (2,3) 
C) K(1,0) + L(1,1) = (2,3) D) K(1,0,0) + L(1,1,0) = (a,b,c) 
E) K(1,0,0) + L(1,1,1) = (a,b,0) F) K(1,1,0) + L(1,1,1) = (a,0,0)
Multiplicar uma matriz por um vetor é combinar as colunas da
matriz de acordo com os coeficientes do vetor. Entender esse resultado e
saber aplicá-lo é fundamental para o estudo da Álgebra Linear. Nos
exercícios seguintes não perca tempo apenas fazendo contas de somar e
multiplicar e não utilize a fórmula da multiplicação matriz-vetor. 
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3) Faça as multiplicações matriz-vetor abaixo fazendo as combinações
das colunas das matrizes:
A) ? B) ? C) ?
D) ? E) ?
Quando você multiplica uma matriz por um vetor formado apenas
de 1´s, o resultado deve ser a soma das colunas da matriz; certo? E se o
vetor possuir apenas 0´s, com exceção de um 1 na segunda entrada, você
consegue perceber que o resultado da multiplicação matriz-vetor deve
ser a segunda coluna da matriz? E se ao invés do número 1, for o número
-2?
4) Calcule a multiplicação Av, onde:
 e 
A) B) C) D)
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O exercício abaixo mostra que nem sempre é possível combinar
vetores e gerar um outro. Tente descobrir porque isso acontece. Esse
resultado possui profunda conexão com o fato que alguns sistemas
de equações não possuem solução, pois sempre é possível escrever
um sistema linear na forma de umproduto matriz x vetor.
5) Encontre números x e y tais que as igualdades abaixo sejam
verdadeiras e observe as conexões com os sistemas de equações e os
produtos matriz x vetor ao lado.
 
A) ou ou
B) ou ou
C) ou ou 
D) ou ou 
E) Qual o sistema correspondente?
F) Qual o sistema correspondente?
G) Qual o sistema correspondente?
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H) Qual o sistema correspondente?
6) Classifique em V ou F as afirmativas abaixo sobre um sistema de
equações S :AX=b:
 I ) A solução de S são os vetores que serão combinados para gerar o
vetor b
II) A solução de S são os coeficientes da combinação de vetores que
gera o vetor b
7) Escreva os sistemas de equações abaixo na forma matricial AX = b e
indique, sem resolvê-los, quais possuem solução. Justifique.
A) B) C) 
D) E) F)
8) Considere abaixo os sistemas representados pelas suas matrizes
aumentadas. Tente resolvê-los mentalmente fazendo as devidas
combinações das colunas das matrizes:
A) B) C) D)
E) F) G)
H) I)
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9) Considere os sistemas representados abaixo pelas suas matrizes
aumentadas. Tente identificar visualmente aqueles que possuem várias
soluções e os que não possuem solução:
A) B) C) D)
E) F) H)
Algumas conclusões óbvias, porém necessárias, sobre um sistema
AX = b:
a. Se as colunas de A geram o vetor b, então o sistema tem solução.
b. Se as colunas de A geram o vetor b de várias formas, então o sistema
tem várias soluções.
Seguem as perguntas óbvias, cujas respostas não são evidentes, que
serão estudadas mais à frente:
a. Quando é que as colunas de A geram qualquer vetor b?
b. Quando é que as colunas de A geram um vetor b de várias formas?
Mesmo sem as respostas acima, é óbvio que o sistema terá solução
se existir uma forma regular de encontrá-la, como, por exemplo, nos
sistemas cuja matriz de coeficientes é triangular (o que é isso?), sem
nenhum elemento nulo na diagonal; a solução pode ser encontrada
por substituição sucessiva das variáveis. Veja o exercício abaixo:
10) Quais sistemas abaixo possuem solução, e quais possuem solução
única? Classifique-os através de suas expressões matriciais:
A) B) C)
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D) E) 
F) G) H) 
I) J ) 
11) Escreva as expressões matriciais dos sistemas abaixo. Note que a
substituição sucessiva ainda funciona, porém já não é mais tão simples
detectar se existem inconsistências:
A) B) C) 
12) Um sistema de equações nas variáveis x,y e z possui a seguinte
matriz ampliada:
Troque colunas e escalone a matriz acima com apenas uma operação
elementar. Assinale os valores de x,y e z abaixo que resolvem o sistema.
Faça a combinação linear das colunas da matriz ampliada e cheque que
sua resposta está correta:
A) 3, 1 e 1
B) 3, 2 e -1
C) 1, 3 e 2
D) -1, 2 e 3
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MATRIZES SÃO FUNÇÕES LINEARES
Uma matriz A, mxn, é uma função linear de em , leva
combinações linares em combinações lineares. Uma vez que saibamos
seus valores em uma base qualquer de , saberemos seus valores em
qualquer outro vetor de .
1) Seja A uma matriz que leva o vetor (1,1,1) no vetor (1,1,1,1,1). Quais
as dimensões de A?
 A) 3x5 B)3x3 C)5x3 D)5x5
2) Se Ae1 = (1,2), Ae2 = (3,4) e X = (2,3), assinale o vetor AX:
 A) (16,11) B) (11,16) C) (4,6) D) (6,4)
3) Sejam x1 = (1,2,2), x2 = (2,4,3). Sabendo que Ax1 = (2,2,2) e Ax2 =
(2,1,2), assinale o vetor que é a terceira coluna de A:
 A) (1,1,0) B) (2,3,2) C) (4,3,4) D) (3,6,5)
4) Uma matriz leva o vetor (1,1) em (1,1,1) e o vetor (1,-1) em (1,2,1).
Em qual vetor é levado o vetor (3,1)?
 A) (1,1,2) B)(3,4,3) C) (2,3,2) D) Não existe essa matriz
5) Uma matriz leva o vetor (1,1) em (1,1,1) e o vetor (1,-1) em (2,2,2).
Em qual vetor é levado o vetor (2,0)?
 A) (-1,-1,-1) B)(0,0,0) C) (1,2,3) D) Não existe essa matriz
6) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (0,1) em (4,6) e (3,4),
respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:
 A)9 B)10 C)11 D) Não é possível descobrir o valor dessa soma
7) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (2,2) em (3,3) e (5,5),
respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:
 A)4 B)6 C)8 D) Não existe essa matriz A
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8) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1,1) e (1,1,0) em (3,3) e
(2,2), respectivamente. Assinale o elemento da primeira linha que está na
primeira coluna:
 A)10 B)11 C)12 D) Não é possível descobrir o valor de 
9) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1,1) e (1,1,0) em (6,15) e
(3,9). Assinale a soma de todos os componentes da terceira coluna de A:
 A)9 B)10 C)11 D) Não é possível descobrir o valor dessa soma
10) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (1,-1) em (4,4,10,14) e
(-2,2,0,0). Assinale a soma de todos os componentes da primeira coluna de
A:
A)14 B)15 C)16 D) Não é possível descobrir o valor dessa soma
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Unicidade de soluções de sistemas de equações
Nos exercícios seguintes investigaremos quando um sistema de
equações possui apenas uma solução. É o que chamamos de unicidade.
Aexistência de soluções é uma outra questão e será tratada mais adiante.
Por enquanto, veremos que a unicidade de soluções está intimamente
ligada ao conceito de independencia linear, que também estudaremos
logo abaixo.
1) Sejam Z1 e Z2 soluções do sistema homogêneo S: AX= 0.
Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) Z1 + Z2 também é solução de S
II) 2Z1 + 3Z2 também é solução de S
2) Sejam u,v e w vetores n x 1 tais que w = u+v e A é uma matriz mxn
qualquer.
Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) A(u+v-w) = 0 
I I ) Pelo menos um dos vetores Au, Av ou Aw tem que ser nulo
 
3) Considere as matrizes abaixo. Encontre, se houver, uma
combinação anuladora não-trivial (o quê?) das colunas das matrizes
abaixo, i.e., encontre X não-nulo tal que AX = 0: 
A) B) C) D)
4) Seja Z uma solução não-nula do sistema homogêneo AX = 0 e sejam
X1 e X2 soluções do sistema AX = b. Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) X1 + X2 também é solução do sistema AX = b
II) X1 + 5Z também é solução do sistema AX = b
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5) Seja Z não-nulo tal que AZ = 0. Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) Existe um vetor X, não nulo e diferente de Z, tal que AZ = X
II) Existem infinitos vetores X tal que AX = 0
6) Considere os sistemas de equações AX = b, para as matrizes A e b
abaixo. Quais deles possuem mais de uma solução?
 A) B) 
 C) D) 
 E) F) 
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Independencia Linear
Costumamos dizer informalmente que um vetor é independente de
outro se não for um múltiplo dele. E também que um vetor é
independente de outros dois se não for combinação deles. De forma
geral, dizemos que um vetor é independente de uma coleção de outros
vetores se não puder ser gerado por eles através de uma combinação. A
expressão completa é linearmente independente, pois o conceito é o da
Independência Linear, o termo “linear” será debatido mais à frente.
De toda forma, a independencia linear é um conceito de associação,
um vetor nunca é linearmente independente, ou linearmente
dependente, por si só, mais precisamente, é uma categoria que se aplica a
conjuntos de vetores. Vimos também que o escalonamento encontra
relações de dependencia entre as equações de um sistema, ou seja, entre
as linhas da matriz aumentada desse sistema. Ele é igualmente utilizado
para encontrar as relações de dependencia entre vetores.
Utilize o escalonamento para resolver alguns dos exercícios abaixo;
outros possuem respostas óbvias; identifique uns e outros.
1) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes do
vetor (1,2):
A) (0,0) B) (2,4) C) (-1,-2)D) (1,1) 
E) (2,1) F) (111,222) G) (111,111)
2) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores (1,1) e (2,2):
 A) (3,3) B) (1,1) C) (0,0) D)(1,2)
 E) (111,111) F) (111,111.01)
3) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores (1,2) e (2,1):
A) (3,3) B) (1,2) C) (0,0) D) (2,1) 
E) (6,6) F) (111,113)
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4) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores (1,2,1) e (2,1,1):
A) (3,3,3) B) (3,3,2) C) (1,-1,0) D) (2,1,2) E) (1,1,1) 
5) Verifique as afirmativas abaixo:
 I - Qualquer vetor não nulo é linearmente independente do vetor
nulo.
 I I - O vetor nulo é linearmente dependente de qualquer vetor.
6) Verifique as afirmativas abaixo sobre dois vetores u, v, não nulos:
 I - Se u é linearmente dependente de v, então v é linearmente
dependente de u.
 I I - Se u é linearmente independente de v, então u+v nunca se anula.
7) Verifique as afirmativas abaixo sobre vetores u, v e w quaisquer:
 I - Se w é gerado por u e v, então v é gerado por u e w.
 I I - Se w é gerado por u e v, então o vetor nulo pode ser gerado por
u,v e w de forma não trivial.
 
8) Verifique as afirmativas abaixo sobre vetores u,v e w, onde w é
combinação de u e v:
 I - Todo vetor gerado por u,v e w é gerado por u e w.
 I I - Todo vetor gerado por u,v e w é gerado por u e v.
9) Seja {V1,V2,…,Vn} um conjunto de vetores não-nulos e os
conjuntos de números {a1,a2,…,an} , onde todos os números podem ser
nulos, e {b1,b2,…,bn} , onde pelo menos um número é não-nulo. Podemos
afirmar que:
 I ) Se a1V1+a2V2+…+anVn = 0 , então um dos vetores é linearmente
dependente dos demais. 
I I ) Se b1V1+b2V2+…+bnVn = 0 , então um dos vetores é linearmente
dependente dos demais. 
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Intuitivamente, um conjunto de vetores é dito Linearmente
Independente, ou L.I ., se todos os seus vetores são linearmente
independentes dos demais. É convencional dizer que os vetores são
linearmente independentes, mas essa convenção não funciona para
conjuntos unitários, em particular para o caso do conjunto formado
apenas pelo vetor nulo, C={vetor nulo}.
Melhor é definir que um conjunto é Linearmente Dependente se
existir alguma combinação não-trivial anuladora entre os seus vetores.
Caso não exista nenhuma, o conjunto é dito LI.
10) Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) O vetor nulo é LD
II) O conjunto {(1,0,0),(0,0,0)} é LD
11) Verifique as afirmativas abaixo sobre a matriz A que satisfaz:
 I ) As duas colunas de A são diferentes de (0,0)
II ) As colunas de A formam um conjunto LI
12) Verifique as afirmativas abaixo sobre as matrizes A e B que
satisfazem:
 e 
 I ) A matriz A pode ser não-nula
II) A matriz B pode ser não-nula
 
13) Assinale abaixo os conjuntos de vetores que são linearmente
independentes, onde a e b são números reais quaisquer:
A) {(1,0),(0,1),(10,20)} B) {(1,1),(1,-1)} C) {(1,1),(1,-1),(2,2)}
D) {(1,2),(2,4),(3,6)} E) {(1,2),(2,-4),(a,b)} F) {(1,1),(1,-1),(a,b)}
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14) Assinale abaixo os conjuntos de vetores que são linearmente
independentes:
A) {(1,2,3),(2,4,6),(1,1,1)} B) {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)}
C) {(-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)} D) {(1,2,1),(1,-1,2),(2,-1,-1)}
E) {(1,0,1,-2),(2,1,-2,-1),(3,-1,0,-2),(2,-2,1,-1)}
15) Verifique as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I ) Se Ax = 0 para algum x não-nulo, então as colunas de A são LD.
II) Se Ax = 0 para algum x não-nulo, então as colunas de A podem ser
LI ou LD, dependendo de x.
 
16) Dadas as equações x+y+z+w = 1 e x-y+z-w=1, assinale as equações
abaixo que são independentes dessas duas:
A) 3x+y+3z+w = 3 
B) x-3y+z-3w = 1 
C) x+y+2z+w = 1 
D) x-2y+2z-2w = 1
17) Considere os sistemas indeterminados abaixo e encontre uma
equação que pode ser adicionada que os torna de solução única:
A) x+y = 1 B) C) D)
E) F)