2 Aula 12 Centro de Gravidade e centro de massa

Prévia do material em texto

Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Civil
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
ENG 1156
MECÂNICA
Aula 12
Centro Gravidade e Centro 
de Massa
Prof. Sérgio Filipe Veloso Marques
2017/2
Centro de gravidade e centróide de 
um sistema de pontos materiais
O Centro de gravidade G é um ponto
no qual se localiza o peso resultante
de um sistema de pontos materiais
Considerando o sistema de n pontos
materiais fixo no espaço:
A soma dos momentos dos pesos de
todos os pontos em relação aos eixos
x, y e z é igual ao momento do peso
resultante em relação a estes eixos
 wwR
332211
332211
332211
.
.
wzwzwzwz
wywywywy
wxwxwxwx
RG
RG
RG



Centro de gravidade e centróide de 
um sistema de pontos materiais



i
ii
G
w
wy
y
Centro de massa
Para o estudo de problemas que dizem respeito ao
movimento da matéria sob a influencia de forças (dinâmica),
é necessário localizar o centro de massa. Como w=m.g,
então:



i
ii
G
w
wz
z



i
ii
G
w
wx
x



i
ii
m
m
my
y



i
ii
m
m
mz
z



i
ii
m
m
mx
x
O centro de gravidade depende da existência
de um campo gravitacional para sua definição,
já o centro de massa independe.
Como w=mg, na prática considera-se o CG e
o CM como coincidentes
Exercício
Localize o centro de massa (x,y) dos quatro 
pontos materiais (9.45 – pg 395). 
xG=1,3m; yG=2,3m
Centro de gravidade, centro de 
massa e centróide de um corpo
a) Centro de gravidade (corpo rígido) –
infinito número de partículas
Se , então
b) Centro de massa – se



i
i
G
dw
dwy
y



i
i
G
dw
dwx
x



i
i
G
dw
dwz
z
dVdw 
g. 



i
i
G
dV
dVx
x





i
i
G
dV
dVz
z





i
i
G
dV
dVy
y


 - peso específico (peso/unidade volume)
 - massa específica (massa/unidade 
volume)



i
i
G
dV
dVx
x





i
i
G
dV
dVy
y





i
i
G
dV
dVz
z


Centro de gravidade, centro de 
massa e centróide de um corpo
c) Centróide – centro geométrico
 VOLUME – localização do centróide para o volume
de um objeto
 ÁREA – Localização do centróide para a área de
uma superfície
 LINHA – localização do centróide para objetos finos
(fios)



i
i
G
dV
dVx
x



dA
dAx
x
i
G



dL
dLx
x
i
G
Centro de gravidade, centro de 
massa e centróide de um corpo
SIMETRIA
Quando a forma geométrica tem um
eixo de simetria, o centróide da mesma
ficará sobre este eixo
O centróide é o centro geométrico do
corpo e depende inteiramente de suas
propriedades geométricas
Então, o centroide representa o centro geométrico de um corpo. Esse 
ponto coincide com o centro de massa (ou centro de gravidade) 
somente se o material que compões o corpo for uniforme ou 
homogêneo peso específico constante) e aceleração da gravidade 
constante
CENTRO DE GRAVIDADE = CENTRO DE MASSA = CENTRÓIDE
A integral é conhecida como
Momento de primeira ordem ou
momento estático da área A em relação
ao eixo y.
Analogamente, é o momento
estático de A em relação a x.
Momento Estático ou momento de 
primeira ordem de uma área em 
relação a um eixo
As fórmulas usadas para localizar o CG
ou o centroide simplesmente
representam um equilíbrio entre a soma
dos momentos de todas as partes do
sistema e o momento da “resultante”
para o sistema






xdA
A
xdA
AxAS
ydA
A
ydA
AyAS
Gy
Gx
.
. ydA
Se o centróide de uma área está localizado em um eixo coordenado, 
o momento estático da área em relação a este eixo é nulo 
 xdA
Cálculo do centróide por 
integração
Determine a distância yG do eixo x ao centróide 
da área do triângulo mostrado na figura
Considere o elemento infinitesimal 
retangular com largura dy
Área do elemento é 
Centróide localizado à distância yG = y
do eixo x.
dyyh
h
b
xdydA )( 
3
2
1
6
1
)(
)( 2
0
0 h
bh
bh
dyyh
h
b
dyyh
h
b
y
dA
ydA
y
h
h
G 







Considerações
A maioria das formas geométricas mais utilizadas na 
engenharia já tem seu centróide calculado. Os 
valores encontram-se na bibliografia especializada.
As fórmulas para calcular o centro de gravidade ou 
centróide simplesmente representam uma 
equivalência entre a soma dos momentos de todas 
as partes do sistema e o momento da “resultante do 
sistema”.