Equações DO

Prévia do material em texto

Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais no
Plano
Sistemas autoˆnomos
Queremos estudar o comportamento das soluc¸o˜es do sistema escrito na seguinte forma:{
x′ = f(x, y)
y′ = g(x, y)
(1)
onde x = x(t) e y = y(t). Tal sistema e´ chamado de sistema autoˆnomo, ou seja, a varia´vel
independente t na˜o aparece explicitamente no lado direito das equac¸o˜es.
Uma soluc¸a˜o desse sistema possui a seguinte forma:
X(t) =
(
x(t)
y(t)
)
(2)
Ale´m disso, podemos provar que:
Lema 1: Se x(t) e y(t), com a < t < b, e´ uma soluc¸a˜o do sistema (1), enta˜o para qualquer
nu´mero real k as func¸o˜es
x1(t) = x(t+ k) e y1(t) = y(t+ k)
tambe´m sa˜o soluc¸o˜es do sistema (1).
Demonstrac¸a˜o: Aplicando a regra da cadeia temos
x′1 = x
′(t+ k) = f(x(t+ k), y(t+ k)) = f(x1, y1)
y′1 = y
′(t+ k) = g(x(t+ k), y(t+ k)) = g(x1, y1)
Portanto, x1 e y1 sa˜o soluc¸o˜es de (1), as quais esta˜o definidas em a− k < t < b− k.
O vetor soluc¸a˜o X(t) nos diz como o ponto (x, y) se move no plano-xy de acordo com
a variac¸a˜o do tempo t. O movimento do ponto (x, y) determina uma curva, chamada de
trajeto´ria da soluc¸a˜o X(t), como mostra a Figura 1.
Observe que pelo Teorema de Existeˆncia e Unicidade podemos concluir que:
Lema 2: Por qualquer ponto do plano-xy passa no ma´ximo uma trajeto´ria do sistema (1).
Em outras palavras, duas trajeto´rias do sistema (1) na˜o se interceptam.
1
x
y
X(t)
Figura 1: Trajeto´ria da soluc¸a˜o X(t)
Demonstrac¸a˜o: Considere duas trajeto´rias distintas C1 e C2 com um ponto em comum
(x0, y0) e representadas, respectivamente, por (x1, y1) e (x2, y2).
Sendo assim, existem t1 e t2 tais que
(x1(t1), y1(t1)) = (x0, y0)
(x2(t2), y2(t2)) = (x0, y0)
Pelo Teorema de Existeˆncia e Unicidade temos que t1 6= t2, pois caso contra´rio a unicidade
de soluc¸o˜es seria contrariada. Agora pelo Lema 1, temos que
x(t) = x1(t+ t1 − t2)
y(t) = y1(t+ t1 − t2)
e´ uma soluc¸a˜o do sistema (1).
Agora observe que
(x(t2), y(t2)) = (x1(t1), y1(t1)) = (x0, y0)
ou seja,
(x(t2), y(t2)) = (x0, y0)
(x2(t2), y2(t2)) = (x0, y0)
Portanto, pelo Teorema de Existeˆncia e Unicidade temos que
(x(t), y(t)) = (x2(t), y2(t))
para todo t, pois caso contra´rio a unicidade de soluc¸o˜es seria contrariada. Logo, C1 e C2
devem ser a mesma trajeto´ria.
Tambe´m, podemos pensar na derivada de uma soluc¸a˜o
X ′(t) =
(
x′(t)
y′(t)
)
como representante do vetor velocidade do ponto (x, y) que se move de acordo com a
soluc¸a˜o (2). Dessa forma, podemos interpretar geometricamente o sistema (1) como um
2
x
y
Figura 2: Campo de Velocidades
campo de velocidade onde para cada ponto (x0, y0) no plano-xy esta associado um vetor
velocidade tendo sua calda em (x0, y0), como mostra a Figura 2.
Como uma soluc¸a˜o do sistema (1) e´ um ponto movendo no plano-xy temos que em cada
ponto da sua trajeto´ria, ele possui a velocidade descrita pelo campo de velocidades, como
mostra a Figura 1.
x
y
X(t)
Figura 3: Trajeto´ria no campo de velocidades
3
Classificac¸a˜o de Sistemas Lineares
Hiperbo´licos no Plano
Sistemas lineares autoˆnomos
Queremos estudar o comportamento das soluc¸o˜es do sistema linear escrito na seguinte
forma: {
x′ = ax+ by
y′ = cx+ dy
(3)
onde x = x(t) e y = y(t). Tal sistema e´ chamado de sistema autoˆnomo, ou seja, a varia´vel
independente t na˜o aparece explicitamente no lado direito das equac¸o˜es.
Podemos reescrever o sistema (3) na forma matricial, ou seja,
X ′ = AX
onde
A =
[
a b
c d
]
e X =
(
x
y
)
Autovalores e Autovetores
Como ja´ foi estudado anteriormente, λ se diz um autovalor da matriz A =
[
a b
c d
]
se
existe um vetor na˜o nulo v ∈ R2 tal que
Av = λv (4)
Neste caso, o vetor v e´ chamado de autovetor e podemos escrever a equac¸a˜o (4) como
(A− λI2)v = 0 (5)
Como v = (0, 0) satisfaz a equac¸a˜o (4) para todo λ, estaremos interessados em v 6= (0, 0)
que satisfac¸a tal equac¸a˜o. Em outras palavras, a matriz A deve ser na˜o invers´ıvel, ou seja,
det(A− λI2) = 0
Calculando o referido determinante encontramos a equac¸a˜o do segundo grau a seguir, a qual
e´ chamada de polinoˆmio caracter´ıstico,
λ2 − (a+ d)λ+ (ad− bc) = 0
4
Observe que tr(A) = a + d e que o det(A) = ad− bc, ou seja, o polinoˆmio caracter´ıstico
pode ser reescrito como
λ2 − tr(A)λ+ det(A) = 0
Ale´m disso, observe que se λ1 e λ2 sa˜o ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico, enta˜o
λ2 − tr(A)λ+ det(A) = (λ− λ1)(λ− λ2) = λ2 − (λ1 + λ2)λ+ λ1λ2
ou seja,
tr(A) = λ1 + λ2
det(A) = λ1λ2
Na sequeˆncia enuciaremos o pro´ximo teorema o qual na˜o demonstraremos.
Teorema 3: Seja A uma matriz quadrada 2× 2 e denote o discriminante ∆ da matriz A
por:
∆ =
[
tr(A)
]2 − 4det(A)
Sendo assim, existem treˆs possibilidades para os autovalores da matriz A, que podem ser
descritas em termos do discriminante:
a) Se ∆ > 0, enta˜o os autovalores sa˜o reais e distintos.
b) Se ∆ < 0, enta˜o os autovalores sa˜o um par de complexos conjugados.
c) Se ∆ = 0, enta˜o os autovalores sa˜o reais e iguais.
Classificac¸a˜o dos sistemas lineares hiperbo´licos no plano
Definic¸a˜o 1: Seja o sistema X ′ = AX, os pontos (x, y) ∈ R2 para os quais AX =
(
0
0
)
sa˜o chamados de pontos de equil´ıbrio do sistema.
Admitindo que det(A) 6= 0, enta˜o A e´ invers´ıvel. Logo X = (0, 0) e´ o u´nico ponto de
equil´ıbrio do sistema X ′ = AX.
Definic¸a˜o 2: O sistema de equac¸o˜es diferenciais X ′ = AX e´ um Poc¸o se os autovalores
da matriz A teˆm ambos parte real negativa. O sistema X ′ = AX de equac¸o˜es diferenciais e´
uma Fonte se os autovalores da matriz A teˆm ambos parte real positiva e uma Sela se os
autovalores da matriz A forem reais sendo um positivo e o outro negativo.
Teorema 4: Se os autovalores de A tiverem parte real negativa, enta˜o a origem e´ um ponto
de equil´ıbrio assimptoticamente esta´vel para X ′ = AX.
Definic¸a˜o 3: O sistema X ′ = AX de equac¸o˜es diferenciais diz-se hiperbo´lico se todos os
autovalores de A teˆm parte real na˜o nula.
5
Sendo X ′ = AX, podemos usar o determinante, o trac¸o e o discriminante da matriz
A para classificar os sistemas lineares hiperbo´licos no plano, nas proximidades da origem.
Vejamos:
(1) det(A) = 0: A matriz A tem pelo menos um autovalor real igual a zero, sendo o sistema
na˜o hiperbo´lico.
(2) det(A) < 0: A matriz A tem um autovalor positivo e outro negativo, sendo a origem,
o ponto de equil´ıbrio, uma Sela como mostra a Figura 4. Por exemplo, considere o
seguinte sistema
X ′ =
[ −1 3
3 −1
]
X (6)
Observe que det(A) = −8 < 0 e que os autovalores sa˜o λ1 = −4 e λ2 = 2.
y
x
v1
v2
Figura 4: Plano de fase do sistema (6)
(3) det(A) > 0: A matriz A tem dois autovalores reais com o mesmo sinal ou um par de
autovalores complexos conjugados.
(a) det(A) > 0 e tr(A) = 0: Enta˜o os autovalores sa˜o complexos conjugados imag-
ina´rios puros, sendo o sistema na˜o hiperbo´lico.
(b) det(A) > 0 e tr(A) < 0: Como o trac¸o de A e´ a soma dos autovalores, se tr(A)
e´ negativo obtemos um Poc¸o. E´ o caso do sistema (7), onde det(A) = 2 > 0 e
tr(A) = −3 e do sistema (8) onde det(A) = 26 > 0 e tr(A) = −2.
X ′ =
[ −2 0
0 −1
]
X (7)
X ′ =
[ −1 −5
5 −1
]
X (8)
6
Os dois sistemas (7) e (8) distinguem-se analisando, de acordo com o Teorema 3,
o discriminante
∆ =
[
tr(A)
]2 − 4 det(A).
(*) ∆ > 0: Os autovalores da matriz A sa˜o reais distintos e ambos negativos,
como e´ o caso do exemplo (7) em que ∆ = 1. Neste caso, temos um No´
(esta´vel), como mostra a Figura 5.
y
v1
v2
x
Figura 5: Plano de fase do sistema (7)
(*) ∆ < 0: E´ o caso de (8), em que ∆ = −100, sendo os autovalores complexos
conjugados com parte real negativa. Assim, a origem designa-se por Poc¸o
espiral, como mostra a Figura 6.
x
y
Figura 6: Plano de fase do sistema (8)
(*) ∆= 0: Os autovalores de A sa˜o reais e iguais, sendo necessa´rio analisar se a
matriz e´ mu´ltipla da identidade ou na˜o.
7
• A e´ multipla da identidade: Neste caso a origem e´ um Foco (esta´vel),
pois existem dois autovetores linearmente independentes, como mostra a
Figura 7. Este e´ o caso do exemplo (9) a seguir, onde temos que det(A) =
4, tr(A) = −4 e ∆ = 0, e os autovalores sa˜o λ1 = λ2 = −2.
X ′ =
[ −2 0
0 −2
]
X (9)
x
y
v1
v2
Figura 7: Plano de fase do sistema (9)
• A na˜o e´ multipla da identidade: Neste caso a origem e´ um No´ im-
pro´prio (esta´vel), existindo so´ um autovetor linearmente independente,
como mostra a Figura 8. Este e´ o caso do exemplo (10) a seguir, onde
temos que det(A) = 4, tr(A) = −4 e ∆ = 0, e os autovalores sa˜o
λ1 = λ2 = −2.
X ′ =
[
1 −1
9 −5
]
X (10)
Note-se que em ambos os exemplos (9) e (10) se tem det(A) = 4, tr(A) =
−4 e ∆ = 0. O que os distingue e´ o fato de A ser ou na˜o mu´ltipla da
identidade.
(c) tr(A) > 0: Neste caso a classificac¸a˜o e´ semelhante ao caso (b). A u´nica diferenc¸a
e´ que aqui os sistemas sa˜o insta´veis. Os diagramas de fase sa˜o ideˆnticos aos do
(b), mas as setas esta˜o invertidas. Sendo assim, se:
(*) ∆ > 0: Os autovalores da matriz A sa˜o reais distintos e ambos positivos e,
portanto, temos um No´ (insta´vel).
(*) ∆ < 0: Sendo os autovalores complexos conjugados com parte real positiva,
a origem designa-se por Fonte espiral.
(*) ∆ = 0: Os autovalores de A sa˜o reais e iguais, sendo necessa´rio analisar se a
matriz e´ mu´ltipla da identidade ou na˜o.
8
x
y
v1
Figura 8: Plano de fase do sistema (10)
• A e´ multipla da identidade: Neste caso a origem e´ um Foco (insta´vel).
• A na˜o e´ multipla da identidade: Neste caso a origem e´ um No´ impro´prio
(insta´vel).
Esta classificac¸a˜o dos sistemas lineares hiperbo´licos no plano pode ser resumida no seguinte
(veja Figura 9):
(1) det(A) = 0: Sistema na˜o hiperbo´lico.
(2) det(A) < 0: Ponto de Sela, pois os autovalores sa˜o reais de sinais contra´rios.
(3) det(A) > 0: Dois autovalores reais de mesmo sinal ou um par de complexos conjugados.
(a) tr(A) = 0: Sistema na˜o hiperbo´lico, pois os autovalores sa˜o complexos imagina´rios
puros.
(b) tr(A) < 0: Autovalores com parte real negativa.
(*) ∆ = 0:
• A e´ multipla de I2: Foco esta´vel.
• A na˜o e´ multipla de I2: No´ impro´prio esta´vel.
(*) ∆ < 0: Espiral esta´vel.
(*) ∆ > 0: No´ esta´vel.
(c) tr(A) > 0: Autovalores com parte real positiva.
(*) ∆ = 0:
• A e´ multipla de I2: Foco insta´vel.
• A na˜o e´ multipla de I2: No´ impro´prio insta´vel.
(*) ∆ < 0: Espiral insta´vel.
(*) ∆ > 0: No´ insta´vel.
9
Figura 9: Classificac¸a˜o de sistemas lineares hiperbo´licos no plano em coordenadas
(tr(A), det(A)).
10
Sistemas na˜o-Lineares Autoˆnomos,
Retrato de Fase, Ciclos Limite,
Teorema de Poincare´-Bendixson e
Equac¸o˜es de Lienard
Sistemas na˜o-lineares autoˆnomos e retrato de fase
Queremos estudar o comportamento das soluc¸o˜es do sistema na˜o-linear escrito na seguinte
forma: {
x′ = f(x, y)
y′ = g(x, y)
(11)
onde x = x(t) e y = y(t).
Antes de pensarmos como desenhar o comportamento das soluc¸o˜es de um sistema da
forma (11), precisamos primeiro pensar em pontos de equil´ıbrio, tambe´m chamados de pontos
cr´ıticos ou pontos estaciona´rios.
Definic¸a˜o 4: Um ponto (x0, y0) e´ um ponto de equil´ıbrio para o sistema{
x′ = f(x, y)
y′ = g(x, y)
se {
f(x0, y0) = 0
g(x0, y0) = 0
Em outras palavras, para encontrarmos os pontos de equil´ıbrio do sistema acima, basta
resolver o seguinte sistema {
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
Estamos interessados aqui em discutir um sistema 2×2 autoˆnomo de modo geral, ou seja,
na˜o-linear. Enta˜o suponhamos que o sistema (11) e´ na˜o-linear. Para estudarmos este tipo de
sistema podemos pensa´-lo como um sistema linear da forma
X ′1 = AX1
11
nas pro´ximidades dos pontos de equil´ıbrio, ou seja, a linearizac¸a˜o do sistema (11) em torno
de (x0, y0).
Em geral, e principalmente quando existem va´rios pontos de equil´ıbrio ou quando as
func¸o˜es f(x, y) e g(x, y) na˜o sa˜o simples, para encontrar o sistema linearizado, ou fazer a
linearizac¸a˜o do sistema, usamos a matriz Jacobiana dada por
J(x, y) =

∂f(x, y)
∂x
∂f(x, y)
∂y
∂g(x, y)
∂x
∂g(x, y)
∂y

O resultado e´ que nas proximidades do ponto de equil´ıbrio (x0, y0), a linearizac¸a˜o do
sistema
{
x′ = f(x, y)
y′ = g(x, y)
e´

x′1 =
∂f(x, y)
∂x
x1 +
∂f(x, y)
∂y
y1
y′1 =
∂g(x, y)
∂x
x1 +
∂g(x, y)
∂y
y1
ou na forma matricial
X ′1 = AX1
onde
X1 =
(
x1
y1
)
e A = J(x0, y0)
12
Retrato de fase
A seguir apresentamos um procedimento geral para desenhar, do ponto de vista qualita-
tivo, as trajeto´rias de um sistema na˜o-linear autoˆnomo{
x′ = f(x, y)
y′ = g(x, y)
Em outras palavras, apresentamos um procedimento para esboc¸ar o retrado de fase do sistema
na˜o-linear dado.
1. Encontre todos os pontos de equil´ıbrio resolvendo o seguinte sistema:{
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
2. Para cada ponto de equil´ıbrio (x0, y0) encontre a matriz A do sitema linearizado, ou
seja, aplique a matriz Jacobiana no ponto (x0, y0).
A = J(x0, y0) =

∂f(x, y)
∂x
(x0, y0)
∂f(x, y)
∂y
(x0, y0)
∂g(x, y)
∂x
(x0, y0)
∂g(x, y)
∂y
(x0, y0)

3. Determine o tipo geome´trico de cada ponto de equil´ıbrio do sistema linearizado, ou
seja, se sa˜o pontos de sela, no´s ou espirais esta´veis ou insta´veis.
4. No plano-xy, marque os pontos de equil´ıbrio e desenhe as trajeto´rias nas proximidades
dos pontos de equil´ıbrio (x0, y0), incluindo a direc¸a˜o do movimento.
5. Finalmente, para finalizar o desenho, desenhe algumas trajeto´rias compat´ıveis com o
comportamento das trajeto´rias que foram desenhadas no passo anterior. Se foi cometido
algum erro na ana´lise anterior em qualquer ponto de equil´ıbrio, ele vai aparecer agora.
Em outras palavras, sera´ imposs´ıvel desenhar de forma plaus´ıvel qualquer trajeto´ria
que complete o desenho.
Exerc´ıcio 1: Para cada sistema a seguir, a origem e´ claramente um ponto de equil´ıbrio. Deˆ
o tipo, a estabilidade, e apresente o comportamento de algumas trajeto´rias (plano de fase)
do sistema em torno de tal ponto.
1.
{
x′ = x− y + xy
y′ = 3x− 2y − xy 2.
{
x′ = x+ 2x2 − y2
y′ = x− 2y + x3
Exerc´ıcio 2: Para cada sistema a seguir, encontre os pontos de equil´ıbrio de cada sistema, e
fac¸a o plano de fase em torno de cada ponto e adicione algumas trajeto´rias compat´ıveis com
as as outras que voceˆ desenhou.
1.
{
x′ = 1− y
y′ = x2 − y2 2.
{
x′ = x− x2 − xy
y′ = 3y − xy − 2y2
13
Ciclos limite
Ate´ agora, nossa ana´lise dos sistemas na˜o-lineares no plano-xy se resumiu em encontrar os
pontos de equil´ıbrio do sistema e analizar as trajeto´rias nas proximidades de cada um destes
pontos. Isto nos da´ uma ideia de como as outras trajeto´rias se comportam, pelo menos
aquelas que passar nas proximidades dos pontos de equil´ıbrio.
Uma outra possibilidade importante, a qual pode influenciar no comportamento das tra-
jeto´rias e´ se uma destas trajeto´rias for uma curva fechada C. Se isto acontecer, a soluc¸a˜o
associada X(t) sera´ geometricamente determinada por um ponto que vai e volta sobre a curva
C com um certo per´ıodo T . Isto e´, a soluc¸a˜o
X(t) = (x(t), y(t))
sera´ um par de func¸o˜es perio´dicas com per´ıodo T , ou seja,
x(t+ T ) = x(t) e y(t+ T ) = y(t), para todo t
Se tal curva (trajeto´ria) fechada existir, as trajeto´rias nas suas proximidades devem se
comportar de maneira parecida com C. Assim temos as seguintes possibilidades: nas prox-
imidades de C as curvas podem ser espirais se aproximnando de C, elas podem ser espirais
se afatando de C, ou elas podem ser tambe´m curvas fechadas,como mostra a figura a seguir.
Se o u´ltimo caso na˜o acontece, ou seja, a curva C e´ uma curva isolada, enta˜o C e´ chamada de
ciclo limite, o qual pode ser esta´vel, insta´vel ou semi-esta´vel, respectivamente, se as curvas
espirais se aproximam de C, ou se afastam de C, ou ambas.
C
CC C
Ciclo limite instavel Ciclo limite semi−estavel Neutro − Centro estavelCiclo limite estavel
Figura 10: Classificac¸a˜o dos ciclos limite
O ciclo limite mais importante e´ o ciclo limite esta´vel, onde nas suas proximidades as
curvas (trajeto´rias) espirais aproximam de C de ambos os lados. Processos perio´dicos na
natureza podem frequentemente ser representados como ciclos limite esta´veis, assim existe
um grande interesse em encontrar tais trajeto´rias se elas existem. Infelizmente, pouco se sabe
sobre como fazer isto, ou como mostrar que um sistema na˜o possui ciclos limite.
14
Existeˆncia de ciclos limite
A principal ferramenta que vem sendo historicamente usada para mostrar que sistemas
da forma {
x′ = f(x, y)
y′ = g(x, y)
(12)
possui ciclo limite esta´vel e´ o seguinte:
Teorema 5 [Teorema de Poincare´-Bendixson]: Suponha que R e´ uma regia˜o finita do
plano entre duas curvas simples fechada D1 e D2, e que F e´ campo de velocidades para o
sistema (12). Se
(i) se em cada pode de D1 e D2, o campo F aponta para o interior da regia˜o R, e
(ii) R na˜o conte´m nenhum ponto de equil´ıbrio,
enta˜o o sistema (12) possui uma trajeto´ria fechada (ciclo limite) contido em R.
Na˜o daremos uma demonstrac¸a˜o formal deste teorema, mas de certa forma tal teorema
e´ intuitivo. De fato, se comec¸armos em uma das curvas de contorno D1 ou D2, a soluc¸a˜o
entrara´ na regia˜o R, pois, os vetores velocidades apontar para o interior de R. De acordo com
o avanc¸ar do tempo, a soluc¸a˜o na˜o pode nunca deixar R, pois quando a soluc¸a˜o se aproxima
de uma de contorno, tentando sair de R, os vetores velocidade sempre apontam para dentro
de R, forc¸ando a soluc¸a˜o a ficar dentro de R. Desde que a soluc¸a˜o na˜o pode sair de R, a u´nica
coisa que a soluc¸a˜o pode fazer quando t→∞ e´ ou se aproximar de um ponto de equil´ıbrio -
mas na˜o existe nenhum em R por hipo´tese - ou se aproximar em forma de espiral em direc¸a˜o
a uma trajeto´ria fechada. Logo, existe uma trajeto´ria fechada (ciclo limite) em R, o qual na˜o
pode ser insta´vel, ou seja, pode ser qualquer uma das outras treˆs possibilidades.
D2
D1
Figura 11: Teorema de Poincare´-Bendixson
15
Na˜o-Existeˆncia de ciclos limite
Vejamos agora o outro lado da moeda. Aqui apresentamos dois resultados que sa˜o usados
para mostrar que um ciclo limite na˜o existe.
Teorema 6 [Crite´rio de Bendixson]: Se
∂f(x, y)
∂x
e
∂g(x, y)
∂y
sa˜o cont´ınuas em uma regia˜o
R a qual e´ simplesmente conexa (isto e´, sem buracos), e
∂f(x, y)
∂x
+
∂g(x, y)
∂y
6= 0 em todo ponto de R,
enta˜o o sistema {
x′ = f(x, y)
y′ = g(x, y)
na˜o possui trajeto´rias fechadas dentro de R, ou seja, na˜o possui ciclos limite.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos por contradic¸a˜o que existe um ciclo limite C em R. Denote
por S o interior da curva fechada C. Vamos calcular a integral de linha no sentido positivo
(o interior da curva C fica sempre a` esquerda), ou seja, vamos aplicar o Teorema de Green
no plano, que e´: ∮
C
f(x, y)dy − g(x, y)dx =
∫∫
S
(
∂f
∂x
+
∂g
∂x
)
dxdy
Observe que o lado direito da igualdade e´ diferente de zero por hipo´tese. Do sitema
podemos obter
dx
dy
=
f(x, y)
g(x, y)
ou f(x, y)dy = g(x, y)dx
Logo, a integral do lado esquerdo da igualdade anterior deve ser igual a zero, o que nos leva
a uma contradic¸a˜o.
Note que o teorema na˜o nos leva a concluir nada se
∂f(x, y)
∂x
+
∂g(x, y)
∂y
= 0
Exemplo 1: O sistema
{
x′ = −x+ y2
y′ = x2 − y2 possui ciclos limite?
Soluc¸a˜o: Observe que
∂f(x, y)
∂x
= −1 e ∂g(x, y)
∂y
= −3y2. Sendo assim, para todo
(x, y)
∂f(x, y)
∂x
+
∂g(x, y)
∂y
= −1− 3y2 < 0.
Portanto, pelo Crite´rio de Bendixson, o sistema na˜o possui ciclos limite.
16
Exemplo 2: O sistema
{
x′ = x2 + y2 + 1
y′ = x2 − y3 possui ciclos limite?
Soluc¸a˜o: Observe que
∂f(x, y)
∂x
= 2x e
∂g(x, y)
∂y
= −2y. Portanto,
∂f(x, y)
∂x
+
∂g(x, y)
∂y
= 2x− 2y = 0 se, e somente se, x = y.
x
y
x=y
Sem ciclo limite
Sem ciclo limite
?
Figura 12: Teorema de Poincare´-Bendixson
Como vimos antes, o teorema de Poincare´-Bendixson diz que qualquer trajeto´ria descrita
por um sistema na˜o-linear que entra ou esta´ contida e nunca sai de uma regia˜o fechada e
limitada sem a existeˆncia de um estado de equil´ıbrio, e´ um ciclo limite ou esta´ se aproximando
de um.
Considerando uma regia˜o S delimitada pelo ciclo limite, sem a exclusa˜o de pontos de
equil´ıbrio, pode-se concluir a partir o teorema de Poincare´-Bendixson que uma condic¸a˜o
necessa´ria para existeˆncia de um ciclo limite e´ que
N = S + 1
onde N e´ o nu´mero de espirais, no´s ou centros, e S e´ o nu´mero de pontos de sela.
Como corola´rio do teorema de Poincare´-Bendixson temos o seguinte:
17
Teorema 7 [Crite´rio do Ponto de Equil´ıbrio]: Um ciclo limite envolve pelo menos um
ponto de equil´ıbrio.
Demonstrac¸a˜o: Se S = 0, enta˜o N = 1. Ou seja, um ciclo limite envolve necessariamente
pelo menos um ponto de equil´ıbrio.
Note que de acordo com esse crite´rio, se uma regia˜o R do plano na˜o conte´m pontos de
equil´ıbrios, enta˜o R na˜o conte´m ciclos limite.
Exemplo 3: Olhando novamente o Exemplo 2, vemos que x2 + y2 + 1 6= 0 para todo (x, y),
ou seja, o sistema na˜o possui pontos de equil´ıbrio. Portanto, o sistema na˜o possui ciclos
limite.
Exemplo 4: Para quais valores de a e d o sitema
{
x′ = ax+ by
y′ = cx+ dy
possui trajeto´rias
fechadas?
Soluc¸a˜o: E´ fa´cil verificar que
∂f(x, y)
∂x
= a e
∂g(x, y)
∂y
= d.
Pelo crite´rio de Bendixson,
∂f(x, y)
∂x
+
∂g(x, y)
∂y
= a+ d 6= 0
implica a na˜o existeˆncia de trajeto´rias fechadas.
Se a+d = 0 o crite´rio de Bendixson na˜o nos diz nada. Enta˜o, o que acontece se a+d = 0?
Como o sistema dado e´ linear podemos escrever sua equac¸a˜o caracter´ıstica que e´
λ2 − (a+ d)λ+ (ad− bc) = 0
Agora assumindo que a+ d = 0, temos que:
1. se ad−bc < 0 enta˜o os autovalores sera˜o reais distintos, como sinas opostos, e o sistema
e´ um ponto de sela.
2. se ad− bc > 0 enta˜o os autovalores sa˜o complexos, imagina´rios puros, e o sistema e´ um
centro, os quais sa˜o trajeto´rias fechadas.
Portanto, o sistema possui trajeto´rias fechadas se, e somente se, a+ d = 0 e ad− bc > 0.
Exerc´ıcio 3: Considere sistema
{
x′ = −y + x(1− x2 − y2)
y′ = x+ y(1− x2 − y2) .
1. Mostre que o ponto (0, 0) e´ o u´nico ponto de equil´ıbrio do sistema. (Sugesta˜o: mostre
que se (x, y) e´ um ponto de equil´ıbrio na˜o nulo, enta˜o
y
x
=
−x
y
e derive uma contradic¸a˜o)
2. Mostre que (cos(t), sen(t)) e´ uma soluc¸a˜o do sistema e que ela e´ perio´dica. Qual e´ a
sua trajeto´ria?
18
Exerc´ıcio 4: Mostre que cada um dos sistemas a seguir na˜o possui trajeto´rias fechadas na
regia˜o R, que e´ todo o plano-xy, exceto o terceiro no qual a regia˜o R e´ considerada como a
regia˜o do plano-xy onde x < −1. No quarto, encontre as condic¸o˜es que as seis constantes
devem satisfazer para o sistema na˜o possuir trajeto´rias fechadas no plano-xy.
1.
{
x′ = x+ x3 + y3
y′ = y + x3 + y3
2.
{
x′ = x2 + y2
y′ = 1 + x− y
3.
{
x′ = 2x+ x2 + y2
y′ = x2 − y2
4.
{
x′ = ax+ bx2 − 2cxy + dy2
y′ = ex+ fx2 − 2bxy + cy2
Equac¸a˜o de Lienard
A Equac¸a˜o de Lienard e´ dada por
x′′ + f(x)x′ + g(x) = 0.
As equac¸o˜es de Lienard modelam o sistema f´ısico de um circuito ele´trico RLC, ou seja,
um circuito ele´trico consistindo de um resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C),
conectados em se´rie ou em paralelo.
Fazendoy = x′ + F (x), onde f(x) = F ′(x)
podemos reescrever a Equac¸a˜o de Lienard como o sistema de primeira ordem{
x′ = y − F (x)
y′ = −g(x) (13)
o qual e´ chamado de Sistema de Lienard.
O Teorema de Poincare´-Bendixson e´ usualmente utilizado para estabelecer a existeˆncia
de trajeto´rias fechadas de certos sistemas. Um problema muito mais delicado e´ determinar
o nu´mero exato de ciclos limite de um certo sistema ou de uma certa classe de sistemas
dependendo de paraˆmetros.
Em 1928, Lienard provou que, para F e g satisfazendo certas condic¸o˜es, o sistema de
Lienard possui um u´nico ciclo limite, como podemos ver no teorema a seguir.
Teorema 8 [Teorema de Lienard]: Suponhamos que
(1) as func¸o˜es F e g sa˜o de classe C1 em R, ou seja, possui derivada primeira cont´ınua;
(2) as func¸o˜es F e g sa˜o ı´mpares, ou seja, F (−x) = −F (x) e g(−x) = −g(x);
(3) xg(x) > 0 para todo x 6= 0;
(4) F ′(0) < 0;
(5) F possui zeros somente em 0 e em x = ±a, com a ∈ R;
(6) F e´ mono´tona crescente para infinito para x ≥ a, quando x→∞.
Enta˜o o sistema de Lienard (13) tem exatamente um ciclo limite o qual e´ esta´vel.
19
Omitiremos a prova deste teorema, pois, ale´m de ser longa e´ dif´ıcil e requer conhecimentos
em ana´lise.
Exemplo 5: Considere a equac¸a˜o de van der Pol
x′′ + k(x2 − 1)x′ + x = 0
a qual e´ um caso particular da Equac¸a˜o de Lienard. Observe que
F (x) = k
(
x3
3
− x
)
e g(x) = x.
De fato, F ′(x) = k(x2 − 1). Portanto, o sistema de Lienard, neste caso, e´ dado por x′ = y − k
(
x3
3
− x
)
y′ = −x
Soluc¸a˜o: Claramente as func¸o˜es F e g sa˜o ı´mpares e de classe C1 em R. Ale´m do mais,
xg(x) = x2 > 0
para todo x 6= 0. Temos tambe´m que
F ′(0) = −1 < 0
Ale´m disso, F (0) = 0 e para a = ±√3 temos que F (a) = 0. Para x ≥ √3 F e´ mono´tona
e cresce para o infinito quando x → ∞. Assim, as hipo´teses do Teorema de Lienard sa˜o
satisfeitas para estas func¸o˜es e, portanto, para todo k > 0, a equac¸a˜o de van der Pol dada
anteriormente tem um u´nico ciclo limite esta´vel.
Exerc´ıcio 5: Suponha que as func¸o˜es F e g no sistema (13) sejam dadas por
F (x) =
x3 − x
x2 + 1
e g(x) = x
e vefique se tais func¸o˜es satisfazem as condic¸o˜es do Teorema de Lineard.
Exerc´ıcio 6: Mostre que o sistema de Lienard{
x′ = y
y′ = −v(x)− u(x)y
na˜o possui soluc¸o˜es perio´dicas (trajeto´rias fechadas) se acontece uma das seguintes:
1. u(x) > 0 para todo x.
2. v(x) > 0 para todo x.
20
O sistema presa-predador: o modelo Lotka-Volterra
Suponhamos que x representa a densidade da presa e que y representa a densidade
do predador. Sendo assim temos o seguinte sistema de equac¸o˜es presa-predador de Lotka-
Volterra: {
x′ = ax− bxy
y′ = −cy + dxy
onde r, a, c e d sa˜o constantes positivas e:
1. a: taxa de crescimentos de presas;
2. b : taxa de mortalidade das presas devido a interac¸a˜o da presa com o predador;
3. c: taxa de mortalidade de predadores;
4. d: taxa de conversa˜o de biomassa de presas capturadas em predadores.
Ale´m disso, o termo ax implica que as presas crescera˜o de modo exponencial na auseˆncia
de predadores. Por sua vez, o segundo termo da primeira equac¸a˜o, −bxy, esta´ relacionado a`
reduc¸a˜o das presas por ac¸a˜o dos predadores. Na segunda equac¸a˜o, o termo −cy indica que a
populac¸a˜o de predadores decai exponencialmente na auseˆncia de presas, e dxy indica que a
perda de presas leva a` produc¸a˜o de novos predadores.
Exerc´ıcio 7: Encontre os pontos de equil´ıbrio do sistema de equac¸o˜es presa-predador de
Lotka-Volterra: {
x′ = −x+ xy
y′ = y − xy
21