Algebra1 - Lista de exercícios 1

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1a Lista de A´lgebra I
1. Sejam a e b inteiros, mostre que:
a) −(−a) = a.
b) (−a)(b) = −(ab) = a(−b).
c) (−a)(−b) = ab.
d) | − a| = |a|.
e) |ab| = |a||b|.
f) |a + b| ≤ |a|+ |b|.
g) ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
2. Mostre que para todo n ∈ Z \ {0}, o conjunto nZ na˜o e´ limitado inferiormente.
3. Prove que todo conjunto na˜o-vazio de inteiros limitados superiormente conte´m
um elemento ma´ximo.
4. Mostre que ∀n ∈ N,∑ni=1 i2 = n(n+1)(2n+1)6 .
5. Calcule a soma dos n primeiros nu´meros pares e dos n primeiros nu´meros ı´mpares.
6. Se a ∈ R e a ≥ −1, mostre que (1 + a)n ≥ 1 + na para todo n ∈ N.
7. Use Induc¸a˜o Matema´tica para verificar cada um dos ı´tens abaixo:
a) 2n−1 ≤ n!, ∀n ≥ 1, n ∈ N.
b) n! > n2 se n ∈ N e n ≥ 4.
c) ∀n ∈ N, (1− 1
2
)(1− 1
3
) . . . (1− 1
n+1
)
)
= 1
n+1
.
d) ∀n ∈ N, 1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n−1 = 2n − 1.
8. Considere a Sequeˆncia de Fibonacci definida por F1 = 1, F2 = 1 e Fn = Fn−1 +
Fn−2 ∀n ≥ 3, n ∈ N. Mostre que:
a) F1 + F3 + F5 + · · ·+ F2n−1 = F2n.
b) F2 + F4 + F6 + · · ·+ F2n = F2n+1 − 1.
c) F1 + F2 + F3 + · · ·+ Fn = Fn+2 − 1.
d) Fn+1Fn−1 − F 2n = (−1)n.
9. Mostre que 1− 1
2
+ 1
3
− 1
4
+ 1
5
+ · · ·+ (−1)n−1 1
n
> 0 para cada n ≥ 1.
10. Mostre que 10n + 3 · 4n+2 + 5 e´ divis´ıvel por 9 para todo n em N.
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