Problemas de Álgebra Linear

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Problemas Algebra Linear
Unidade 1
Problemas resolvidos em sala de aula.
Calcular inversa de:
1. A =

−1 −1 4 −2
−3 −4 12 −6
11 14 −43 22
10 14 −41 21

2. A =

11 14 −43 22
10 14 −41 21
−1 −1 4 −2
−3 −4 12 −6

3. A =

11 14 −43 22
10 14 −41 21
−3 −4 12 −6
−1 −1 4 −2

Calcular o determinante
4. A =

1 0 3 2
0 5 4 2
6 7 1 6
1 8 4 0

5. A =

1 4 3 2
0 5 4 2
3 4 1 6
1 1 4 0

6. A =

1 8 7 6
0 6 4 2
3 7 1 6
1 2 4 0

Encontrar a soluc¸a˜o para o sistema:
7. Seja

3x +5y +4z +1w = 23
2x +3y +1z +5w = 26
5x +2y +1z +4w = 27
7x +8y +6z +1w = 39
8. Seja

3x +5y +4z +1w = 40
2x +3y +1z +5w = 28
5x +2y +1z +4w = 38
7x +8y +6z +1w = 74
9. Seja

3x +5y +4z +1w = 32
2x +3y +1z +5w = 20
5x +2y +1z +4w = 26
7x +8y +6z +1w = 56
10. Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz
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sime´trica com uma matriz anti-sime´trica, ou seja, A = S+N onde S e´ uma matriz sime´trica
e N e´ uma matriz anti-sime´trica. Sugesta˜o: Determine S e N em func¸a˜o da matriz A:
11. Suponha que A 6= 0 e AB = AC onde A;B;C sa˜o matrizes tais que a multiplicac¸a˜o
esteja definida. Pergunta-se:
(a) B = C?
(b) Se existir uma matriz Y , tal que Y A = I; onde I e´ a matriz identidade, enta˜o B
= C?
12. Considere o sistema linear
x +y +3z = 2
x +2y +4z = 3
x +3y +az = b
Para que valores de a e b o sistema
(a) tem uma infinidade de soluc¸o˜es?
(b) tem u´nica soluc¸a˜o?
(c) e´ imposs´ıvel?
13. Determine k para que o sistema admita soluc¸a˜o
−4x +3y = 2
5x −4y = 0
2x −y = k
14. Seja o conjunto R2 = {(x; y)/x, y ∈ R} com as operac¸o˜es assim definidas:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
α(x, y) = (αx, y)
O conjunto R2 com estas operac¸o˜es e´ um espac¸o vetorial ?.
15. Seja V = R5 e W = {(0, x2, x3, x4, x5)}, W e´ um subespac¸o vetorial?.
16. Seja S = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y + z = 0}, S e´ um subespac¸o de R3?.
17. V = M(n, n); W1 = {matrizes triangulares superiores};
W2 = {matrizes triangulares inferiores}. Enta˜o W1∩W2 = {matrizes diagonais}.
18. Consideremos , no R3, os seguintes vetores: v1 = (1, 3, 2) e v2 = (2, 4, 1). Escreva
o vetor v = (4, 18, 7) como combinac¸a˜o linear dos vetores v1 e v2.
19. Seja V = R5 e W = {(0, x2, x3, x4, x5)} , W e´ um subespac¸o veto- rial?
20. Seja S = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y + z = 0}, S e´ um subespac¸o de R3?
21. V = Mn e W e´ o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W e´ subespac¸o
de V , pois a soma das matrizes triangulares superiores ainda e´ uma matriz triangular
superior, assim como o produto de uma matriz triangular por um escalar (Verifique).
22. Seja V = R2 e W = {(x, y) ∈ R2/y = 2x}, W e´ subespac¸o vetorial de R2?.
23. V = R3: Seja W1 = {(x, y, z) ∈ R3/x = y = 0} e W2 = {(x, y, z) ∈ R3/x = 0}:
Achar o subespac¸o W1∩W2 e´ a reta de intersecc¸a˜o dos planos W1 e W2; ou seja W1∩W2 =
{(x, y, z) ∈ R3/x = y = 0}.
24. V = R3 W1 = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y+ z = 0} e W2 = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y− z = 0}
Achar o subespac¸o W1 ∩W2.
25. Verifique se o vetor v = (5, 2, 4) pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos
vetores v1 = (1, 1, 1); v2 = (1,−1, 1); v3 = (1, 1,−1).
26. No espac¸o vetorial P2 o polinoˆmio p = 7x
2 + 11x − 26 e´ combinac¸a˜o linear dos
polinoˆmios: q1 = 5x
2 − 3x+ 2 e q2 = −2x2 + 5x− 8; de fato p = 3q1 + 4q2 (confira).
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27. Verifique que em P2 o polinoˆmio p(x) = 1 + x
2 e´ uma combinac¸a˜o dos polinoˆmios
q(x) = 1, r(x) = 1 + x e s(x) = 1 + x+ x2.
28. Consideremos , no R3, os seguintes vetores: v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1)
Escreva o vetor v = (−4;−18; 7) como combinac¸a˜o linear dos vetores v1 e v2.
29. Sejam β = {(1, 2, 3); (1, 1, 1); (1, 0, 0)} α = {(1, 2, 3); (1, 1, 1); (3, 5, 7)} Os conjuntos
α e β acima sa˜o L.I ou L.D?
30. Os vetores u = (3, 0) e v = (0, 4) geram o espac¸o vetorial R2 ?.
31. Seja V = R3. Determinar o subespac¸o gerado pelo vetor v1 = (1, 3, 9)
32. Seja V = R3. Determinar o subespac¸o gerado pelo vetores v1 = (1, 2, 3); v2 =
(2, 3, 5)
33. Seja V = R3. Determinar o subespac¸o gerado pelo vetores v1 = (1, 0, 3), v2 =
(1, 1, 4)
34. Seja V = R3. Determinar o subespac¸o gerado pelo vetores v1 = (1, 0, 4), v2 =
(1, 2, 5)
35. Encontre o subespac¸o vetorial de P3 gerado por U = {(1, t, t2, 3 + t3)}.
36. Encontre o subespac¸o vetorial de P3 gerado por U = {(1, t, t2, 4 + t3)}.
37. Encontre o subespac¸o vetorial de P3 gerado por U = {(1, t, t2, 5 + t3)}.
38. Encontre o subespac¸o vetorial gerado de M2 gerado por
G = [
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
−1 0
)
]
39. Encontre o subespac¸o vetorial gerado de M2 gerado por
G = [
(
1 0
0 0
)
,
(
0 0
0 −1
)
]
40. Encontre o subespac¸o vetorial gerado de M2 gerado por
G = [
(
0 0
0 −1
)
,
(
0 1
−1 0
)
]
41. Encontre um conjunto de geradores para W = {X ∈M(4, 1)/AX = 0} onde
A =

1 1 −1 0
2 0 1 1
3 1 0 1
0 −2 3 1

42. Encontre um conjunto de geradores para W = {X ∈M(4, 1)/AX = 0} onde
A =

1 1 −1 0
3 7 −9 −2
3 −1 3 2
0 −2 3 1
.
43. Encontre um conjunto de geradores para W = {X ∈M(4, 1)/AX = 0} onde
A =

1 1 1 0
3 7 −3 2
3 −1 9 −2
0 2 −3 1
.
44. Sejam os subespac¸os vetoriais W1 = {(a, b, 0)/a, b ∈ R} e W2 = {(0, 0, c)/c ∈ R}
do espac¸o vetorial R3. A soma W1 +W2 = {(a, b, c)/a, b, c ∈ R} e´ subespac¸o vetorial, que
nesse caso e´ o pro´prio R3.
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45. Seja β = {(1, 1); (1, 0)} e´ base de R2 ?.
46. Seja β = {(1,−1); (−1, 0)} e´ base de R2 ?.
47. Seja β = {(1,−1, 1); (−1, 0, 0), (0, 1, 0)} e´ base de R3 ?.
48. Seja β = {(1, 1, 1); (1, 0, 0), (0, 1, 1)} e´ base de R3 ?.
49. O conjunto β = {(0, 1); (0, 2)} e´ base de R2 pois e´ um conjunto LD ?.
50. Seja V = R3 enta˜o β = {(1, 0, 0); (0, 1, 1); (1,−1, 1)} e´ uma base do R3 (verifique!).
51. Seja V = R3 enta˜o β = {(1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1)} e´ uma base do R3 (verifique!).
52. Seja V = R3 enta˜o β = {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} e´ uma base do R3 (verifique!).
53. Encontre uma base para U + W onde U = {(x, y, z) ∈ R3/x + y + z = 0} e
W = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y = 0ex− z = 0}.
54. Encontre uma base para U + W onde U = {(x, y, z) ∈ R3/x − y + z = 0} e
W = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y − z = 0ex− z = 0}.
55. O conjunto β = {(1, 2, 1); (1, 3, 0)} ⊂ R3 e´ LI e gera o subespac¸o W = {(x, y, z) ∈
R3/3x− y − z = 0}?.
56. O conjunto β = {(1, x, x2, ..., xn)} e´ uma base do espac¸o vetorial Pn?.
57. No R2 consideremos as bases α = {(1, 0); (0, 1)}; β = {(2, 0); (1, 3)} e γ =
{(1, 3); (2, 4)}: Dado o vetor v = (8, 6) expressar nas bases respectivas α, β γ.
58. Mostre que os vetores (1, 1, 1); (0, 1, 1) e (0, 0, 1) formam uma base de R3. Encontre
as coordenadas de (1, 2, 0) ∈ R3 com relac¸a˜o base β formada pelos vetores acima.
59. Mostre que os vetores (1,−1, 1); (0, 1, 1) e (0, 0, 1) formam uma base de R3. En-
contre as coordenadas de (6, 7, 5) ∈ R3 com relac¸a˜o base β formada pelos vetores acima.
60. Mostre que os vetores (1, 1, 1); (0, 1, 1) e (0, 0, 1) formam uma base de R3. Encontre
as coordenadas de (8, 3, 9) ∈ R3 com relac¸a˜o base β formada pelos vetores acima.
61. Verifique que R3 e´ a soma direta de W1 = {(x, y, z) ∈ R3/x + y + z = 0} e
W2 = {(x, y, z) ∈ R3/x = y = 0}.
62. Verifique se R2 com as operac¸o˜es definidas por:
i. (x, y) + (s, t) = (s, y + t); onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2.
ii. α(x, y) = (αx, y); onde α ∈ R e u = (x, y) ∈ R2 e´ um espac¸o vetorial.
63. Mostre que R2 com as operac¸o˜es definidas por:
i. (x, y) + (s, t) = (x+ s, y + t); onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2
ii. α(x; y) = (αx, αy); onde α ∈ R e u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2 e´ um espac¸o
vetorial .
W e´ um subespac¸o do espac¸o vetorial V :
64. (a)V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3/2x+ 3y − z = 0}
65. (b) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y = 1}66. (c) V = Pn e W = {p ∈ Pn/p(0) = p(1)}.
67. (d) V = M(n, n) e W = {A ∈M(n, n)/BA = 0}.
68. V = P3 e W e´ o conjunto dos polinoˆmios de grau ≤ 3 que passam pelo ponto
P (0, 0):
69. Verifique se o conjunto W = {(1, 2, 3); (1, 3, 1); (0, 3, 1); (1, 4, 5)} ⊂ R3 e´ L.I ou
L.D.
70. Dado o conjunto W = {(1, 1, 2); (1, 2, 1); (2, 3, 3); (1, 4, 5)} ⊂ R3, extrair um sub-
conjunto de vetores L.I.
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71. Dado o conjunto W = {(1, 1, 3); (1, 2, 1); (0, 1, 3); (1, 4, 5)} ⊂ R3, extrair um sub-
conjunto de vetores L.I.
72. Dado o conjunto W = {(1, 1, 3); (1, 4, 1); (2, 5, 4); (1, 4, 5)} ⊂ R3, extrair um sub-
conjunto de vetores L.I.
Considere o espac¸o vetorial P3 e o conjunto W = {p(x) ∈ P3/p′′(1) = 0}:
73. (a) Verifique se W e´ um subespac¸o vetorial de P3
74. (b) Obtenha os geradores de W .
Considere o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0, 0); v2 = (0, 0, 1, 1);
v3 = (2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0):
75. (a) O vetor (2, 3, 2, 2) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique.
76. (b) O vetor (4, 5, 6, 6) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique.
77. (c) O vetor (7, 8, 9, 9) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique.
Sejam U = [(1, 0, 0); (1, 1, 1)] e V = [(0, 1, 0); (0, 0, 1)] subespac¸os gerados do R3: De-
termine:
78. (a) uma base e a dimensa˜o de U ∩W .
79. (b) U +W = R3 ?.
Considere o seguinte subespac¸o de M(2, 2)
S = {
[
a b
c d
]
∈M(2, 2)/a+ b = c+ d = 0}
80. (a) Determine uma base e indique a dimensa˜o de S:
81. (b) Construa uma base de M(2, 2) que contenha a base de S obtida no tem a).
82. Sejam U e W subespac¸os de R4 de dimensa˜o 2 e 3; respectivamente. Mostre que a
dimensa˜o de U ∩W e´ pelo menos 1: O que ocorre se a dimensa˜o de U ∩W for 2 ? Pode
ser 3 ? Justifique sua resposta.
83. Sejam U e W subespac¸os de R3 de dimensa˜o 1 e 2; respectivamente. Mostre que a
dimensa˜o de U ∩W e´ pelo menos 0: O que ocorre se a dimensa˜o de U ∩W for 1 ? Pode
ser 2 ? Justifique sua resposta.
Considere os subespac¸os de R5; W1 = {(x, y, z, t, w)/x + z + w = 0;x + w = 0} ;
W2 = {(x, y, z, t, w)/y + z + t = 0} e W3 = {(x, y, z, t, w)/2x+ t+ 2w = 0}.
84. (a) Determine uma base para o subespac¸o W1 ∩W2.
85. (b) Determine uma base para o subespac¸o W1 ∩W3.
86. (c) Determine uma base para o subespac¸o W2 ∩W3.
87. (d) Determine uma base e a dimensa˜o de W1 +W3.
Sejam U = [(1, 0, 0); (1, 1, 1)] e V = [(0, 1, 0); (0, 0, 1)] subespac¸os gerados do R3: De-
termine:
89. (a) uma base e a dimensa˜o de U ∩W
90. (b) U +W = R3 ?