Círculos - geometria

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Círculos ou circunferências 
O terceiro postulado de Euclides diz que é possível 
traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer 
raio. Com os nossos axiomas, este postulado é 
simplesmente uma consequência. 
 
Até o momento nós estudamos apenas triângulo e 
quadriláteros, figuras planas definidas por pontos e retas. 
Começaremos nosso estudo do círculo, que é uma figura 
plana definida através da noção de distância entre dois 
pontos. 
 
Seja 𝑂 um ponto e 𝑅 um número positivo. 
 
Definição. O círculo com centro 𝑂 e raio 𝑅 é o conjunto dos 
pontos 𝑄 tais que 𝑂𝑄 = 𝑅. 
Dois ou mais círculos com o mesmo centro são ditos 
concêntricos. Se Q é qualquer ponto do círculo, então o 
segmento OQ é um raio do circulo, e Q é a extremidade do 
raio. Se Q e R são pontos do círculo, então QR é uma corda do 
círculo. Uma corda que contém o centro é denominada um 
diâmetro do círculo. Evidentemente, o comprimento de todo 
diâmetro é o número 2r. Este número é denominado o 
diâmetro do círculo. 
Observação Note que a palavra raio é 
usada com dois sentidos. Ela pode 
significar um número 𝑅 ou um segmento 
𝑂𝑄. Porém, no contexto sempre será 
fácil identificar o significado. Quando 
falamos “o raio”, falamos do número 𝑅, e 
quando falamos de “um raio”, falamos de 
um segmento. Da mesma forma, para a 
palavra diâmetro. 
Tangência e ângulos no círculo 
Comecemos esta seção estudando uma das mais importantes 
noções da Geometria Euclidiana, qual seja, a de reta e círculos 
tangentes. 
 
Dizemos que um círculo  e uma reta r são tangentes ou, ainda, que 
a reta r é tangente ao círculo , se r e  tiverem exatamente um ponto 
P em comum. Nesse caso, P é denominado o ponto de tangência de r 
e . 
 
A proposição a seguir ensina como construir uma reta tangente a 
um círculo dado e passando por um ponto do mesmo. 
 
Teorema. Se uma reta é perpendicular a um raio de um círculo 
em sua extremidade, então a reta é tangente ao círculo. 
Demonstração Sejam 𝐶 um círculo com 
centro em 𝑂 , 𝑂𝑃 um raio e 𝑡 a 
perpendicular a 𝑂𝑃 em 𝑃. Se 𝑅 é qualquer 
outro ponto de r, então 𝑂𝑅 > 𝑂𝑃, já que 
o menor segmento unindo um ponto a uma 
reta é o segmento perpendicular. 
Portanto, 𝑅 está no exterior de 𝐶. Logo, 𝑡 
intersecta 𝐶 somente no ponto 𝑃, o que 
implica que 𝑡 é tangente a 𝐶. 
Teorema. Toda tangente 𝑟 a um círculo C é perpendicular ao raio 
com extremidade no ponto de tangência 𝑄. 
Dados no plano um círculo  e um ponto P sobre o 
mesmo, mostre que a reta tangente a  em P é 
única. 
 
Proposição. Um raio é perpendicular a uma corda (que não é um 
diâmetro) se e somente se a divide em dois segmentos congruentes. 
Voltemo-nos, agora, ao estudo de certos ângulos em um círculo. 
Dado, no plano, um círculo  de centro O, um ângulo central em  
é um ângulo de vértice O e tendo dois raios OA e OB por lados. Em 
geral, tal ângulo central será denotado por AOB e o contexto 
tornará claro a qual dos dois ângulos  AOB estamos nos referindo. 
Por definição, a medida do ângulo central  AOB é igual à medida do 
arco correspondente. O exemplo a seguir mostra que ângulos 
centrais iguais subentendem cordas também iguais. 
Suponha que AÔB = CÔD < 180 (o caso AÔB =CÔD > 180 pode 
ser tratado de modo análogo). Como AO = CO, BO =DO e AÔB 
= CÔD, os triângulos AOB e COD são congruentes por LAL, de 
modo que AB = CD. 
Outra importante classe de ângulos em um círculo é aquela formada 
pelos ângulos inscritos. Por definição, um ângulo inscrito num 
círculo é um ângulo cujo vértice é um ponto do círculo e cujos lados 
são duas cordas do mesmo. 
 
Outra maneira útil de generalizarmos ângulos inscritos é considerar 
ângulos ex-cêntricos mas, nesse caso, há dois tipos distintos, quais 
sejam, os interiores e os exteriores. Um ângulo ex-cêntrico interior 
é um ângulo formado por duas cordas de um círculo que se 
intersectam no interior do mesmo; 
 
Um ângulo ex-cêntrico exterior é um ângulo formado pelas retas 
suporte de duas cordas de um círculo que se intersectam no 
exterior do mesmo. 
(a) Basta aplicar sucessivamente o teorema do ângulo externo 
(Corolário 3.7, Unidade 3) e o resultado da Proposição 4: 
Círculos associados a um triângulo 
Quadriláteros Inscritíveis 
e Circunscritíveis 
Contrariamente aos triângulos, nem todo quadrilátero 
(convexo) admite um círculo passando por seus vértices. 
Para ver isso, basta tomar um triângulo ABD e um ponto C 
não pertencente ao círculo circunscrito a ABD. Por outro 
lado, dizemos que um quadrilátero é inscritível se existir 
um círculo passando por seus vértices. 
 
 
 
• É imediato a partir da unicidade do círculo 
circunscrito a um triângulo quese um 
quadrilátero for inscritível, então o círculo que 
passa por seus vértices é único e será doravante 
denominado o círculo circunscrito ao 
quadrilátero. 
 
• Podemos mostrar que um quadrilátero é 
inscritível se, e só se, as mediatrizes de seus lados 
se intersectarem em um único ponto, o 
circuncentro do quadrilátero. Porém, nas 
aplicações que temos em mente, a caracterização 
dos quadriláteros inscritíveis dada a seguir 
mostra-seem geral mais útil: 
 No que segue, apresentamos duas aplicações importantes 
da proposição acima. Para a primeira delas, precisamos da 
seguinte nomenclatura: o triângulo órtico de um triângulo não-
retângulo ABC é o triângulo formado pelos pés das alturas de 
ABC. 
 Nossa segunda aplicação diz respeito à seguinte situação: 
dados no plano um triângulo ABC e um ponto P não situado sobre 
qualquer das retas suportes dos lados de ABC, marcamos os 
pontos D, E e F, pés das perpendiculares baixadas de P 
respectivamente aos lados BC, CA e AB. O triângulo DEF assim 
obtido é o triângulo pedal de P em relação a ABC. Por exemplo, 
o triângulo órtico de um triângulo é o triângulo pedal do 
ortocentro do triângulo. 
Nas notações da discussão acima, quando P estiver sobre 
o círculo circunscrito a ABC diremos que a reta que passa 
pelos pontos D, E e F é a reta de Simson-Wallace de P 
relativa a ABC. 
Voltando à discussão do parágrafo inicial desta seção, 
observamos agora que nem todo quadrilátero convexo 
possui um círculo tangente a todos os seus lados. Quando 
tal ocorrer, diremos que o quadrilátero é circunscritível e 
que o círculo tangente a seus lados é o círculo inscrito no 
quadrilátero. O teorema a seguir, conhecido como o 
teorema de Pitot, dá uma caracterização útil dos 
quadriláteros inscritíveis.