Geometria Espacial

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GEOMETRIA ESPACIAL 
Axiomas da Geometria Diferencial: 
Incidência 
• Axioma 𝐼1: Para todo ponto 𝑃 e para todo ponto 𝑄 distinto 
de 𝑃, existe uma única reta l que passa por 𝑃 e 𝑄. 
• Axioma 𝐼2: Toda reta possui pelo menos dois pontos 
distinto. 
• Axioma 𝐼3: Existe pelo menos 3 pontos não colineares. 
 Axioma 𝐼4: Dados três pontos não colineares do espaço, 
existe um, e somente um, plano que os contém. 
• Axioma 𝐼5:. Se uma reta possui dois de seus pontos em um 
plano, ela está contida no plano. 
• Axioma 𝐼6: Existe pelo menos 4 pontos não coplanares 
• Axioma 𝐼7: Se dois planos possuem um ponto em comum, 
então eles possuem pelo menos uma reta em comum. 
Teorema 1. Existe um único plano que contém uma reta e 
um ponto não pertencente a ela. 
• Que combinações de pontos e retas determinam um 
plano? 
• Como pode ser a interseção de duas retas no espaço? 
• E de dois planos? 
• E de uma reta e um plano? 
Posição de Retas 
Como pode ser a interseção de duas retas? 
Pelo Axioma 𝐼1, duas retas distintas podem ter no máximo 
um ponto comum. De fato, como existe uma única reta que 
passa por dois pontos distintos, duas retas que tenham 
mais de um ponto comum são obrigatoriamente 
coincidentes (isto é, são a mesma reta). 
 
Quando duas retas têm exatamente um ponto comum, elas 
são chamadas de concorrentes. 
Proposição: Duas retas concorrentes determinam um único 
plano. 
 
 
 
 
 
 
De fato, seja P o ponto de interseção das retas r e s. 
Sejam R e S pontos de r e s, respectivamente, distintos de 
P. Os pontos P, R e S são não colineares; portanto, 
determinam um único plano , que certamente contém r e 
s, já que essas retas têm dois de seus pontos em . 
Já quando duas retas não possuem ponto em comum, elas 
podem ou não determinar um plano. Consideremos a 
situação da figura abaixo, que mostra três pontos não 
colineares A, B e C, que determinam um plano , um ponto 
D exterior a , e as retas r e s, definidas por A e B e por C e 
D, respectivamente. É claro que não existe nenhum ponto 
comum a r e s. 
Note que s só tem o ponto 𝐶 em comum com ; se tivesse 
um outro ponto comum, 𝑠 teria que estar contida em , o 
que é impossível, já que 𝐷 é exterior a . Por outro lado, 
não existe nenhum plano que contenha, simultaneamente, 
𝑟 e 𝑠. Basta observar que  é o único plano que passa por 
𝐴, 𝐵 e 𝐶 e que 𝐷 não pertence a este plano. Retas como 𝑟 
e 𝑠 são chamadas de retas não-coplanares ou reversas. 
 
Retas reversas sempre possuem interseção vazia. 
Mas duas retas do espaço podem não ter pontos de 
interseção e serem coplanares. Neste caso, dizemos 
que as retas são paralelas. Sabemos, da Geometria 
Plana, que por um ponto do plano exterior a uma reta 
passa uma única reta paralela a ela. O mesmo ocorre 
no espaço. Isto é, 
 
Por um ponto 𝑃 exterior a uma reta 𝑟 do espaço passa 
uma única reta 𝑠 paralela a ela. 
 
De fato, seja 𝑟 uma reta do espaço e seja 𝑃 um ponto não 
pertencente a 𝑟 . Como vimos, existe um único plano  que 
contém 𝑃 e 𝑟; nesse plano, existe uma, e somente uma, reta 
𝑠 paralela a 𝑟 passando por 𝑃. Por outro lado, não existem 
retas paralelas a 𝑟 passando por 𝑃 que não estão contidas 
em , já que todas as retas coplanares com r passando por 𝑃 
estão contidas em . Assim, a reta 𝑠 é a única reta do espaço 
que contém 𝑃 e é paralela a 𝑟. 
 
Em resumo, duas retas distintas do espaço estão em um dos 
casos dados no quadro abaixo: 
 
 
 
Posição Relativa de Reta e Plano 
 
A pergunta agora é: como pode ser a interseção de uma 
reta e um plano? Pelo Axioma 𝐼5, se uma reta r possui dois 
ou mais pontos pertencentes a um plano , todos os seus 
pontos estarão em ; isto é r estará contida em . 
 
 
Um outro caso possível é aquele em que r tem apenas um 
ponto em comum com (dizemos nesse caso que r é 
secante a ). 
Finalmente, uma reta pode não ter pontos em comum com 
um plano (dizemos que a reta e o plano são paralelos). 
Seja um plano, 𝑟 uma reta contida em  e 𝑃 um ponto 
exterior a . A reta s, paralela a r passando por 𝑃, é 
paralela a . De fato, seja  o plano definido por 𝑟 e 𝑠. Se 
s não fosse paralela a , a interseção de 𝑟 e  seria um 
ponto 𝑄 não pertencente a 𝑟, já que 𝑟 e 𝑠 são paralelas. 
Mas isto faria com que os planos distintos  e  tivessem 
em comum a reta 𝑟 e o ponto exterior 𝑄 , o que é 
impossível. 
 
Em resumo, uma reta 𝑟 e um plano  podem estar em um 
dos casos a seguir: 
Posição Relativa de Dois Planos 
Obtemos uma classificação para a posição relativa de dois 
planos procurando responder à pergunta: como pode ser a 
interseção de dois planos distintos? O primeiro resultado é 
a seguinte: 
 
• Proposição: Se dois planos distintos possuem mais de 
um ponto em comum, sua interseção é uma reta (neste 
caso, dizemos que os planos são secantes). 
• De fato, se os pontos P e Q são comuns a  e  , então, 
pelo Axioma 𝐼5, a reta r definida por P e Q está contida, 
simultaneamente, em  e  e, portanto, em sua 
interseção. Por outro lado, se houvesse um ponto R 
comum a  e  que não pertencesse a r, os planos  e  
seriam coincidentes, já que r e R determinam um único 
plano. Logo, r é a interseção de  e  . 
A próxima possibilidade a ser considerada é a de dois 
planos terem exatamente um ponto em comum. Esta 
possibilidade é descartada pelo Axioma 𝐼7. 
 
Resta-nos apenas mais uma possibilidade: a de que os 
planos sejam paralelos (isto é, não possuam pontos 
comuns). Mas existem realmente planos que não tenham 
ponto em comum? 
Construção de um plano paralelo a um plano  dado. 
Seja 𝑃 um ponto exterior ao plano . Tomemos duas retas 
concorrentes 𝑟 e 𝑠 em  . Sejam 𝑟´ e 𝑠´ as paralelas a 𝑟 e 𝑠 
passando por 𝑃. Estas retas determinam um plano , que 
é, como vamos provar, paralelo a . 
Suponhamos que  não seja paralelo a . Então  e  
possuem uma reta de interseção 𝑡. As retas 𝑟´, 𝑠´ e 𝑡 são 
coplanares. Por outro lado, as retas 𝑟´ e 𝑠´ não podem ser 
ambas paralelas a 𝑡 . Logo, pelo menos uma delas 
(digamos 𝑟´ ) é concorrente com 𝑡 e, portanto, secante a . 
Mas como 𝑟´ é paralela a uma reta de  , resulta que 𝑟´ é 
paralela a . Temos, portanto, uma contradição, o que 
demonstra que  e  são paralelos. 
 
 
A construção acima mostra como construir um plano 
paralelo a  passando pelo ponto exterior 𝑃. 
O quadro abaixo resume as situações possíveis para a 
posição relativa de dois planos distintos  e  : 
PLANOS, TEOREMA DE 
TALES, SÓLIDOS 
Com as propriedades já estabelecidas, podemos, já nesse 
ponto, construir nossos primeiros sólidos. A maior parte 
dos livros didáticos para o Ensino Médio adia a 
apresentação dos sólidos clássicos (prismas, pirâmides, 
esfera, etc) para mais tarde, quando se ensina a calcular 
áreas e volumes desses sólidos. 
 
Nada impede, no entanto, que eles sejam apresentados 
mais cedo, de modo a colaborar na fixação dos conceitos 
fundamentais, já que exemplos muito mais ricos de 
situações envolvendo pontos, retas e planos podem ser 
elaborados com seu auxílio. 
Pirâmide 
Consideremos um prisma triangular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 . Quantos 
planos distintos são determinados por um subconjunto dos 
6 vértices do paralelepípedo? 
 
Descobrindo Relações de Paralelismo 
Vamos tomar um paralelepípedo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 e observar 
algumas relações de paralelismo entre as retas e planos lá 
presentes. 
Planos Paralelos e Proporcionalidade 
Teorema 1(Teorema de Talespara Planos Paralelos) Um 
feixe de planos paralelos determina segmentos 
proporcionais sobre duas retas secantes quaisquer. 
Construção de Pirâmides Semelhantes