Gabarito Lista 8

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Noc¸o˜es de Estat´ıstica
2º sem de 2016 - FEA
Lista de exerc´ıcios 8 - Introduc¸a˜o e Estat´ıstica Descritiva - CASA
Exerc´ıcio 1
Numa pesquisa de mercado, deseja-se estimar a proporc¸a˜o de pessoas que comprara˜o
o sabonete A.
a) Qual deve ser o tamanho de amostra para que, com probabilidade 0,9, a estimativa
na˜o se desvie da verdadeira proporc¸a˜o por mais de 0,05?
b) Se tivermos a informac¸a˜o adicional de que a aceitac¸a˜o do sabonete A e´ no mı´nimo
80%, qual deve ser enta˜o o tamanho da amostra?
c) Decidiu-se colher uma amostra de tamanho 81. Qual e´ o erro ma´ximo que se come-
tera´, com probabilidade 0,9?
d) Para a amostra de tamanho 81, qual e´ a probabilidade do erro ma´ximo ser 0,08?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 1
1.a)
γ = 0, 9, ε = 0, 05
x1 µ x2
0,05
0,90
0,05
Figura 1:
1
Assim, z = Φ−1(0, 95) = 1, 64, desta forma
n =
(z
ε
)
2
p(1− p) ≤
(
1, 64
0, 05
)
2
0, 25 = 268, 96
∴ n ≈ 269
1.b)
p ≥ 0, 8 ⇒ p(1− p) ≤ 0, 16
∴ n ≤
(
1, 64
0, 05
)2
0, 16 = 172, 13
Assim, o tamanho da amostra cairia para n ≈ 172.
1.c)
ε = 1, 64
√
0, 25
81
= 0, 09
1.d)
z =
ε
√
n√
p(1− p)
=
0, 08
√
81√
0, 25
= 1, 44
∴ γ = 2P(Z < 1, 44)− 1 = 2 ∗ 0, 925− 1 = 0, 85
2
Exerc´ıcio 2
Um reme´dio em fase experimental foi aplicado numa amostra de 200 pessoas doentes
e verificou-se que 150 apresentaram melhora.
a) Construa um intervalo de confianc¸a para a proporc¸a˜o de doentes que melhoram apo´s
a ingesta˜o do reme´dio, com coeficiente de confianc¸a de 0,95.
b) Qual e´ o comprimento do intervalo?
c) Se deseja´ssemos ter um comprimento igual a 0,02, com o mesmo coeficiente de
confianc¸a, qual deveria ser o tamanho da amostra?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2
X : Nu´mero de pacientes que melhoraram apo´s a aplicac¸a˜o do reme´dio.
n = 200 e x = 150 ⇒ pˆ = 0, 75
2.a)
Temos γ = 0, 95, assim z = 1, 96. Desta forma um intervalo e´ dado por(
pˆ− z
√
pˆ(1− pˆ)
n
; pˆ+ z
√
pˆ(1− pˆ)
n
)
(
0, 75− 1, 96
√
0, 75 ∗ 0, 25
200
; 0, 75 + 1, 96
√
0, 75 ∗ 0, 25
200
)
∴ (0, 69; 0, 81)
2.b)
O comprimento do intervalo e´ 0,12.
2.c)
n =
(z
ε
)2
p(1− p) =
(
1, 96
0, 01
)2
0, 75 ∗ 0, 25 = 7203
3
Exerc´ıcio 3
Um plano de acompanhamento me´dico para opera´rios da construc¸a˜o civil em Sa˜o
Paulo sera´ proposto pelo sindicato. Mais especificamente, o sindicato fara´ acompanha-
mento me´dico dos opera´rios com taxa de hemoglobina no sangue alterada: abaixo de
12gramas/cm3 ou acima de 16gramas/cm3. Para um bom planejamento deste servic¸o, o
sindicato deseja estimar a proporc¸a˜o p e opera´rios da construc¸a˜o civil que necessitam de
acompanhamento me´dico, com base nos valores das taxas de hemoglobina fornecidos por
uma amostra aleato´ria de opera´rios.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro cometido ao estimar p seja
0,07, com coeficiente de confianc¸a de 90%?
b) Se o sindicato tiver informac¸a˜o de que p e´ no ma´ximo 60%, e´ poss´ıvel diminuir o
tamanho da amostra para atender as mesmas exigeˆncias em (a)? E se a informac¸a˜o
e´ de que p na˜o ultrapassa 30%?
c) Uma amostra de 40 opera´rios da construc¸a˜o civil em Sa˜o Paulo forneceu os seguintes
valores da taxa de hemoglobina no sangue (em gramas/cm3):
11, 1 13, 9 12, 7 12, 6 13, 0 13, 5 15, 4 13, 7 14, 5 14, 8
12, 2 12, 3 12, 6 13, 4 16, 9 12, 7 16, 3 14, 1 15, 0 13, 6
11, 7 14, 4 11, 3 15, 2 15, 8 12, 3 15, 2 12, 3 16, 5 11, 4
12, 5 13, 6 11, 7 13, 2 14, 7 13, 5 12, 3 12, 6 13, 0 12, 8
Deˆ uma estimativa pontual para p e, com base nela, construa um intervalo de 90%
de confianc¸a para p. Qual e´ o erro amostral de sua estimativa?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3
3.a)
ε = 0, 07 γ = 0, 9 ⇒ z = 1, 64
n =
(z
ε
)2
p(1− p) ≤
(
1, 64
0, 07
)2
0, 25 = 137, 22
3.b)
Temos que p e´ no ma´ximo 60%, mas o valor ma´ximo que p assume no caso geral e´
50%. Sendo assim essa informac¸a˜o na˜o diminui o tamanho da amostra, pois continuamos
tendo o maior valor de p como opc¸a˜o.
Agora tendo que p e´ no ma´ximo 30%, temos
p ≤ 0, 3 ⇒ p(1− p) ≤ 0, 21
n =
(
1, 64
0, 07
)2
0, 3 ∗ 0, 7 = 115, 27
4
3.c)
Temos 8 amostras onde a taxa de hemoglobina no sangue e´ inferior a 12 ou superior
a 16. Logo uma estimativa pontual e´
pˆ =
8
40
= 0, 2.
Utilizando esta estimativa podemos obter um intervalo de confianc¸a.(
pˆ− z
√
pˆ(1− pˆ)
n
; pˆ+ z
√
pˆ(1− pˆ)
n
)
(
0, 2− 1, 64
√
0, 2 ∗ 0, 8
40
; 0, 2 + 1, 64
√
0, 2 ∗ 0, 8
40
)
∴ (0, 096; 0, 304)
Temos que o erro e´ dado por
ε = z
√
pˆ(1− pˆ)
n
= 1, 64
√
0, 2 ∗ 0, 8
40
= 0, 1037
5
Exerc´ıcio 4
Um cientista resolve estimar a proporc¸a˜o de indiv´ıduos com certa mole´stia numa
regia˜o. Ele deseja que a probabilidade de que a sua estimativa na˜o se desvie do verdadeiro
valor de p por mais que 0,02 seja de pelo menos 95%. Qual deve ser o tamanho da
amostra para que essas condic¸o˜es sejam satisfeitas? Um outro cientista descobre que
a doenc¸a em questa˜o esta´ relacionada com a concentrac¸a˜o da substaˆncia A no sangue
e que e´ considerado doente todo indiv´ıduo para o qual a concentrac¸a˜o A e´ menor que
1, 488mg/cm3. Sabe-se que a concentrac¸a˜o da substaˆncia A no sangue tem distribuic¸a˜o
normal com desvio padra˜o menor que 0, 4mg/cm3 e me´dia 2, 0mg/cm3. Voceˆ acha que
essas novas informac¸o˜es podem ser utilizadas pelo primeiro cientista para diminuir o
tamanho amostral? Em caso afirmativo, qual seria o novo tamanho amostral?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 4
ε = 0, 02, γ = 0, 95 ⇒ z = 1, 96
n =
(z
ε
)2
p(1− p) =
(
1, 96
0, 02
)2
0, 25 = 2401
Agora com a informac¸a˜o sobre a concentrac¸a˜o da substaˆncia A no sangue
A ∼ N(2, 0; 0, 42)
P(A < 1, 488) = P
(
Z <
1, 488− 2
0, 4
)
= P(Z < −1, 28) = 0, 1003 ⇒ pˆ = 0, 1003
Assim
n =
(
1, 96
0, 02
)2
0, 1003 ∗ 0, 8927 = 866, 45
Desta forma, com a informac¸a˜o adicional podemos reduzir o tamanho amostral de
2401 para 866.
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