Mecânica II - POli - P3 2004

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5355 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
PME 2200 – MECÂNICA B – Terceira Prova – 06 de julho de 2004 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
 
1ª Questão (4,0 pontos) 
 
A barra de massa m e comprimento L está sob ação da força F, como 
indicado na figura. A barra está articulada no ponto A, que pode 
deslocar-se sem atrito na direção x. A mola possui rigidez k e o 
amortecedor viscoso linear possui constante c. Todo o sistema 
encontra-se apoiado em um plano horizontal. Usando x e θθθθ como 
coordenadas generalizadas deste sistema, determine: 
(a) A energia cinética do sistema. 
(b) A energia potencial do sistema. 
(c) A equação de movimento para a coordenada x, usando o método 
de Lagrange. 
(d) A equação de movimento para a coordenada θθθθ, usando o método 
de Lagrange. 
 
 
2ª Questão (3,0 pontos) 
 
Uma força P, conhecida, é aplicada a um sistema, conforme 
mostrado na figura. Todo o sistema encontra-se apoiado em um 
plano horizontal e a distância a é constante. Utilizando o Princípio 
dos Trabalhos Virtuais, determine o módulo do momento M que 
mantém o sistema em equilíbrio. 
 
 
 
3ª Que stão (3,0 pontos) 
 
No EP-2 foi solicitada a modelagem 
de um satélite com corpo de massa M, 
possuindo dois painéis solares de 
comprimento 2a e massa m cada, 
acoplados ao corpo com articulações 
em A e B, conforme mostrado na 
figura. Cada articulação contém uma 
mola espiral de rigidez angular K, 
ligando o painel ao corpo, cuja posição 
angular de força nula corresponde a 
θθθθ = π/2. Lembrando que a energia 
cinética pode ser determinada por: 
 
2a 
x 
K, C θ1 
b) Abertura dos painéis 
-θ2 K, C 
a) Posição de lançamento 
M 
A 
B 
y articulação do painel mola espiral e atrito na articulação 
m, JA 
M 
k
c
L
x
F
A θ
g
A
B
C
L
L/2
a
θ
P
M
g
 
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ωωω A
T
A JAGVmmVT 2
1)(
2
1 2 +−∧⋅+= r
r
 
 
(a) Determine as energias cinética T e potencial V do sistema; 
(b) Desenhe o diagrama de blocos que você implementou no programa de simulação numérica, para 
o sistema nas coordenadas generalizadas (x e θθθθ); 
(c) Esboce o gráfico temporal da posição angular do painel em A, durante a simulação do processo 
de abertura dos painéis. 
 
 
 
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PME 2200 – MECÂNICA B – Terceira Prova – 06 de julho de 2004 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
RESOLUÇÃO 
 
1ª Questão (4,0 pontos) – Resolução 
 
 
n.g.l = 2 
θ=
=
2
1
q
xq
 
( ) 222
3
mL
2
1jsenicos
2
Lkixmxm
2
1T θ+θ+θ∧θ⋅+= &
rr
&
r
&&
 
 
2
2
2
6
mL
senx
2
mL
xm
2
1T θ+θθ−= &&&&
 
 
Hipóteses: 
- mola ñ-deformada em x = 0; 
2
π
=θ ; 
- mola sempre horizontal. 
 
θ+=δ⇒ cosLxmola ( ) ⇒θ+=⇒ 2cosLxk2
1V θ+θ+= 222 coskL
2
1
coskxLkx
2
1V
 
 
θ−θ−−θ+θθ−= 2222
2
2 coskL
2
1
coskxLkx
2
1
6
mL
senx
2
mL
xm
2
1L &&&& 
2
xc
2
1R &= 
 
θθ−θθ−=





∂
∂
→θθ−=
∂
∂
cos
2
mL
sen
2
mL
xm
x
L
dt
d
sen
2
mL
xm
x
L 2&&&&&
&
&&
&
 
 
θ−−=
∂
∂
coskLkx
x
L
 ; xc
x
R
&
&
=
∂
∂
 
 
θ+θθ−θ−=





θ∂
∂
→θ+θ−=
θ∂
∂ &&&&&&
&
&&
& 3
mL
cosx
2
mL
senx
2
mLL
dt
d
3
mL
senx
2
mLL 22
 
θθ+θ+θθ−=
θ∂
∂
sencoskLkxLsencosx
2
mLL 2&&
 ; 0R =
θ∂
∂
&
 
 
( )θ+ cosLxk
xc &
L 
x 
F 
A 
θ 
g 
N 
 
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0F;Lsenx
FF;cosLxx
22
11
=θ=
=θ+=
 
 
θ−=′′
=′′
θ FLsenQ
FQx
 
 
FxccoskLkxcos
2
mL
sen
2
mL
xm 2 =+θ++θθ−θθ− &&&&&&
 
 
θ=θθ+θ+θθ−θ−θθ+θ FLsensencoskLkxLsencosx
2
mL
3
mL
cosx
2
mL
senx
2
mL 22 &&&&&&&&
 
 
 
 
 
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2ª Questão (3,0 pontos) – Resolução 
 
 
PTV: 0W =δ 
 
Sendo φ o ângulo que determina uma posição genérica da 
barra AB (na posição considerada 0=φ ): 
 
CPM δ=δφ (1) 
 
Sendo: 
 
( ) jLsencos
2
LiaAC
rr





 θ+φ+=− 
 
o deslocamento virtual de C é: 
 
θδθ+φδφ−=δ cosLsen
2
LC 
 
para 0=φ , 0sen =φ e portanto θδθ=δ cosLC (2) 
 
Da figura, considerando AB numa posição genérica, obtêm-se a seguinte relação geométrica: 
 
acosLsen
2
L
=θ+φ 
 
que diferenciando resulta em: 
 
δθφ
θ
=δφ→θδθ=φδφ
cos
sen2Lsencos
2
L
 
 
para 0=φ , 1cos =φ e portanto θδθ=δφ sen2 (3) 
 
Substituindo (2) e (3) em (1): 
 
θδθ=θδθ cosPLMsen2 
 
θ
θ
=
sen
cos
2
PLM
 
 
 
A
B
C
L
L/2
a
θ
P
M
g
 
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2ª Questão (3,0 pontos) – Resolução Alternativa 
 
 
PTV: 0W =δ 
 
Sendo φ o ângulo que determina uma posição genérica da 
barra AB (na posição considerada 0=φ ): 
 
CPM δ=δφ (1) 
 
Sendo: 
 
i
2
L
dt
dB r&φ= 
 
Propriedade de corpo rígido: 
 
 
( ) ( ) θ=θφ→θ=θφ→−⋅=−⋅ sen
dt
dC
cos
2
L
dt
d
sen
dt
dC
cos
2
LCB
dt
dCCB
dt
dB &
 
 
C
cosL
sen2dC
cosL
sen2ddCsencos
2
Ld δ
θ
θ
=δφ→
θ
θ
=φ→θ=θφ 
 
substituindo em (1): 
 
CPC
cosL
sen2M δ=δ
θ
θ
 
 
θ
θ
=
sen
cos
2
PLM
 
 
 
A
B
C
L
L/2
a
θ
P
M
g
 
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3ª Questão (3,0 pontos) - Resolução 
 
a) A energia cinética T e a energia potencial V para os dois elementos elásticos do sistema são 
dados por: 
22 )sen(2)2/( θθθ &&&& AJxmaxMmT +−+= (0,5 ponto) e2)2/( πθ −= KV (0,5 ponto) 
b) Diagrama de bloco do sistema utilizado no programa SCICOS (1,0 ponto) 
 
 
 
Resultados da abertura dos painéis na Etapa I estabiliza em π/2 (1,0 ponto) 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Tempo (s)
Po
si
çã
o 
an
gu
la
r 
(ra
d)
Abertura dos Painéis
 
Gráfico da história temporal da posição angular do painel