Mecânica II - POli - P3 2006

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
PME 2200 – MECÂNICA B – Terceira Prova – 28 de junho de 2006 
Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
 
1ª Questão (3,0 pontos) 
 
A barra AB de comprimento 2L, do mecanismo da figura ao 
lado, é articulada em C na bucha que desliza sem atrito ao 
longo da barra DE. Usando o Princípio do Trabalho Virtual, 
determine o momento M necessário para manter o 
mecanismo em equilíbrio quando submetido à força F, 
perpendicular à parede e aplicada no ponto A. (O mecanismo 
está sobre um plano horizontal sem atrito) 
 
 
2ª Questão (3,0 pontos) 
 
Um disco de massa m e raio R está articulado no 
ponto A. A barra OC, de massa m e comprimento L 
está articulada em O. Uma mola une a periferia do 
disco ao ponto C da barra. A extremidade C da barra 
está presa a um amortecedor viscoso linear. O 
momento M está aplicado na barra (considere a mola 
sem deformação na posição da figura e ângulo f 
pequeno). Pede-se determinar: 
 
a) A energia cinética do sistema 
b) A energia potencial do sistema 
c) A função de dissipação de Rayleigh do sistema 
d) As equações de movimento do sistema pelo método de Lagrange para as coordenadas f e q. 
 
 
3ª Questão (4,0 pontos) Baseada no 3º Exercício Programa. 
 
A figura mostra um volante homogêneo de massa kgM 0,1= e raio mR 1,0= desbalanceado pela adição 
de uma massa concentrada kgm 05,0= na sua periferia. Uma mola linear de constante elástica 
mNK /625.23= e um amortecedor viscoso linear de constante de amortecimento mNsC /10= estão 
conectados ao centro O do volante, que pode se movimentar apenas na direção vertical y. O volante gira 
sob a ação de um torque acionador que varia em função da velocidade angular q& segundo a expressão 
( ) ÷÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
op
TT
w
q
q
&
& 10 , onde 0T é o torque de partida do motor e rpmop 1800=w é a sua velocidade de 
operação quando desconectado do volante. 
 
 
B 
A 
E 
C 
F 
M D 
L 
L 
q 
 
A 
k 
O 
c 
m 
g 
q f 
M 
R 
L 
m 
C B 
 
 
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q&
m 
q
( )q&T 
y 
x 
g 
G 
O 
K C 
d 
volante 
 
Considere que o volante está inicialmente em repouso na posição y = 0 e que 2/81,9 smg = . 
 
As equações diferenciais que descrevem o movimento do sistema 
são: 
 
( )ïî
ï
í
ì
-=+
-+--=+
qqqq
qqqq
coscos
cos 2
gdmTJydm
gmsindmyCyKdmym
tZt
tttt
O
&&&&&
&&&&&&
 
 
onde 
mM
mR
d
MR
mRJ
OZ +
=+= ,
2
2
2 e mMmt += 
A freqüência natural do sistema composto pelo volante e pela 
mola é 
s
rad
m
K
t
nat 0,150==w . 
 
 
Pede-se: 
 
a) De que forma as equações acima devem ser reescritas para que possam ser integradas utilizando o 
SCICOS? Reproduza o diagrama SCICOS empregado para integrar as equações o obter os 
gráficos de ( ) ( )tyt ,q& e ( )tT . 
 
 
b) Foram feitas simulações adotando 
NmT 0,140 = e NmT 0,60 = . 
Considerando o gráfico mostrado na 
figura 3, a qual valor de 0T ele 
corresponde? 
Faça um gráfico mostrando o 
comportamento de ( )tT correspondente 
a este valor de 0T . 
 
 
 
 
Figura 3 : ( )tq& correspondente a ?0 =T 
 
c) Faça um gráfico de ( )tT e um gráfico de ( )tq& que ilustrem a ocorrência do fenômeno denominado 
“sincronização de freqüência” ou “efeito de Sommerfeld” no sistema estudado; indique claramente 
o valor de 0T e o valor de q& correspondente a ¥®t . 
 
 
 
 
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Resolução da 1ª Questão (3,0 pontos) 
 
A barra AB de comprimento 2L, do mecanismo da figura ao 
lado, é articulada em C na bucha que desliza sem atrito ao 
longo da barra DE. Usando o Princípio do Trabalho Virtual, 
determine o momento M necessário para manter o 
mecanismo em equilíbrio quando submetido à força F, 
perpendicular à parede e aplicada no ponto A. (O mecanismo 
está sobre um plano horizontal sem atrito) 
 
Resolução: 
 
 
Para o triângulo isósceles DBC: q= cosL2DC 
 
j)cosL2L(isencosL2)BC( 2
rr
q-+qq=- 
 
j)cosL2L(2isencosL4)BC(2)BA( 2
rr
q-+qq=-=- (1,0) 
 
( )dqq-q=d 22x sencosL4A (1,0) 
 
PTV: 0W =d è 0AFMW x =d+dq=d 
 
è ( )qq 22 sencos4 --= FLM ou q2cos4FLM -= (1,0) 
 
ou alternativamente: 
 
qa 2180-= 
 
jLiLDC
rr
aa cossen)( +=- 
 
daad cos2LAx = 
 
 
 
 
 
B 
A 
E 
C 
F 
M D 
L 
L 
q 
B 
D 
C q q 
L 
L 
 
 
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Resolução da 2ª Questão (3,0 pontos) 
 
Um disco de massa m e raio R está articulado no 
ponto A. A barra OC, de massa m e comprimento L 
está articulada em O. Uma mola une a periferia do 
disco ao ponto C da barra. A extremidade C da barra 
está presa a um amortecedor viscoso linear. O 
momento M está aplicado na barra (considere a mola 
sem deformação na posição da figura e ângulo f 
pequeno). Pede-se determinar: 
a) A energia cinética do sistema 
b) A energia potencial do sistema 
c) A função de dissipação de Rayleigh do sistema 
d) As equações de movimento do sistema pelo 
método de Lagrange para as coordenadas f e q. 
Resolução: 
 
Disco: 2
2
2
Azdisco 4
mR
J
2
1
E q=q= && Barra: 2
2
2
Ozbarra 6
mL
J
2
1
E f=f= && (0,5) + (0,5) 
Sistema: barradiscosistema EEE += è 
2
2
2
2
sistema 6
mL
4
mR
E f+q= && 
 
Energia Potencial: ( )2LRk
2
1
V f-q= (0,5) 
 
Função dissipação de Rayleigh: ( )2Lc
2
1
R f= & (0,5) (0,5) (para as forças generalizadas) 
Coordenada q : 
0Q;0
R
;kRLkR
)VT(
;
2
mR)VT(
dt
d
;
2
mR)VT( 2
22
==
q¶
¶
f+q-=
q¶
-¶
q=÷
ø
ö
ç
è
æ
q¶
-¶
q=
q¶
-¶
q&
&&
&
&
& 
 
0kRLkR
2
mR 2
2
=f-q+q&& 
 
Coordenada f : 
MQ;cLR;kLkRL)VT(;
3
mL)VT(
dt
d;
3
mL)VT( 22
22
=f=
f¶
¶f-q=
f¶
-¶f=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
f¶
-¶f=
f¶
-¶
f
&
&
&&
&
&
& 
 
MkRLkLcL
3
mL 22
2
=q-f+f+f &&& (0,5) (para as equações de movimento) 
 
 
A 
k 
O 
c 
m 
g 
q f 
M 
R 
L 
m 
C B 
 
 
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m 
q
( )q&T
y 
x 
gG 
O 
K C 
d 
volante 
 
Resolução da 3ª Questão (4,0 pontos) Baseada no 3º Exercício Programa. 
 
 
A figura ao lado mostra um volante (disco) homogêneo de massa 
kg0,1=M e raio m1,0=R desbalanceado pela adição de uma 
massa concentrada kg05,0=m na sua periferia. Uma mola linear 
de constante elástica mN625.23=K e um amortecedor viscoso 
linear de constante de amortecimento mNs10=C estão 
conectados ao centro O do volante, que pode se movimentar 
apenas na direção vertical y. O volante gira sob a ação de um 
torque acionador que varia em função da velocidade angular q& 
segundo a expressão ( ) ( )opTT wqq && -= 10 . 0T é o torque de partida 
do motor e rad/s 5,188rpm1800 @=opw é a sua velocidade de 
operação quando desconectado do volante. Considere que o 
volante está inicialmente em repouso na posição y=0 e que 
2sm81,9=g . 
 
As equações diferenciais que descrevem o movimento do sistema são: 
 
( )ïî
ï
í
ì
=++
-=+-++
qqqq
qqqq
&&&&&
&&&&&&
TgdmJydm
gmyKdmyCdmym
tZt
tttt
O
coscos
sincos 2
, 
 
onde ( ))(,)2( 2 tZ mmRdRMmJ O =+= e mMmt += . A freqüência natural amortecida do sistema composto 
pelo volante e pela mola é rad/s 0,150== tnat mKw . 
 
Pede-se: 
 
a)Descreva como devem ser transformadas as equações dinâmicas acima, para que possam ser 
integradas utilizando o SCICOS, desta forma evitando-se erro lógico? Reproduza o diagrama SCICOS 
por você elaborado, para integrar as equações e obter os gráficos de )( e )( ),( tTtytq& . 
 
 
Resolução 
É necessário isolar as acelerações à esquerda da igualdade e desacoplar as duas equações, de modo que 
elas sejam escritas da forma: 
 
( )
( )þý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
,,,,
,,,,
2
1
qq
qq
q &&
&&
&&
&&
yyf
yyfy (0,5) 
 
 
 
 
 
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q& 
 
Diagrama SCICOS (1,0) 
 
 
 
b) Foram feitas simulações adotando NmT 0,140 = e NmT 0,60 = . 
 
Considerando o gráfico mostrado na 
figura 3a, ao lado, a qual valor de 0T ele 
corresponde? Justifique. Esboce um 
gráfico mostrando o comportamento de 
( )tT correspondente a este valor de 0T . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3a : ( )tq& correspondente a ?0 =T 
 
 
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Resolução 
 
O gráfico da figura 3a corresponde a NmT 0,140 = , pois, conforme verificado através das simulações, para 
este valor de torque de partida o motor é capaz de atingir uma velocidade de rotação próxima a 
sradop /5.188»w ; o gráfico de ( )tT é mostrado abaixo. (0,5) 
 
 
(0,5) 
 
c) Esboce um gráfico de ( )tT e um gráfico de ( )tq& que ilustrem a ocorrência do fenômeno 
denominado “sincronização de freqüência” ou “efeito de Sommerfeld” no sistema estudado. 
Indique claramente o valor de 0T e o valor de q& correspondente a ¥®t . 
 
Resolução 
 
Gráficos de ( )tq& e de ( )tT correspondentes a NmT 0,60 = . No gráfico de ( )tq& , vê-se que opq& situa-se entre 
140 rad/s e 150 rad/s, ou seja, o motor não consegue imprimir uma velocidade angular superior à 
freqüência natural não amortecida do sistema volante-mola, mostrando que houve uma sincronização 
entre a freqüência de rotação do motor e esta freqüência natural. No gráfico de ( )tT observa-se que o 
torque não oscila ao redor de zero, como seria verificado para opop wq »& . (0,5) 
 
 
 
 
 
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(0,5) 
 
 
(0,5)