Mecânica II - POli - P1 2013

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP 
 Telefone: (011) 818-5337 Fax (011) 813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – 09 de abril de 2013 
Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido o uso de quaisquer dispositivos eletrônicos) 
 
1ª Questão (3,5 pontos) 
 
Um eixo horizontal ABCD de massa desprezível 
possui acoplados rigidamente 4 discos de raio 2R em 
A, B, C e D. O espaçamento entre eles é L. Os discos 
A e D possuem massa m. Os discos C e D possuem 
massa 3m/4 pois, em cada um deles, foi efetuado um 
furo conforme mostrado nas respectivas figuras. O 
conjunto é sustentado por mancais ideais (anéis) em 
A e B, e possui rotação k
r
ω , constante. Considere o 
sistema de referência móvel Bxyz, solidário ao disco 
B. Pedem-se: 
 
(a) as coordenadas dos baricentros dos discos C e D; 
(b) as coordenadas do baricentro do conjunto; 
(c) as reações dinâmicas nos mancais A e B (faça o 
diagrama de corpo livre do conjunto); 
(d) balancear o sistema acrescentando ou retirando 
massa dos discos A e B, a uma distância R do eixo 
de rotação. 
 
 
 
 
 
i
j
g
L
R
O
A
αααα
ωωωω
L
ΩΩΩΩ
u
F
B
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
 
O disco de centro A, massa m e raio R tem rotação 
própria i
rr
ωω = dada e executa um movimento de 
precessão estacionária em torno do eixo vertical. São 
dados o ângulo 2piα ≠ e a velocidade angular de 
precessão ur
r
Ω=Ω . A base ),,( kji
rrr
é solidária ao eixo 
AOB. O vínculo em O é um pino ideal. As massas de 
AOB e do eixo vertical são desprezíveis. Pedem-se: 
a) a velocidade angular absoluta do disco na base 
),,( kji
rrr
; 
b) o momento angular do disco em relação ao pólo O; 
c) o valor da força F necessária para manter a inclinação 
α ; 
d) determinar o valor de L para que o valor da força F 
independa do ângulo α . 
 
 
 
 
z 
 y 
L 
 2a 
L 
r 
ω 
 
r 
 x 
2R 
R 
D 
A 
B 
R 
C 
D 
C 
L 
 x 
 x 
 y 
 y 
 
 
 
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3ª Questão (3,0 pontos) 
 
No EMSC#1, solicitou-se a modelagem e simulação 
do sistema mostrado ao lado, composto por um 
bloco A de massa M, uma barra homogênea AB de 
massa m e comprimento L, e uma mola de rigidez k. 
A inclinação da rampa é fixa, dada pelo ângulo α. A 
coordenada x(t) descreve o deslocamento do bloco a 
partir da posição indeformada da mola. Desprezam-
se atritos de qualquer espécie. Solicita-se: 
 
a) exprimir a coordenada xe, de equilíbrio do sistema 
em repouso, em função dos parâmetros acima; 
b) calcular a aceleração do baricentro da barra; 
c) obter as equações do TMB e do TMA (pólo A) 
para a barra AB; 
d) descreva, sucintamente, como você modelou este 
sistema no Scilab. 
 
 
 
α
A
B
φ(t)
x(t)
 
 
 
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1ª Questão (3,5 pontos) 
 
Um eixo horizontal ABCD de massa desprezível 
possui acoplados rigidamente 4 discos de raio 2R em 
A, B, C e D. O espaçamento entre eles é L. Os discos 
A e D possuem massa m. Os discos C e D possuem 
massa 3m/4 pois, em cada um deles, foi efetuado um 
furo conforme mostrado nas respectivas figuras. O 
conjunto é sustentado por mancais ideais (anéis) em 
A e B, e possui rotação k
r
ω , constante. Considere o 
sistema de referência móvel Bxyz, solidário ao disco 
B. Pedem-se: 
 
(a) as coordenadas dos baricentros dos discos C e D; 
(b) as coordenadas do baricentro do conjunto; 
(c) as reações dinâmicas nos mancais A e B (faça o 
diagrama de corpo livre do conjunto); 
(d) balancear o sistema acrescentando ou retirando 
massa dos discos A e B, a uma distância R do eixo 
de rotação. 
 
 
 
Solução 
 
(a) de acordo com a figura, tem-se: 
para o disco C 
 
)2;0;3/(
3
).(
4
0.
4/3
1 LRGRRmm
m
x CC ∴=





−−= 
 (0,5) 
Analogamente, para o disco D, 
);3/;0(
3
).(
4
0.
4/3
1 LRGRRmm
m
y DC ∴=





−−= 
 
(b) baricentro do conjunto 
 
14
0.
34
3
34
30.
4
3
4
3 R
xm
RmRm
mxm
mm
m GG =⇒





+⋅+⋅+=





+++ 
 
Analogamente, obtém-se a coordenada 
14
RyG = e, por simetria, 2
3L
zG = 






∴
2
3
;
14
;
14
LRRG (0,5) 
 
 
 x 
 y 
z 
L 
 2a 
L 
2R 
R 
r 
r 
R 
ω 
 
D 
A 
B 
C 
D 
C 
L 
g 
 
 
 
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(c) Reações dinâmicas nos mancais (1,5) 
Tendo em vista que o vetor rotação do conjunto é k
r
ω e o pólo B é fixo, escreve-se 
 
kJjJiJ
JzJzyJzx
JyzJyJyx
JxzJxyJx
kjiH zyzxzB
rrrrrrr
ωωω
ω
+−−=




















−−
−−
−−
= 0
0
),,( 
 
Inicia-se pelo DCL do conjunto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida, utilizam-se o TMB e o TMA (pólo B) 
 
TMB 
A aceleração do baricentro é: 
)(
14
)(
2
jiRBGaG
rrrrr
−−=−∧∧=
ω
ωω 
O TMB fornece, então, em componentes, 
)2(
42
7
:)(
)1(
4142
7
:)(
2
22
RmmgBAj
RmRmBAi
yy
xx
ω
ωω
−=−+
−=−=−
r
r
 
 
TMA 
Diferenciando a equação do momento angular no pólo B em relação ao tempo, tem-se: 
 
)4(
)()(
)3(
22 iJjJH
jkJikJjJiJH
MH
yzxzB
yzxzyzxzB
BB
rr&r
rrrr&r&r&
r
v&r
ωω
ωωωωωω
+−=
∧−∧−=−−=
=
 
 
 Bx 
L 
 2a 
L 
ω 
 L 
 By 
 Ax 
 Ay 
 mg 
 3mg/4 
 3mg/4 
 mg 
 
 
 
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Portanto, de todos os termos da matriz de inércia, somente os constantes da equação (4) precisam ser determinados. 
Lembrando as propriedades de composição de momentos e produtos de inércia, basta transportar os produtos de inércia 
das massas retiradas dos discos C e D até o pólo B. Assim, 
 
imRLjmRLH
mRLLRmLmJ
mRLLmLRmJ
B
yz
xz
rr&r 22
42
4
)(
4
2)0(
4
2
)0(
4
2)(
4
ωω +−=∴
=⋅−⋅−⋅⋅−=
=⋅⋅−⋅−⋅−=
 
 
O momento das forças externas em relação ao pólo B é dado por: 
 
)5(
4
3)(
4
3)()()( 





−∧−+





−∧−+−+∧−= jmgBGjmgBGjmgjAiABAM DCyxB
rrrrrr
 
Resolvendo (5) e utilizando (3) tem-se: 
)6(
4
3
4
213
)3(
22 kRmgjLAiLmgLAiJjJ
MH
xyyzxz
BB
rrrrr
v&r
−+




+−=+−
=
ωω
 
 
Salienta-se que, na equação (6), o termo final do lado direito corresponde ao efeito estático (pois não depende da 
rotação k
r
ω ) do desbalanceamento do disco C. Na prática, portanto, para que a rotação seja mantida constante e o 
termo envolvendo sua derivada temporal possa ser anulado, é necessária a imposição de um momento externo de 
mesmo módulo e sentido sempre oposto ao dado pelo termo final da equação (6). 
 
As duas equações escalares oriundas de (6) formam, com as equações (1) e (2) acima, o seguinte sistema de equações: 
 
)8(3
2
:)(
)7(
4
213
4
:)(
)2(
42
7
:)(
)1(
4142
7
:)(
2
2
2
22
x
y
yy
xx
LAmRLj
LmgLAmRLi
RmmgBAj
RmRmBAi
=−
+−=
−=−+
−=−=−
ω
ω
ω
ωω
r
r
r
r
 
Resolvendo o sistema obtém-se: 
 
de (8): 2
6
ω
mRAx −= 
em (1): 2
12
ω
mRBx += 
 
de (7): 2
124
7
ω
mRmgAy −= 
em (2) 2
64
7
ω
mRmgBy −= 
 
 
 
 
 
 
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(d) Balanceamento (1,0) 
 
Sabe-se apenas que as massas de balanceamento m1 e m2 a serem acrescentadas ou retiradas em A e B distam R do eixo 
de rotação. Suponha-se, então, que a posição angular em relação ao eixo horizontal (x) seja dada pelos ângulos θ e ϕ, 
respectivamente nos discos A e B. Tem-se as duas condições: 
 
Balanceamento estático 
 
)2(0sensen
142
70
)1(0coscos
142
70
21
21
=+⋅+⋅⇒=
=+⋅+⋅⇒=
φθ
φθ
RmRmRmy
RmRmRmx
G
G
 
 
Balanceamento dinâmico 
 
)4(00sen3sen
4
0
)3(00cos3cos
2
0
21
21
=⋅+⋅⋅+⇒=
=⋅+⋅⋅+⇒=
φθ
φθ
RmLRm
mRLJ
RmLRm
mRLJ
yz
xz
 
 
Resolvendo o sistema de equações (1), (2), (3) e (4) chega-se a: 
 
)retiradamassa(
12
52tan
)retiradamassa(
12
5
2
1
tan
2
1
mm
mm
−=⇒=
−=⇒=
φ
θ
 
 
 
 
 
 
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i
j
g
L
R
O
A
αααα
ωωωω
L
ΩΩΩΩ
u
F
B
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
 
O disco de centro A, massa m e raio R tem rotação 
própria i
rr
ωω = dada e executa um movimento de 
precessão estacionária em torno do eixo vertical. São 
dados o ângulo 2piα ≠ e a velocidade angular de 
precessão ur
r
Ω=Ω . A base ),,( kji
rrr
é solidária ao eixo 
AOB. O vínculo em O é um pino ideal. As massas de 
AOB e do eixo vertical são desprezíveis. Pedem-se: 
a) a velocidade angular absoluta do disco na base 
),,( kji
rrr
; 
b) o momento angular do disco em relação ao pólo O; 
c) o valor da força F necessária para manter a inclinação 
α ; 
d) determinar o valor de L para que o valor da força F 
independa do ângulo α . 
 
a) ( ) jiabs rrr ααωω cossen Ω−Ω−= (0,5) 
 
b) ( ) jJiJK yxO rrr ααω cossen Ω−Ω−= ; 22
1
mRJ x = ; 224
1
mLmRJ y += ; 
⇒ ( ) jmRmimRKO rrr ααω cos4
1
sen
2
1 222 Ω





+−Ω−=
 (1,0) 
 
c) TMA polo O (fixo): OextO KM &
rr
= 
( ) kLFmgM extO rr αcos−= ; 
( ) jJiJK yxO &r&r&r ααω cossen Ω−Ω−= ; 
jibase
rrr
ααω cossen Ω−Ω−= ; 
kii base
rrr&r αω cosΩ=∧= ; kjj base
rrr&r αω senΩ−=∧= 
( ) ( ) kJkJkLFmg yx rrr ααααωα sencoscossencos 2Ω+ΩΩ−=−⇒ (1,5) 
⇒≠ 0cosα [ ]αω sen)(1 2Ω−−Ω−= yxx JJJLmgF 
⇒ [ ]αω sen)4(2
4
2222 Ω−−Ω−= LRR
L
m
mgF
 
 
d) ⇒= yx JJ ⇒+= 222 4
1
2
1
mLmRmR
2
RL =
 (0,5) 
 
 
 
 
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3ª Questão (3,0 pontos) 
 
No EMSC#1, solicitou-se a modelagem e simulação 
do sistema mostrado ao lado, composto por um 
bloco A de massa M, uma barra homogênea AB de 
massa m e comprimento L, e uma mola de rigidez k. 
A inclinação da rampa é fixa, dada pelo ângulo α. A 
coordenada x(t) descreve o deslocamento do bloco a 
partir da posição indeformada da mola. Desprezam-
se atritos de qualquer espécie. Solicita-se: 
 
a) exprimir a coordenada xe, de equilíbrio do sistema 
em repouso, em função dos parâmetros acima; 
b) calcular a aceleração do baricentro da barra; 
c) obter as equações do TMB e do TMA (pólo A) 
para a barra AB; 
d) descreva, sucintamente, como você modelou este 
sistema no Scilab. 
 
 
 
a) ( )
K
gsenMm
xe
α+
=
 (0,2) 
 
b) ( ) ( )[ ]AGAGaa AG −∧∧+−∧+= ωωω rr&rrr ; ixaA r&&r = ; kr&r ϕω = ; kr&&&r ϕω = ; ( ) ( )jiLAG rr ϕϕ cossen2 −=− 
⇒ ( ) ( )jLiLxaG r&&&v&&&&&r ϕϕϕϕϕϕϕϕ cossen2sencos2 22 ++




−+=
 (0,3) 
 
c)TMB: sendo AX e AY as reações em A ⇒ GAA amjYiX
rrr
=+
 (0,5) 
 
TMA polo A (acelerado): ( ) kJaAGmM AZAextA r&rr ω+∧−= 
( ) ( ) kmLixjiLmkLmg r&&r&&rrr ϕϕϕϕα 2
3
1
cossen
2
sen
2
+∧−=− 
⇒ ( )ϕαϕϕ −=+ sen
3
2
cos gLx &&&&
 (0,5) 
 
d) (1,5) 
α
A
B
φ(t)
x(t)