05 Nao Linear nos parametros

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MMQ quando a função aproximadora é não-linear nos
parâmetros
 
Resolvendo exercícios para g(x) linear nos parâmetros ak's
Independente de termos o caso discreto ou contínuo, em todos os exemplos a função aproximadora é
linear nos parâmetros. A função aproximadora g(x) é sempre uma combinação linear das funções
g0(x) , g1(x), ..., gm(x)
e a função g(x) é identificada como linear nos parâmetros a0, a1, ..., am.
Vamos supor que queremos aproximar f(x) pelas seguintes funções:
g(x) = a.exp(bx) +c
ou
h(x) = 1/(ax+b)
Nesses dois casos a função aproximadora é não-linear nos parâmetros, que são a, b, e c.
A estratégia para calcular os parâmetros é aplicar uma transformação e obter novas relações, onde
temos novamente os parâmetros lineares. Veja nos seguintes exemplos:
Alguns exemplos de linearização
aplicando a função inversa
f(x) ~ g(x) = a exp(bx)
ln(f(x) = ln(a exp(bx))
ln(f(x)) = ln(a) + b x
Chamando
F(x) = ln(f(x)) e a0 = ln(a), 
conseguimos retornar ao caso linear. O novo problema é
determinar a0 e b, que aproximam a função ln(f(x).
Observe que transformamos o problema de aproximar f(x) por a exp(bx)
pelo de aproximar F(x) por uma função linear a0 + bx.
 
Resolvido o problema tranformado, devemos voltar para o problema
original, aplicando a exponencial em ambos os lados:
exp(a0) = a
f(x) = a exp(bx).
Observação: este princípio pode ser aplicado para qualquer função não-linear, que
pode ser linearizada dessa forma, desde que estas inversões estejam definidas.
quando a função aproximadora é uma função racional
f(x)~g(x) = p(x)/q(x),
onde p(x) e q(x) são polinômios, com q(x) não nulo.
 
q(x) = q0 + q1x + ...+ qr x r
p(x) = p0 + p1 x + ... + ps x s
 
multiplicamos
f(x).q(x) = p(x)
expandimos e depois reagrupamos de forma conveniente
f(x).(q0 + q1x + ...+ qr x r) = p0 + p1 x + ... + psxs
 
f(x).q0 + q1f(x).x + ...+ qr f(x).x r = p0 + p1 x + ... + psxs
f(x) = (p0 /q0 )+ (p1 /q0 )x + ... + (ps /q0 )xs+(-q1/q0 )f(x).x+ ...+ (-qr /q0 )f(x).x r
 
esta última equação pode ser reconhecida como
f(x) ~ g(x) = a0 g0(x) + a1 g1(x) + ...+ am gm(x),
se
a0 = p0/q0, g0(x) =1, 
a1= (p1/q0), g1(x) = x, 
... 
ak = (-q1/q0), gk(x) = f(x).x 
... 
am = (-qr /q0 ) , gm(x) =f(x).x r
Comentários finais
Sempre que for resolver um exercício de MMQ, identifique se está resolvendo um caso discreto ou
contínuo; linear ou não linear nos parâmetros.
Para cada caso, identifique se os intervalos da f(x) são os mesmos para o qual foi definido o produto
interno, se a transformação do caso não-linear nos parâmetros para o caso linear está correta
(principalmente se a função aproximadora está atualizada).
Só então construa o sistema normal. É muito comum errar em alguma dessas etapas e acabar
montando um sistema normal que não faz o menor sentido.