P2 2009.1

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INSTITUTO DE FÍSICA
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Física II – Turmas do horário de 10 h às 12 h 
1° período de 2009
2a Prova
1a Questão (2,5 pontos)
N u m a m á q u i n a té r m i c a , o a g e n t e e x t e r n o é u m 
g á s i d e a l d i a t ô m i c o q u e exe c u t a o c ic l o da f i g u r a 
a b a i x o , o n d e B C é u m a a d i a b á t i c a e C A é u m a 
i s o t e r m a . A s s u m a q u e d u r a n t e t o d o o c ic l o , 
a p e n a s g r a u s de l i b e r d a d e de t r a n s l a ç ã o e de 
r o t a ç ã o s ã o ex c i t a d o s n o g á s .
(a) (0,6) Ex p r i m a os vo l u m e s , tem p e r a t u r a s e 
pre s s õ e s no s po n t o s B e C em ter m o s do s 
res p e c t i v o s va l o r e s V0, T0, P 0 no po n t o A e da raz ã o de 
com p r e s s ã o r.
(b) (1,4) De t e r m i n e em ca d a et a p a do ci c l o (A → B), (B → C) e (C → A) a var i a ç ã o da 
en e r g i a int e r n a , o ca l o r ab s o r v i d o e o tra b a l h o fei t o pe l o sis t e m a . Fa ç a um a tab e l a de 
se u s res u l t a d o s .
(c) (0,5) Ca l c u l e a efi c i ê n c i a da má q u i n a . Mo s t r e qu e el a só de p e n d e da raz ã o de 
com p r e s s ã o r.
Resposta:
Como o gás é diatômico: γ = CP/CV = 7/5 = 1,4
(a) Ponto A:
pA = p0, TA = T0, VA = V0
Ponto C:
TC = TA ∴ TC = T0 (isoterma)
pCVC = pAVA = p0V0 
VC = rV0 →pC = p0V0/rV0 ∴ pC = p0/r
Ponto B:
VB = VA ∴ VB = V0
Volum
e
ee
V
0
00
rV
0
00
Pressã
o
oo
A
AA
B
BB
C
CC
p
0
00
pBVBγ = pCVCγ = p0/r.(rV0)γ
pB =p0 rγ-1 → pB = r2/5.p0
e TB/TA = pBVB/pAVA → TB = r(γ-1).T0 ∴ TB = r2/5.T0
Ponto Volume Temperatura Pressão
A V0 T0 p0
B V0 r2/5.T0 r2/5.p0
C rV0 T0 p0/r
(b) A→B (volume constante)
WAB = 0
∆EintAB = nCV∆T = p0V0/RT0.5/2R.(r2/5.T0 - T0) = 5/2.p0V0.(r2/5-1) 
QAB = WAB + ∆EintAB = 5/2.p0V0.(r2/5-1)
B→C (adiabática)
QBC = 0
∆EintBC=nCV∆T=n.5/2.R.(TC-TB)=p0V0/T0.5/2.(T0–r2/5T0) =5/2.p0V0.(1- r2/5) [Obs : ∆EintBC= -
∆EintAB]
WBC = QBC - ∆EintBC = 0 → WBC = - ∆EintBC = 5/2 p0V0.(r2/5-1)
C→A (isoterma)
∴ ∆EintCA = 0
WCA = ∫CA p.dV = ∫CA nRT0.dV/V = p0V0 ∫CAdV/V = p0V0.ln(VA/VC) ∴ WCA = -p0V0.lnr
QCA = WCA + ∆EintCA ∴ QCA = -p0V0.lnr
Etapa Q Wsist ∆Eint
A → B 5/2.p0V0.(r2/5-1) 0 5/2.p0V0.(r2/5-1)
B → C 0 5/2 p0V0.(r2/5-1) 5/2.p0V0.(1-r2/5)
C → A -p0V0.lnr -p0V0.lnr 0
(c) ε = W/QQ = [0 + 5/2.p0V0.(r2/5-1) - p0V0.lnr]/[5/2.p0V0.(r2/5-1)] =
= [5/2.(r2/5-1) - lnr]/[5/2.(r2/5-1)] = 1 - [lnr / (5/2.(r2/5-1))]
2a Questão (2,5 pontos)
Um cor p o de cap a c i d a d e ca l o r í f i c a C = 50 J/K na tem p e r a t u r a T1 = 450 K es t á po s t o 
em co n t a t o com um res e r v a t ó r i o de tem p e r a t u r a a T2 = 300 K . Ju n t o s el e s for m a m um 
universo te r m o d i n â m i c o . Ao at i n g i r o eq u i l í b r i o ;
(a) (0,5) ca l c u l e Q 1 , o ca l o r ab s o r v i d o pe l o co r p o , e Q 2 , o ca l o r ab s o r v i d o pe l o 
res e r v a t ó r i o .
(b) (1,0) c al c u l e a va r i a ç ã o da en t r o p i a ∆S 1 do co r p o e ∆S 2 do res e r v a t ó r i o .
(c) (1,0) q ua l é a va r i a ç ã o da en e r g i a int e r n a ∆E int, e da en t r o p i a ∆S , de s s e un i v e r s o 
ter m o d i n â m i c o ?
Resposta:
(a) Q1 = C.(T2 – T1) = 50J/K.(300K-450K) = -7,5 kJ
Q2 = -Q1 = +7,5 kJ
(b) ∆S1 = ∫T1T2dQ/T = ∫T1T2C.dT/T = C.ln(T2/T1) = C.ln(300/450) = C.ln(2/3) = C.[ln2-ln3] =
≈ 50J/K.[0,69 - 1,1] = -20,5 J/K
∆S2 = ∆Q/T2 = Q2/T2 = 7,5kJ/300K = 25 J/K
(c) Como não há trabalho, ∆Eint = Q, logo ∆EintUNIV = Q1 + Q2 = 0
∆SUNIV = ∆S1 + ∆S2 ≈ -20,5 J/K + 25 J/K = 4,5 J/K
3a Questão (2,5 pontos)
Um rec i p i e n t e A con t é m um gá s ide a l a um a pr e s s ã o de 5,0× 1 0 5Pa e a um a 
tem p e r a t u r a de 300 K . El e es t á co n e c t a d o at r a v é s de um tub o fin o ao rec i p i e n t e B qu e 
tem qu a t r o ve z e s o vo l u m e de A. B con t é m o me s m o gá s ide a l a um a pr e s s ã o de 
1,0× 1 0 5Pa e a um a tem p e r a t u r a de 400 K . A vá l v u l a de con e x ã o , fei t a de um ma t e r i a l 
de co n d u t i v i d a d e tér m i c a de s p r e z í v e l , é ab e r t a e o eq u i l í b r i o é ati n g i d o a um a pr e s s ã o 
com u m en q u a n t o a tem p e r a t u r a de ca d a res e r v a t ó r i o é ma n t i d a co n s t a n t e no seu va l o r 
ini c i a l .
(a) (1,0) Ca l c u l e a raz ã o en t r e os núm e r o s de mo l e s no s rec i p i e n t e s A e B an t e s (nA /
n B) e de p o i s (nA '/n B ') da ab e r t u r a da vá l v u l a .
(b) (1,5) De t e r m i n e a pr e s s ã o fin a l do sis t e m a .
Resposta:
(a) pA = 5,0x105Pa, pA’ = pF, TA = TA’ = 300K, VA =VA’ = V0
pB = 1,0x105Pa, pB’ = pF, TB = TB’ = 400K, VB =VB’ = 4V0
nA = pAVA/RTA e nB = pBVB/RTB → nA/ nB = pAVATB/(pBVBTA) = 5x 1/4 x 4/3 = 
5/3
nA’ = pA’VA’/RTA’ e nB’ = pB’VB’/RTB’ → nA’/nB’ = pFVATB/(pFVBTA) = 1/4 x 4/3 = 1/3
(b) nA - nA’ = pAVA/RTA - pA’VA’/RTA’ = (pA – pF) x V0/RTA
nB - nB’ = pBVB/RTB - pB’VB’/RTB’ = (pB – pF) x 4V0/RTB
Como ∆nA + ∆nB = 0 → (pA – pF) x V0/RTA + (pB – pF) x 4V0/RTB = 0
→ (pA/TA + 4pB/TB).V0/R = pF.(1/TA + 4/TB).V0/R
∴ pF = (pA/TA + 4pB/TB)/(1/TA + 4/TB) = (5/300 + 4x1/400)x105Pa/K / (1/300K + 
4x1/400K) =
= 2,0x105Pa
4a Questão (2,5 pontos)
Um a má q u i n a tér m i c a M op e r a en t r e res e r v a t ó r i o s de tem p e r a t u r a s TA = 400 K e TB = 
300 K , com um ren d i m e n t o r de 20% . Po r cic l o é ut i l i z a d a um a qu a n t i d a d e de ca l o r QA 
= 100 J da fon t e qu e n t e .
(a) (0,6) Ca l c u l e W , o tra b a l h o fei t o pe l a má q u i n a po r cic l o , e Q B, o ca l o r ced i d o ao 
res e r v a t ó r i o fri o po r ci c l o.
(b) (0,6) Pa r a um a má q u i n a de Ca r n o t M(Carnot), op e r a n d o com os me s m o s 
res e r v a t ó r i o s , e us a n d o a me s m a qu a n t i d a d e de ca l o r po r cic l o Q A = 100 J da fon t e 
qu e n t e , ca l c u l e W (Carnot), o tra b a l h o fei t o po r cic l o , e Q B(Carnot), o ca l o r ce d i d o , po r cic l o , ao 
res e r v a t ó r i o fri o.
(c) (0,8) Ca l c u l e a va r i a ç ã o de en t r o p i a , po r ci c l o, ∆S , da má q u i n a M e tam b é m 
∆S (Carnot) da má q u i n a M(Carnot) de Ca r n o t .
(d) (0,5) Ca l c u l e a raz ã o R en t r e o trabalho perdido (W (Carnot) −W) e a va r i a ç ã o de 
en t r o p i a , po r ci c l o, ∆S , e ou se j a , R = (W (Carnot) −W)/∆S .
Resposta:
(a) Máquina M:
r = W/QA → W = r.QA = 0,20x100J = 20J
QB = QA – W = 80J
(b) Máquina M(Carnot):
rCarnot = 1 – TB/TA = 1 – ¾ = 25%
→ WCarnot = rCarnot.QA = 0,25x100J = 25J
QB = QA – W = 75J
(c) Máquina M:
∆S = -QA/TA + QB/TB = = -100J/400K + 80J/300K = 0,0167J/K
∆SCarnot = -QA/TA + QB/TB = -100J/400K + 75J/300K = 0 (reversível)
(d) R = (25J-20J)/0,0167J/K = 300K = TB
Formulário
ln2 = 0,69, ln3 = 1,1, ln5 = 1,6, 1atm = 1,0x105Pa, 1l = 10-3m3, R = 8,3 J/mol.K
pV = nRT, pVγ = const, CV = ½.f R, CP = CV + R, r = W/QQ, K = QF/W
INSTITUTO DE FÍSICA
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Física II - Turmas no horário de 15h às 17h 
1° período de 2009
2a Prova
1a Questão (2,5 pontos)
N u m a m á q u i n a té r m i c a , o a g e n t e e x t e r n o é u m 
g á s i d e a l d i a t ô m i c o q u e exe c u t a o c ic l o da f i g u r a 
a b a i x o , o n d e B C é u m a a d i a b á t i c a e C Aé u m a 
i s o t e r m a . A s s u m a q u e d u r a n t e t o d o o c ic l o , 
a p e n a s g r a u s de l i b e r d a d e de t r a n s l a ç ã o e de 
(a) (0,6) Ex p r i m a os vo l u m e s , tem p e r a t u r a s e 
pre s s õ e s no s po n t o s B e C em ter m o s do s 
res p e c t i v o s va l o r e s V0, T0, P 0 no po n t o A e da raz ã o de 
(b) (1,4) De t e r m i n e em ca d a et a p a do ci c l o (A → B), (B → C) e (C → A) a var i a ç ã o da 
en e r g i a int e r n a , o ca l o r ab s o r v i d o e o tra b a l h o fei t o pe l o sis t e m a . Fa ç a um a tab e l a de 
se u s res u l t a d o s .
(c) (0,5) Ca l c u l e a efi c i ê n c i a da má q u i n a . Mo s t r e qu e el a só de p e n d e da raz ã o de 
com p r e s s ã o r.
Resposta:
Como o gás é diatômico: γ = CP/CV = 7/5 = 1,4
(a) Ponto A:
pA = p0, TA = T0, VA = V0
Ponto C:
TC = TA ∴ TC = T0 (isoterma)
pCVC = pAVA = p0V0 
VC = rV0 →pC = p0V0/rV0 ∴ pC = p0/r
Volum
e
ee
V
0
00
rV
0
00
Pressã
o
oo
A
AA
B
BB
C
CC
p
0
00
Ponto B:
pB = pA ∴ pB = p0
pBVBγ = pCVCγ = p0/r.(rV0)γ
VBγ = rγ-1.V0γ = r(γ-1)/γ.V0 → VB = r2/7.V0
e TB/TA = pBVB/pAVA → TB = r(γ-1)/γ.T0 ∴ TB = r2/7.T0
Ponto Volume Temperatura Pressão
A V0 T0 p0
B r2/7.V0 r2/7.T0 p0
C rV0 T0 p0/r
(b) A→B (pressão constante)
QAB = nCP∆T = p0V0/RT0.7/2R.(r(γ-1)/γ.T0 - T0) = 7/2.p0V0.(r(γ-1)/γ-1) ∴ QAB = 7/2.p0V0.(r2/7-1)
WAB = pA.∆V = p0.(r(γ-1)/γ.V0 - V0) = p0V0.(r(γ-1)/γ-1) ∴ WAB = p0V0.(r2/7-1)
∆EintAB = QAB – WAB = 7/2.p0V0.(r2/7-1) - p0V0.(r2/7-1) ∴ ∆EintAB = 5/2.p0V0.(r2/7-1)
B→C (adiabática)
QBC = 0
∆EintBC = nCV∆T = n.5/2.R.(TC-TB) = p0V0/T0.5/2.(T0- r(γ-1)/γ.T0) = 5/2.p0V0.(1- r(γ-1)/γ)
∴ ∆EintBC = 5/2 p0V0.(1 -r2/7) [Obs : ∆EintBC = - ∆EintAB]
QBC = WBC + ∆EintBC = 0 → WBC = - ∆EintBC ∴ WBC = 5/2 p0V0.(r2/7-1)
C→A (isoterma)
∴ ∆EintCA = 0
WCA = ∫CA p.dV = ∫CA nRT0.dV/V = p0V0 ∫CAdV/V = p0V0.ln(VA/VC) ∴ WCA = -p0V0.lnr
QCA = WCA + ∆EintCA ∴ QCA = -p0V0.lnr
Etapa Q Wsist ∆Eint
A → B 7/2.p0V0.(r2/7-1) p0V0.(r2/7-1) 5/2.p0V0.(r2/7-1)
B → C 0 5/2 p0V0.(r2/7-1) 5/2 p0V0.(1-r2/7)
C → A -p0V0.lnr -p0V0.lnr 0
(c) ε = W/QQ = [p0V0.(r2/7-1) + 5/2.p0V0.(r(γ-1)/γ-1) - p0V0.lnr]/[7/2.p0V0.(r(γ-1)/γ-1)] =
= [7/2.(r2/7-1) - lnr]/[ 7/2.(r2/7-1)] = 1 - [lnr / (7/2.(r2/7-1))]
2a Questão (2,5 pontos)
Um cor p o de cap a c i d a d e ca l o r í f i c a C = 50 J/K na tem p e r a t u r a T1 = 300 K es t á po s t o 
em co n t a t o com um res e r v a t ó r i o de tem p e r a t u r a a T2 = 450 K . Ju n t o s el e s for m a m um 
universo te r m o d i n â m i c o . Ao at i n g i r o eq u i l í b r i o ;
(a) (0,5) ca l c u l e Q 1 , o ca l o r ab s o r v i d o pel o co r p o , e Q 2 , o ca l o r ab s o r v i d o pe l o 
res e r v a t ó r i o .
(b) (1,0) c al c u l e a va r i a ç ã o da en t r o p i a ∆S 1 do co r p o e ∆S 2 do res e r v a t ó r i o .
(c) (1,0) q ua l é a var i a ç ã o da en e r g i a int e r n a ∆E int, e da en t r o p i a ∆S , de s s e uni v e r s o 
ter m o d i n â m i c o ?
Resposta:
(a) Q1 = C.(T2 – T1) = 50J/K.(450K-300K) = +7,5 kJ
Q2 = -Q1 = -7,5 kJ
(b) ∆S1 = ∫T1T2dQ/T = ∫T1T2C.dT/T = C.ln(T2/T1) = C.ln(450/300) = C.ln(3/2) = C.[ln3-ln2] =
≈ 50J/K.[1,1 - 0,69] = +20,5 J/K
∆S2 = ∆Q/T2 = Q2/T2 = -7,5kJ/450K = -16,7 J/K
(c) Como não há trabalho, ∆Eint = Q, logo ∆EintUNIV = Q1 + Q2 = 0
∆SUNIV = ∆S1 + ∆S2 ≈ +20,5 J/K – 16,7 J/K = 3,8 J/K
3a Questão (2,5 pontos)
Um rec i p i e n t e de vo l u m e igu a l a 30 l con t é m um gá s pe r f e i t o à tem p e r a t u r a de 0,0 O C . 
De i x a- se um a pa r t e do gá s es c a p a r pa r a o ex t e r i o r do rec i p i e n t e , ma n t e n d o- se a 
tem p e r a t u r a co n s t a n t e en q u a n t o qu e a pr e s s ã o no rec i p i e n t e di m i n u i de ∆p = 0,78 
atm. A de n s i d a d e do gá s so b con d i ç õ e s no r m a i s de tem p e r a t u r a e pre s s ã o , ist o é, T = 
0,0 oC e p = 1,0 atm, é igu a l a ρ = 1,3 g/l.
(a) (1,0) Ca l c u l e a va r i a ç ã o do nú m e r o de mo l e s do gá s de n t r o do rec i p i e n t e .
(b) (1,5) De t e r m i n e a ma s s a do gá s qu e es c a p o u pa r a o ex t e r i o r .
Resposta:
(a) Vi = V0 = 30l = 3,0x10-2m3, Ti = T0 = 273K, pi = p0, ni = n0
Vf = V0, Tf = T0, pf = p0 - ∆p, nf = ni-∆n (∆p = 0,78atm = 7,8x104Pa)
n0 = p0V0/RT0 nf = (p0-∆p)V0/RT0
∆n = nf - n0 = -∆p.V0/RT0 = -7,8x104Pa x 3,0x10-2m3/8,3J/mol.K/273K = -1,03 mol
(b) Na CNTP, o volume ∆V ocupado pelo gás que escapou é determinado por:
∆V = ∆n.R.T0/patm = (∆p.V0/RT0)x(R.T0/patm) = ∆p/patm.V0 = 0,78atm/1atm x 30l = 23,4l
Logo: ∆m = ρ.∆V = 1,3 g/l x 23,4l = 30,4 g
4a Questão (2,5 pontos)
Um ref r i g e r a d o r R op e r a en t r e res e r v a t ó r i o s de tem p e r a t u r a s TA = 400 K e TB = 300 K , 
com um co e f i c i e n t e de pe r f o r m a n c e ou ren d i m e n t o K = 2. Qu e r e m o s , em ca d a ci c l o, 
tir a r Q B = 600 J do res e r v a t ó r i o fri o.
(a) (0,6) Ca l c u l e o tra b a l h o qu e , po r cic l o , tem qu e ser fei t o pe l o re f r i g e r a d o r , as s i m 
com o Q A, o ca l o r ced i d o po r ci c l o ao res e r v a t ó r i o qu e n t e .
(b) (0,6) Pa r a um ref r i g e r a d o r de Ca r n o t R(Carnot), op e r a n d o com os me s m o s 
res e r v a t ó r i o s , e tir a n d o a me s m a qu a n t i d a d e de ca l o r Q B po r ci c l o, ca l c u l e W (Carnot) e 
QA(Carnot).
(c) (0,8) Ca l c u l e a va r i a ç ã o de en t r o p i a , po r cic l o , ∆S , do ref r i g e r a d o r R e tam b é m 
∆S (Carnot) do ref r i g e r a d o r R(Carnot) de Ca r n o t .
(d) (0,5) Ca l c u l e a raz ã o R en t r e o trabalho extra (W-W (Carnot), qu e tem o s qu e for n e c e r 
po r nã o di s p o r da q u e l e re f r i g e r a d o r de Ca r n o t , e a var i a ç ã o de en t r o p i a , po r cic l o , ∆S , 
ou se j a , R = (W-W (Carnot))/∆S .
Resposta:
(a) Refrigerador R:
K = QB/W → W = QB/K = 600J/2 = 300J
QA = QB + W = 600J + 300J = 900J
(b) Refrigerador R(Carnot):
KCarnot = TB/(TA-TB) = 300 – 100 = 3
→ WCarnot = QB/KCarnot = 600J/3 = 200J
QA = QB + W = 600J + 200J = 800J
(d) Refrigerador R:
∆S = QA/TA - QB/TB = = 900J/400K - 600J/300K = 0,25J/K
∆SCarnot = QA/TA - QB/TB = 800J/400K - 600J/300K = 0 (reversível)
(d) R = (300J-200J)/0,25J/K = 400K = TA
Formulário
ln2 = 0,69, ln3 = 1,1, ln5 = 1,6, 1atm = 1,0x105Pa, 1l = 10-3m3, R = 8,3 J/mol.K
pV = nRT, pVγ = const, CV = ½.f R, CP = CV + R, r = W/QQ, K = QF/W
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