Física I - Poli - P1 2008

Prévia do material em texto

FEP2195 - F´ısica Geral e Experimental para Engenharia I
Prova P1 - 10/04/2008 - Gabarito
1. A luz amarela de um sinal de transito em um cruzamento fica ligada durante 3 segundos.
A largura do cruzamento e´ de 20 metros. A acelerac¸a˜o ma´xima de um carro e´ de 4 m/s2 e
ele pode ser freiado a 5 m/s2.
(a) (0,5) Que velocidade mı´nima o carro precisa ter, se quando ele se encontra a 40 m do
cruzamento a luz amarela acende, e ele pretende atravessar todo o cruzamento no amarelo
usando a acelerac¸a˜o ma´xima durante todo o percurso?
(b) (0,5) Qual a velocidade ma´xima que ainda lhe permite parar antes de atingir o cruza-
mento, se quando ele se encontra a 40 m dele a luz amarela acende?
(c) (1,0) Suponha que o carro conseguiu passar o sinal amarelo a tempo e que seu movimento
passa a ser descrito pela seguinte equac¸a˜o hora´ria:
~r(t) = (0, 5t3 − 2t2)ˆı+ (0, 5t2 − 2t)ˆ
onde as unidades utilizadas sa˜o o metro e o segundo e t = 0 no instante em que o carro
ultrapassou o cruzamento. Qual a velocidade e a acelerac¸a˜o instantaˆneas do carro para
t = 3 s.
(d) (0,5) Em que instante o valor da coordenada y do carro e´ mı´nimo?
SOLUC¸A˜O:
(a) Que velocidade mı´nima o carro precisa ter, se quando ele se encontra a 40 m do cruza-
mento a luz amarela acende, e ele pretende atravessar todo o cruzamento no amarelo usando
a acelerac¸a˜o ma´xima durante todo o percurso?
Dados:
• Espac¸o total a ser percorrido: D = 40 + 20 = 60 m
• Intervalo de tempo: ta = 3 s
• Acelerac¸a˜o: aa = 4 m/s2
Equac¸a˜o hora´ria do movimento:
x(t) = v0t+
1
2
at2
1
Velocidade inicial:
v0 =
x(t)
t
− 1
2
at
Velocidade mı´nima:
v0MIN =
D
ta
− 1
2
aata =
60
3
− 1
2
4 · 3
v0MIN = 14 m/s
(b) Qual a velocidade ma´xima que ainda lhe permite parar antes de atingir o cruzamento,
se quando ele se encontra a 40 m dele a luz amarela acende?
Dados:
• Espac¸o a ser percorrido: d = 40 m
• Acelerac¸a˜o: af = −5 m/s2
• Velocidade final: vf = 0
Velocidade:
v2 = v20 + 2a∆x
Velocidade inicial:
v0 =
√
v2 − 2a∆x
Velocidade inicial ma´xima:
v0MAX =
√
0− 2afd =
√
2 · 5 · 40
v0MAX = 20 m/s
(c) Suponha que o carro conseguiu passar o sinal amarelo a tempo e que seu movimento
passa a ser descrito pela seguinte equac¸a˜o hora´ria:
~r(t) = (0, 5t3 − 2t2)ˆı+ (0, 5t2 − 2t)ˆ
2
onde as unidades utilizadas sa˜o o metro e o segundo e t = 0 no instante em que o carro
ultrapassou o cruzamento. Qual a velocidade e a acelerac¸a˜o instantaˆneas do carro para
t = 3 s.
Podemos escrever a equac¸a˜o hora´ria como:
~r(t) = x(t)ˆı+ y(t)ˆ
de onde podemos determinar o vetor velocidade como:
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
ıˆ+
dy(t)
dt
ˆ = vx(t)ˆı+ vy(t)ˆ
ou seja,
~v(t) = (1, 5t2 − 4t)ˆı+ (t− 2)ˆ
e o vetor acelerac¸a˜o pode ser determinado como:
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx(t)
dt
ıˆ+
dvy(t)
dt
ˆ = ax(t)ˆı+ ay(t)ˆ
ou seja,
~a(t) = (3t− 4)ˆı+ (1)ˆ
Para t = 3 s teremos:
~v(3) = (13, 5− 12)ˆı+ (3− 2)ˆ
~v(3) = (1, 5ıˆ+ 1ˆ) m/s
~a(3) = (9− 4)ˆı+ (1)ˆ
~a(3) = (5ıˆ+ 1ˆ) m/s2
(d) Em que instante o valor da coordenada y do carro e´ mı´nimo?
O valor da coordenada y sera´ mı´nimo para o instante de tempo t quando
vy(t) = 0
3
t− 2 = 0
O valor da coordenada y sera´ mı´nimo quando
t = 2 s
2. Uma pedra de massa m, presa a um corda˜o de comprimento L, e´ girada por um menino.
Para a pedra realizar uma volta completa sa˜o necessa´rios t segundos. O c´ırculo descrito pela
pedra esta´ em um plano horizontal a uma altura h do solo. A ma´xima tensa˜o que o corda˜o
suporta sem se romper e´ TMAX . Em termos de m, L, h, t, TMAX e g
(a) (0,5) Fac¸a um diagrama de forc¸as para a pedra. Qual a direc¸a˜o e sentido da forc¸a
resultante?
(b) (0,5) Suponha agora que mg � T , onde T e´ a tensa˜o no corda˜o, qual a acelerac¸a˜o da
pedra quando sa˜o necessa´rios t segundos para uma volta completa?
(c) (0,5) Suponha novamente que mg � T , qual a maior velocidade com que a pedra pode
girar sem que o corda˜o se rompa?
(d) (0,5) Se o corda˜o se romper, quanto tempo a queda levara´ ate´ atingir o solo?
(e) (0,5) A que distaˆncia (horizontal) do ponto de ruptura a pedra tocara´ o solo?
SOLUC¸A˜O:
(a) Fac¸a um diagrama de forc¸as para a pedra. Qual a direc¸a˜o e sentido da forc¸a resultante?
Diagrama de forc¸as:
mg
T
x
y
θ
Segundo o sistema de coordenadas adotado na figura acima, a forc¸a resultante tera´
a direc¸a˜o positiva do eixo x, ou seja sera´ horizontal.
(b) Suponha agora que mg � T , onde T e´ a tensa˜o no corda˜o, qual a acelerac¸a˜o da pedra
quando sa˜o necessa´rios t segundos para uma volta completa?
4
Supor que mg � T significa que podemos tomar θ → 0 na figura acima, ou seja,
considerar que a tensa˜o T no corda˜o seja horizontal. Assim, a acelerac¸a˜o da pedra e´ a
acelerac¸a˜o centr´ıpeta dada por:
ac =
v2
L
A velocidade e´ determinada atrave´s do tempo necessa´rio para realizar uma volta
completa, ou seja:
t =
2piL
v
⇒ v = 2piL
t
Assim, a acelerac¸a˜o sera´ dada por:
ac =
4pi2L
t2
(c) Suponha novamente que mg � T , qual a maior velocidade com que a pedra pode girar
sem que o corda˜o se rompa?
Como dito do item anterior, supor que mg � T significa tomarmos T na horizontal.
Assim, no momento de ruptura, a tensa˜o ma´xima e´ igual a` forc¸a centr´ıpeta
TMAX = m
v2MAX
L
Assim, a velocidade ma´xima de rotac¸a˜o sera´:
vMAX =
√
TMAXL
m
(d) Se o corda˜o se romper, quanto tempo a queda levara´ ate´ atingir o solo?
Na direc¸a˜o vertical a pedra realizara´ um movimento de queda livre, partindo da
altura h, com velocidade nula na direc¸a˜o vertical, ate´ atingir o solo. Supondo a origem do
eixo vertical no solo temos
0 = h− 1
2
gt2Q
ou seja, o tempo de queda tQ e´ dado por:
tQ =
√
2h
g
5
(e) A que distaˆncia (horizontal) do ponto de ruptura a pedra tocara´ o solo?
Na direc¸a˜o horizontal a pedra parte com a velocidade vMAX determinada no item (c)
e se desloca durante o intervalo de tempo dado por tQ. Supondo a origem do eixo horizontal
no pondo de ruptura da corda, temos:
xh = vMAXtQ
ou seja,
xh =
√
TMAXL
m
2h
g
30o 60o
αm1
m2
3. Uma estrutura de arame, em forma de triaˆngulo
retaˆngulo, e´ mantida no plano vertical e esta´ apoi-
ada no solo sobre o seu lado maior. Duas argolas
de massas m1 e m2 podem deslizar sem atrito so-
bre cada um dos lados inclinados, mas esta˜o unidas
entre si por um fio de massa desprez´ıvel. No equil´ıbrio, o fio faz um aˆngulo α com um lado
como mostra a figura.
(a) (1,0) Indique num diagrama todas as forc¸as que agem sobre cada uma das argolas.
Escreva as equac¸o˜es que definem o estado de equil´ıbrio esta´tico.
(b) (1,0) Qual deve ser a relac¸a˜o (m1/m2) entre as massas para que, no equil´ıbrio, o fio fique
na horizontal (isto e´, α = 30◦)?
(c) (0,5) Nas condic¸o˜es do item (b) e supondo que m1g = 3 N , qual e´ a tensa˜o no fio?
SOLUC¸A˜O:
(a) Indique num diagrama todas as forc¸as que agem sobre cada uma das argolas. Escreva as
equac¸o˜es que definem o estado de equil´ıbrio esta´tico.
Diagrama de forc¸as:
m1g
T
N1 30
o
x
y
α - 30o
m2g
T N260o
x
y
α - 30o
m1
m2
6
Equac¸o˜es que definem o equil´ıbrio:
Argola m1:
Direc¸a˜o x : T cos(α− 30◦) = N1 sen(30◦) (1)
Direc¸a˜o y : N1 cos(30
◦) = m1g + T sen(α− 30◦) (2)
Argola m2:
Direc¸a˜o x : N2 sen(60
◦) = T cos(α− 30◦) (3)
Direc¸a˜o y : N2 cos(60
◦) + T sen(α− 30◦) = m2g (4)
(b) Qual deve ser a relac¸a˜o (m1/m2) entre as massas para que, no equil´ıbrio, o fio fique na
horizontal (isto e´, α = 30◦)?
Substituindo α = 30◦ nas equac¸o˜es (1) e (2) temos:
T = N1 sen(30
◦) ⇒ T = 1
2
N1 (5)
N1 cos(30◦) = m1g ⇒ N1 = 2√
3
m1g (6)
Juntando as equac¸o˜es (5) e (6) temos
T =
1√
3
m1g (7)
Substituindo agora α = 30◦ nas equac¸o˜es (3) e (4) temos:
N2 sen(60
◦) = T ⇒ T =
√
3
2
N2 (8)
N2 cos(60
◦) = m2g ⇒ N2 = 2m2g (9)
Juntando as equac¸o˜es (8) e (9) temos
T =
√
3m2g (10)
Das equac¸o˜es (7) e (10) temos que
1√
3
m1g =
√
3m2g (11)
7
ou seja:
m1
m2
= 3
(c) Nas condic¸o˜es do item (b) e supondo que m1g = 3 N , qual e´ a tensa˜o no fio?
Usando a equac¸a˜o (7)
T =
1√
3
m1g
e que m1g = 3 N temos
T =
√
3 N
F
m1
m2
4. Algue´m exerce uma forc¸a F, diretamente para cima, sobre
o eixo da roldana mostrada na figura. A massa da roldana e´ de
4, 0 kg. Despreze a massa do fio, o atrito do mancal e o atrito
entre o fio e a roldana. Nas duas extremidades do fio que passa
pela roldana esta˜o colocados dois corpos, m1 de massa 1, 0 kg
e m2 de massa 2, 0 kg, sendo que este u´ltimo esta´ em contato
com a superf´ıcie horizontal.
(a) (0,5) Fac¸a um diagrama de corpo livre e escreva as leis de
Newton para a roldana e para cada uma das massas;
(b) (0,5) Qual e´ o maior valor que o mo´dulo da forc¸a F pode ter de modo que m2 permanec¸a
em repouso sobre a superf´ıcie?
(c) (1,0) Qual a tensa˜o no fio se a forc¸a F e´ de 150 N?
(d) (0,5) Qual a acelerac¸a˜o de m1 quando a forc¸a F e´ de 150 N?
SOLUC¸A˜O:
(a) Fac¸a um diagrama de corpo livre e escreva as leis de Newton para a roldana e para cada
uma das massas;
Considerando a situac¸a˜o em que m2 esta´ em repouso no solo, temos o seguinte
diagrama de forc¸as:
8
F
m1
m2
T T
T
T
m1g m2g
N
Mg
As expresso˜es que descrevem a situac¸a˜o de cada corpo sa˜o:
Roldana : F − 2T −Mg = MA
massa m1 : T −m1g = m1a1
massa m2 : T +N −m2g = 0
onde M e A sa˜o a massa e a acelerac¸a˜o da roldana, e a1 a acelerac¸a˜o da massa m1.
(b) Qual e´ o maior valor que o mo´dulo da forc¸a F pode ter de modo que m2 permanec¸a em
repouso sobre a superf´ıcie?
O maior valor da forc¸a F ocorre quando N → 0. Assim, da equac¸a˜o para a massa
m2 temos que:
T = m2g
Considerando um caso geral, onde tanto as massas m1 e m2 quanto a roldana esta˜o
se movendo, como mostrado na figura abaixo, onde a origem do eixo vertical foi tomado na
superf´ıcie horizontal, podemos determinar a relac¸a˜o entre as acelerac¸o˜es a1 da massa m1,
a2 da massa m2 e A da roldana. As alturas y1, y2 e Y na figura representam as posic¸o˜es
das massas m1, m2 e da roldana em um dado instante de tempo. Em qualquer instante de
tempo o comprimento do fio C que liga m1 a m2 deve se manter constante. Para o instante
de tempo mostrado na figura podemos escrever o comprimento do fio como (lembre-se que
tanto as massas como a roldana esta˜o sendo tratadas como part´ıculas):
C = Y − y2 + Y − y1 = 2Y − y1 − y2
Derivando a equac¸a˜o acima obtemos uma relac¸a˜o entre as velocidades das massas
m1, m2 e da roldana:
2 · dY
dt
− dy1
dt
− dy2
dt
= 0 ⇒ 2V − v1 − v2 = 0
9
F
m1
m2y1
y2
Y
Derivando novamente obtemos uma relac¸a˜o entre as acelerac¸o˜es das massas m1, m2
e da roldana:
2 · dV
dt
− dv1
dt
− dv2
dt
= 0 ⇒ 2A− a1 − a2 = 0
Assim, as acelerac¸o˜es possuem a seguinte relac¸a˜o:
2A = a1 + a2
Portanto, na situac¸a˜o em que m2 permanece em repouso, a2 = 0 e a1 = 2A.
Substituindo T na equac¸a˜o para a massa m1 temos:
m2g −m1g = m12A ⇒ A = (m2 −m1)
2m1
g
Substituindo na equac¸a˜o da roldana:
FMAX − 2m2g −Mg = M (m2 −m1)
2m1
g
FMAX =
[
2m2 +M +
M
2m1
(m2 −m1)
]
g
FMAX =
[
2 · 2 + 4 + 4
2 · 1(2− 1)
]
· 10
A forc¸a ma´xima sera´ de
FMAX = 100 N
(c) Qual a tensa˜o no fio se a forc¸a F e´ de 150 N?
Como a forc¸a aplicada e´ maior do que a forc¸a ma´xima determinada acima, isso
implica que m2 na˜o esta´ mais em repouso. Assim temos agora que:
Roldana : F − 2T −Mg = MA
10
massa m1 : T −m1g = m1a1
massa m2 : T −m2g = m2a2
onde a2 e´ a acelerac¸a˜o da massa m2.
Do deduzido no item anterior sabemos que:
2A = a1 + a2
Da equac¸a˜o da roldana obtemos:
A =
F − 2T −Mg
M
Da equac¸a˜o para a massa m2
a2 =
T −m2g
m2
Da relac¸a˜o entre as acelerac¸o˜es:
a1 = 2A− a2
Substituindo na equac¸a˜o para a massa m1
T −m1g = m1(2A− a2) ⇒ T = m1(g + 2A− a2)
T = m1
[
g + 2
(
F − 2T −Mg
M
)
−
(
T −m2g
m2
)]
T = m1
(
g +
2F
M
− 4T
M
− 2g − T
m2
+ g
)
T = m1
(
2F
M
− 4T
M
− T
m2
)
T =
(
2m1m2
m2M + 4m1m2 +m1M
)
F =
(
2 · 1 · 2
2 · 4 + 4 · 1 · 2 + 1 · 4
)
· 150
T = 30 N
(d) Qual a acelerac¸a˜o de m1 quando a forc¸a F e´ de 150 N?
11
Usando a expressa˜o para a1 obtida acima:
a1 = 2A− a2 = 2
(
F − 2T −Mg
M
)
−
(
T −m2g
m2
)
a1 =
(
2F
M
− 4T
M
− 2g − T
m2
+ g
)
=
(
2F
M
− 4T
M
− T
m2
− g
)
a1 =
(
2 · 150
4
− 4 · 30
4
− 30
2
− 10
)
A acelerac¸a˜o da massa m1 e´ dada por:
a1 = 20 m/s
2
12