P3 POLI 2015

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Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (27/11/2015) [0000]-p1/⁇
QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-8) - GABARITO
NOTA: As respostas (a) são as corretas
(1) (0,75 pt) No oscilador harmônico amortecido pode-se dizer que a frequência de oscilação (ω) é, em relação à
frequência do oscilador livre (ωo),
(a) menor porque o módulo da aceleração média é reduzida pela força dissipativa.
(b) maior porque a amplitude do movimento é reduzida devido à dissipação de energia.
(c) igual porque os efeitos sobre a aceleração e sobre a amplitude se cancelam.
(d) maior porque a força dissipativa é oposta à velocidade.
(e) nenhuma das anteriores.
(2) (0,75 pt)Dois sistemasmassamola encontram-se acoplados comomostra a figura. Sendoωo = k/m e α =
√
5+1
2a chamada razão áurea, o sistema tem dois modos normais com frequências ω+ e ω− tais que:
(Dica: use a solução tentativa x(t) = Aexp(iωt).)
(a) [ωo −ω−] = [ω+ −ωo]−1 = αωo
(b) [ωo −ω−] + [ω+ −ωo]−1 = α
(c) [ωo −ω−] /[ωo −ω+]−1 = α
(d) [ωo −ω−]× [ωo −ω+] = αω2o
(e) [ωo −ω−] = [ωo −ω+] = αωo
(3) (0,75 pt) Um oscilador forçado sem amortecimento terá amplitude
(a) dependente da frequência da força externa.
(b) que aumentará indefinidamente com o tempo.
(c) infinitamente grande já a partir do instante inicial, pois a energia não é dissipada.
(d) independente da frequência da força externa.
(e) nenhuma das anteriores.
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(4) (0,75 pt) Considere um oscilador amortecido e sujeito a uma força cossenoidal. As condições inciais do oscilador
podem
(a) ampliar ou reduzir a amplitude nos instantes iniciais do movimento.
(b) influenciam a amplitude do movimento mesmo em instantes muito posteriores ao início do movimento.
(c) não têm qualquer influência sobre o movimento
(d) só podem aumentar a amplitude no início, pois o amortecimento reduzirá a amplitude de oscilação até o
oscilador parar completamente
(e) só podem aumentar a amplitude no início, pois o amortecimento reduzirá a amplitude de oscilação até um
valor constante não nulo.
(5) (0,75 pt) Um oscilador amortecido tem frequência igual a 90,5% daquela que teria (ωo) se sua constante de
amortecimento fosse nula. Ao aplicarmos uma força externa cossenoidal, a frequência de ressonância (máxima
amplitude) é (Dado: 0, 9052 ∼ 0, 82.)
(a) 0, 8ωo
(b) (0, 8)−1ωo
(c) 1, 6ωo
(d) ωo
(e) 0, 905ωo
(6) (0,75 pt) A figura abaixo representa a posição, x(t) de um oscilador com amortecimento em função do tempo. O
tipo de oscilador, a frequência de oscilação e a constante de amortecimento são, respectivamente (Na figura, o eixo
vertical representa a amplitude e o horizontal representa o tempo em segundos. Dado ln 2 = 0, 7.).
(a) subcrítico, 2s−1 e 0, 47s−1
(b) subcrítico, 1s−1 e 0, 23s−1
(c) hipercrítico, 0, 5s−1 e 9, 4s−1
(d) subcrítico, 2s−1 e 0, 23s−1
(e) crítico, 0, 5s−1 e 0, 5s−1
(7) (0,75 pt) Um redutor de velocidades é feito com ondulações aproximadamente senoidais construídas na pista de
uma rodovia. Deseja-se que a velocidade dos automóveis seja inferior a v. Considere que a massa de um automóvel
é de M = 4m igualmente distribuída entre as 4 rodas, e que os amortecedores independentes de cada roda têm uma
mola de constante elástica k mergulhada num fluido de viscosidade ρ. O engenheiro decide que o redutor deve ser
tal que o automóvel tenha a máxima amplitude de oscilação induzida pelas ondulações da pista exatamente quando
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o automóvel passa à velocidade v pelo redutor. al deve ser a distância entre as ondulações da pista?
(a)
√
4pi2mv2
k−ρ2/(2m)
(b) 4pi2mv2k−ρ2/(2m)
(c)
√
4pi2mv2
k
(d)
√
k−ρ2/(2m)
4pi2mv2
(e)
√
4pi2mv2
k−ρ2/(4m)
(8) (0,75 pt) Na figura abaixo, os períodos dos regime transitório e estacionário são:
(a) 1T e 10T
(b) 2T e 5T
(c) 10T e 1T
(d) 5T e 2T
(e) T/2 e T
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QUESTÃO DISCURSIVA - 4,0 pts
ATENÇÃO: A solução dessa questão deve ser feita no caderno de provas
9. Um oscilador harmônico com amortecimento γ < 2ωo = 20 rad/s está em repouso na posição de equilíbrio
quando é submetido a uma aceleração senoidal a(t) = aosen(Ωt). Equação de movimento do tipo x¨+ γx˙+ω2ox =
a(t)
a) Sendo γ = 5 s−1, qual a frequência da aceleração para que a amplitude final de oscilação (regime estacionário,
t→ ∞) seja máxima?
b) Mantendo-se a frequência anterior e reduzindo-se o amortecimento para γ = 0,002/s, qual o aumento relativo
da amplitude de oscilação final?
c) al o período do batimento que surge no início do movimento se Ω = 9 rad/s e γ << ωo ?
d) Encontre a função que descreve o movimento em funcão do tempo, x(t), durante o regime transitório com
γ << ωo .
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FORMULÁRIO
d2x
dt2
+ω2ox = 0
d2x
dt2
+ γ
dx
dt
+ω2ox = 0
d2x
dt2
+ γ
dx
dt
+ω2ox = (Fo/m)cos(ωt+ φ)
x(t) = A cos(ωt+ φ)
x(t) = A cos(ωt) + Bsen (ωt)
x(t) = exp(−(γ/2)t)(a+ bt)
x(t) = exp(−(γ/2)t)(A cos(ωt) + Bsen (ωt))
x(t) = exp(−(γ/2)t)(A exp(ωt) + B exp(−ωt))
ωo =
√
k/m ; ωo =
√
g/l ; ω2 =
√
ω2o + 2κ/m ; ω2 =
√
3ω2o
Q = ωo/γ
ν = νo
(
1± u/v
1∓V/v
)
P = Fv .
QUESTÃO DISCURSIVA
Gabarito
9. Um oscilador harmônico com amortecimento g < 2w0 = 20 rad/s está em repouso na posição de 
equilíbrio quando é submetido a uma aceleração senoidal a(t) = a0 sen(Wt). Equação de movimento do 
tipo x¨+γ x˙+ω0
2 x=a( t) . 
a) [1,0] Sendo g = 5 s-1, qual a frequência da aceleração para que a amplitude final de oscilação (regime
estacionário, t  ) seja máxima? 
R: derivando a expressão da amplitude ao quadrado A2= a0
2
(ω0
2−Ω2)2+γ2Ω2 e igualando a zero
d A2
dΩ
=
a0
2
[(ω0
2−Ω2)2+γ2Ω2]
4Ω(Ω2−ω0
2+γ2/2)=0 ,
tem-se que a amplitude máxima ocorre quando Ω=√ω02−γ2/2=ω0√1−1/8=10√7/8 rad/s .
b) [1,0] Mantendo-se a frequência anterior e reduzindo-se o amortecimento para g = 0,002 s-1, qual o 
aumento relativo na amplitude de oscilação final?
R: A1=
a0
√(ω02−Ω2)2+γ2Ω2
=
8a0
ω0
2√15 e 
A2≈
a0
√(ω02−Ω2)2
=
8a0
ω0
2 , 
implicando num aumento relativo A2 /A1=
√(ω02−Ω2)2+γ2Ω2
√(ω02−Ω2)2
=√15 . 
c) [1,0] Qual o período do batimento que surge no início do movimento se W = 9 rad/s e g  w0?
R: O batimento terá frequência igual à diferença das frequências natural e da força externa, Dw = w0-W
= 1 rad/s, e período igual à 2p/Dw = 6,28 s . 
d) [1,0] Encontre a função que descreve o movimento em função do tempo, x(t), durante o regime 
transitório com g  w0. 
R: Solução geral da parte transitória, 
 xT (t)=e
−γt /2[A' cos(ω t)+(A' γ/2+v ' ) sin(ω t )ω ]
onde ω2=w0
2−γ2 /4 , xT (0)=A' e x˙T (0)=v ' .
Solução da parte estacionária,
x E(t )=A sin(Ω t+Φ)
com x E(0)=Asin (Φ) e x˙ E(0)=Ω A cos(Φ) .
Dá condição inicial do problema (sistema em repouso na posição de equilíbrio) tem-se
x E(0)+xT (0)=0 ⇒ A '=−Asin (Φ) 
x˙ E(0)+ x˙T (0)=0 ⇒ v '=−Ω A cos(Φ) .
Logo, 
 = 
 = .
Levando em conta a situação γ≪ω0 , ω=ω0 e Ω≈ω0 , a equação acima se reduz a 
 ,
resultando num batimento de período 2π /∣Ω−ω0∣ .
x (t)=x E(t )+xT (t)
A sin(Ω t+Φ)−Ae−γ t / 2[sin (Φ)cos(ω t)+ γ2ω sin (Φ)sin(ω t)+Ωω cos (Φ)sin(ω t )]
x (t)=A[sin(Ω t+Φ)−sin (ω0 t+Φ)]