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Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra I - 02
1. Definimos a ∼ b se, e so´ se, ab > 0, para a, b ∈ Z. Verifique se ∼
e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. E se trocarmos > por ≥ .
2. Seja E o cunjunto de todas as retas de um plano α, seja P um
ponto dado de α e seja r uma reta dada em α. Verificar quais das
seguintes relac¸o˜es e´ de fato uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(a) x ∼ y ⇐⇒ x e´ paralela a` y.
(b) x ∼ y ⇐⇒ x na˜o e´ paralela a` y.
(c) x ∼ y ⇐⇒ x e´ perpendicular a` y ou x e´ paralela a` y.
(d) x ∼ y ⇐⇒ x e y se cortam em um ponto de r.
(e) x ∼ y ⇐⇒ x e y passam por P .
(f) x ∼ y ⇐⇒ x passa por P e y corta r.
3. Seja I um ideal de Z. Definimos a ∼ b se, e so´ se, a− b ∈ I, para
a, b ∈ Z. Mostre que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em Z.
4. Seja A o conjunto de todos os polinoˆmios com coeficientes inteiros.
Mostre que em A a relac¸a˜o p(X) ∼ q(X)⇔ p ′(X) = q ′(X) e´ uma
relac¸a˜o de equivaleˆncia e encontre a classe do polinoˆmio X2 +X.
5. Mostre que (n3−n)(n4−n) e´ divis´ıvel por 60, para todo nu´mero
inteiro positivo n.
6. Calcule o resto da divisa˜o de 26860 por 11.
7. Seja p um nu´mero primo. Mostre que a aplicac¸a˜o
φ : Zp −→ Zp
a 7→ ap e´ injetiva e sobrejetiva.
8. Quais sa˜o os elementos invers´ıveis e os divisores de zero de Zn?.
9. Encontre todos os invers´ıveis e os divisores de zero em
Z4 × Z5.
10. Calcule os seguintes valores em Zn:
(a) (7 · 3), para n = 5.
(b) (7 + 3), para n = 5.
(c) (15 · 4), para n = 7.
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11. Mostre que:
(a) em Z6, 4|2.
(b) em Z8, 3|7.
(c) em Z18, 7|2 e verifique se 9|3.
12. Para cada item encontre um inteiro n tal que o anel Z na˜o tem a
propriedade:
(a) a2 = a =⇒ a = 0 ou a = 1.
(b) ab = 0 =⇒ a = 0 ou b = 0.
(c) ab = ac a 6= 0 =⇒ b = c.
13. Encontre o inverso de:
(a) 15 mo´dulo 1333
(b) 234 mo´dulo 425
(c) 8 mo´dulo 431
14. Encontre todas as soluc¸o˜es das seguintes equac¸o˜es modulares:
(a) 7X ≡ 1 (mod 11).
(b) 26X ≡ 2 (mod 4096).
(c) 26X ≡ 7 (mod 4096).
(d) 12740X ≡ 100(mod 7260).
15. Mostre que para todo n ∈ N, n5 ≡ n mo´dulo 10.
16. Mostre que 22n− 1 e´ divis´ıvel por 3, para todo o nu´mero positivo
n.
17. Seja p um nu´mero primo. Mostre que em Zp,
(a¯+ b¯)p = a¯p + b¯p.
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