EAD350 II 2017 Aula4

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EAD 350 
 Pesquisa Operacional 
Aula 4 
Prof. Hiroo Takaoka 
 
takaoka@usp.br 
FEA/USP 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Modelo Matemático 
 
Função Objetivo 
 
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2 
 
 
Sujeito à (restrições): 
 
1X1 + 0X2 < 4 
0X1 + 2X2 < 12 
3X1 + 2X2 <18 
X1, X2 > 0 
 
Variáveis Decisórias 
X1- Quantidade de Produto 1 
X2- Quantidade de Produto 2 
Lembrando... 
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B 
D (4,3) 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
36Z
Z = 3X1 + 5X2 
X2 = -3/5 X1 + Z/5 
C1=3 ; C2 = 5 
Solução Ótima 
41 X
(Fábrica 1) 
Ponto ótimo 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Pergunta a. A empresa estima que há uma incerteza quanto ao lucro 
que poderá ser de fato obtido no produto 1, havendo uma possibilidade 
de haver uma variação de até 40% (para mais ou para menos) sobre o 
valor estabelecido para a análise ($3,00). Qual o impacto dessa 
incerteza para o modelo? 
Pergunta b. A empresa estima que há uma incerteza quanto ao lucro 
que poderá ser de fato obtido no produto 2, havendo uma possibilidade 
de haver uma variação de até 80% (para mais ou para menos) sobre o 
valor estabelecido para a análise ($5,00). Qual o impacto dessa 
incerteza para o modelo? 
 
Perguntas 
Análise de Sensibilidade 
Resposta 
Análise de Sensibilidade 
• De modo geral, os parâmetros em modelo de PL não são exatos. 
Com análise de sensibilidade podemos averiguar o impacto dessa 
incerteza sobre a qualidade da solução ótima. 
– Sensibilidade da solução ótima às variações na disponibilidade 
dos recursos (bi - lado direito das restrições). Conhecido como 
Preço Sombra. 
ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn < bi 
– Sensibilidade da solução ótima às variações no lucro unitário 
ou no custo unitário (cj – coeficientes da função objetivo). 
Máx Z = c1 x1+ ... + cj xj + ... + cnxn 
 
 
Os fundamentos da análise de sensibilidade serão explicados 
usando soluções gráficos de problemas de PL de duas 
variáveis. Estes fundamentos poderão ser estendidos ao 
problema geral de PL (mais de duas variáveis). 
Análise de Sensibilidade 
• De modo geral, os parâmetros em modelo de PL não são exatos. 
Com análise de sensibilidade podemos averiguar o impacto dessa 
incerteza sobre a qualidade da solução ótima. 
– Sensibilidade da solução ótima às variações na disponibilidade 
dos recursos (bi - lado direito das restrições). Conhecido como 
Preço Sombra. 
ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn < bi 
– Sensibilidade da solução ótima às variações no lucro unitário 
ou no custo unitário (cj – coeficientes da função objetivo). 
 
 
Os fundamentos da análise de sensibilidade serão explicados 
usando soluções gráficos de problemas de PL de duas 
variáveis. Estes fundamentos poderão ser estendidos ao 
problema geral de PL (mais de duas variáveis). 
Máx Z = c1 x1+ ... + cj xj + ... + cnxn 
Variações nos Coeficientes da Função Objetivo 
• Trata-se de verificar a sensibilidade da solução ótima às 
variações nos valores dos parâmetros cj. 
• Para essa análise utilizando o gráfico, considere que 
duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo 
coeficiente angular. 
• No caso da Reta Z, reescrevendo em função de X2, o 
coeficiente angular é: 
 2
1
2
1
2
c
Z
X
c
c
X 
2
1
c
c

2211 XcXcZ 
coeficiente angular 
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
D (4,3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
36 = 3X1 + 5X2 
41 X
(Fábrica 1) 
A solução ótima ocorre no ponto C. 
Alterações nos lucros unitários (c1 e 
c2) alterarão a inclinação de Z. 
Análise de 
Sensibilidade 
Ponto ótimo 
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
D (4,3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
36 = 3X1 + 5X2 
40 = 5X1 + 5X2 
Imaginando uma 
situação em que 
c1 tivesse outro 
valor: 
Z = c1X1 + 5X2 
41 X
(Fábrica 1) 
Análise de 
Sensibilidade 
c1 = 5 
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
45 = 7,5X1 + 5X2 
D (4,3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
36 = 3X1 + 5X2 
40 = 5X1 + 5X2 
Imaginando uma 
situação em que 
c1 tivesse outro 
valor: 
Z = c1X1 + 5X2 
41 X
(Fábrica 1) 
Análise de 
Sensibilidade 
c1 = 7,5 
C (2;6) 
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
Z = 7,5X1 + 5X2 
D (4,3) 
Análise de 
Sensibilidade 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Z = 3X1 + 5X2 
Z = 5X1 + 5X2 
Z = 9X1 + 5X2 
Imaginando uma 
situação em que 
c1 tivesse outro 
valor: 
Z = c1X1 + 5X2 
Note que com valor de c1 = 9 a solução 
não vai mais ser o ponto C. 
c1 = 9 
C (2;6) 
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
Z = 7,5X1 + 5X2 
D (4,3) 
A pergunta da análise de 
sensibilidade é então: quais os 
limites para o valor de c1 (e c2) 
que ainda manteriam a mesma 
solução C (X1 = 2; X2 = 6). 
Análise de 
Sensibilidade 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Z = 3X1 + 5X2 
Z = 5X1 + 5X2 
Imaginando uma 
situação em que 
C1 tivesse outro 
valor: 
Z = c1X1 + 5X2 
Com valor de c1 = 9 a solução mudou 
para o ponto D (X1 = 4; X2 = 3). 
c1 = 9 
Z = 9X1 + 5X2 
Note que com valor de c1 = 9 a solução 
não vai mais ser o ponto C. 
C (2;6) 
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B 
D 
E 
(Fábrica 3) 2
18
2
3
12  XX
a) “Girando” no sentido horário, a reta limite 
será a da Fábrica 3 
Ou seja, o coeficiente angular é -3/2 
No limite, teremos as duas retas (Z e Fábrica 3) 
praticamente paralelas e os coeficientes 
angulares muito próximos. 
2
3
2
1 
c
c
55
3
12
Z
XX 
Ou seja, o coeficiente 
angular é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c

122 2 X
(Fábrica 2) 
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os coeficiente cj um de cada vez. 
Análise de 
Sensibilidade 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
C (2;6) 
Segue-se que: 
5,7
2
3
5
1
1  c
c
2
2
33
2
2
 c
c
c2 = 5 
c1 = 3 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Análise de Sensibilidade 
Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular 
3
3
2
1
2
1
fábricarestriçãodaXdeeCoeficient
fábricarestriçãodaXdeeCoeficient
objetivafunçãodaXdeeCoeficient
objetivafunçãodaXdeeCoeficient

A reta da função objetiva tornará paralela à reta da restrição fábrica 3, se o 
coeficiente de X1 passar a ser igual a 7,5. Assim, a solução permanecerá válida 
enquanto o aumento do valor do coeficiente de X1 for < 4,5 (isto é, 7,5 – 3 = 4,5). 
A reta da função objetiva tornará paralela à reta da restrição fábrica 3, se o 
coeficiente de X2 passar a ser igual a 2. Assim, a solução permanecerá válida 
enquanto o redução do valor do coeficiente de X2 for < 3 (isto é,5 – 2 = 3). 
5,7
2
3
5
1
1  c
c
2
2
33
2
2
 c
c
Restrição: 
1823 21  XX
(Fábrica 3) 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B 
D 
E 
b) “Girando” agora no sentido anti-horário, a 
reta limite será a da Fábrica 2 2
12
0 12  XX
Ou seja, o coeficiente angular é 0 
No limite, teremos as duas retas (Z e Fábrica 2) 
paralelas e os coeficientes angulares muito 
próximos 
122 2 X
(Fábrica 2) 
12
5
3
5
X
Z
X 
Ou seja, o 
coeficiente angular 
é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c

Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os coeficiente cj um de cada vez. 
1823 21  XX
(Fábrica 3) 
Análise de 
Sensibilidade 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
0
2
1 
c
c
C (2;6) 


2
2
1
1
0
3
00
5
c
c
c
c
Segue-se que: 
c2 = 5 
c1 = 3 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Análise de Sensibilidade dade 
Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular. 
2
2
2
1
2
1
fábricarestriçãodaXdeeCoeficient
fábricarestriçãodaXdeeCoeficient
objetivafunçãodaXdeeCoeficient
objetivafunçãodaXdeeCoeficient



2
2
1
1
0
2
03
00
2
0
5
c
c
c
c
Restrição: (Fábrica 2) 
122 2 X
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B 
D 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
Sintetizando os limites da 
análise de sensibilidade: 
A solução permanece 
inalterada enquanto 
5,70 1  c
 22 c
e 
Análise de 
Sensibilidade 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
C (2;6) 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver 
 (12 – 6) < Fábrica 2 < (12 + 6) --> 6 < Fábrica 2 < 18 
 (18 – 6) < Fábrica 3 < (18 + 6) --> 12 < Fábrica 3 < 24 
 (3 – 3) < C1 < (3 + 4,5) --> 0 < C1 < 7,5 
 (5 – 3) < C2 < (5 + ∞) --> 2 < C2 < ∞ 
Relatório de Sensibilidade do Solver 
• Quadro de Células Ajustáveis 
– Valor Final 
Valores finais de variáveis de decisão (xi). 
– Reduzido Custo 
É o valor que o coeficiente da Função Objetiva deveria ser 
modificado para que o valor da variável seja diferente de zero, caso 
esta seja zero. (Como no nosso problema os valores são diferentes 
de zero para as duas variáveis, o Custo Reduzido não se aplica). 
– Coeficiente Objetivo 
São os coeficientes (ci) da Função Objetivo. 
– Acréscimo Permissível 
Acréscimo que pode ser feito no coeficiente da função objetivo sem 
mudar a solução ótima. 
– Decréscimo Permissível 
Decréscimo que pode ser feito no coeficiente da função objetivo 
sem mudar a solução ótima. 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
a. A empresa estima que há uma incerteza quanto ao lucro que 
poderá ser de fato obtido no produto 1, havendo uma possibilidade 
de haver uma variação de até 40% (para mais ou para menos) 
sobre o valor estabelecido para a análise ($3,00). Qual o impacto 
dessa incerteza para o modelo? 
A variação de 40% (1,8 < c1 < 4,2) manteria o valor de c1 dentro da 
faixa permitida, indicando a robustez do modelo e tornando válido 
seu uso para a tomada de decisão no caso. 
 
 (3 – 3) < c1 < (3 + 4,5) --> 0 < c1 < 7,5 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
b. A empresa estima que há uma incerteza quanto ao lucro que 
poderá ser de fato obtido no produto 2, havendo uma possibilidade 
de haver uma variação de até 80% (para mais ou para menos) 
sobre o valor estabelecido para a análise ($5,00). Qual o impacto 
dessa incerteza para o modelo? 
A variação de 80% (1 < c2 < 9) NÃO manteria o valor de c2 dentro 
da faixa permitida, indicando a falta de robustez do modelo e 
tornando inválido seu uso para a tomada de decisão no caso. 
 (5 – 3) < c2 < (5 + ∞) --> 2 < c2 < ∞ 
 Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de ligas de 
metal. A tabela abaixo ilustra as composições das ligas, seus preços e 
as limitações na disponibilidade de matéria-prima. 
Itens/ 
Atividades 
Liga 
tipo A 
Liga 
tipo B 
Matéria-prima 
disponível 
Cobre 2 1 16 
Zinco 1 2 11 
Chumbo 1 3 15 
Preço unitário 
de venda 
R$30 R$50 
Exemplo 2 - Produção 
 A) Formule o modelo de PL para esse problema 
 B) Resolva o problema pelo método gráfico. 
Exemplo 2 – Produção – Modelo de PL 
 Função Objetivo 
 Max Z = 30x1 + 50x2 
 Restrições 
 2x1 + x2 < 16 Cobre 
 x1 + 2x2 < 11 Zinco 
 x1 + 3x2 < 15 Chumbo 
 x1, x2 > 0 
15 
Max Z = 30x1 + 50x2 
O ponto D é o ponto de máximo. 
As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser 
verificadas graficamente. 
Ou, podem ser obtidas a partir da solução 
do par de equações das retas limites das 
restrições de Cobre e Zinco (ponto D): 
2x1 + x2 = 16 
x1 + 2x2 = 11 
x1 = 11 – 2x2 
2(11 – 2x2) + x2 = 16 
22 - 4x2 + x2 = 16 
x2 = 2 
x1 = 11 – 2(2) = 7 
D(7; 2) 
Z = 30(7) + 50(2) 
Z =310 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Exemplo 2 – Produção – Solução Ótima 
5 
10 
15 
5 10 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G 
16 
5,5 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
F 
310 = 30x1 + 50x2 
15 
Max Z = 30x1 + 50x2 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Exemplo 2 – Produção – Solução Ótima 
5 
10 
15 
5 10 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G 
16 
5,5 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
F 
310 = 30x1 + 50x2 
Ponto Ótimo 
A solução ótima ocorre no ponto D. 
Alterações nos preços unitários (c1 e c2) 
alterarão a inclinação de Z. 
Exemplo 2 – Produção - Análise de Sensibilidade 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
Cobre 2x1 + x2 < 16 
x2 
x1 
F 
G 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
2
1
c
c

Coeficiente angular da função 
objetivo é -30/50 
 ou 
Girar até ser paralela à 
reta de Zinco 
x2 = 11/2 – 1/2 x1 
2
1
2
1 
c
c
5050
30
12
Z
xx 
2
1

Coeficiente angular da restrição Zinco 2
11
2
1
12  xx
60
2
130
25
2
1
50
2
2
1
1


c
c
c
c
Segue-se que: 
c2 = 50 
c1 = 30 
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os coeficiente cj um de cada vez. 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
Girar até ser paralela à 
reta de Cobre 
x2 = 16 - 2x1 
1
2
2
1 
c
c
5050
30
12
Z
xx 
1
2

Coeficiente angular da restrição Cobre 1
16
1
2
12  xx
15
1
230
100
1
2
50
2
2
1
1


c
c
c
c
Segue-se que: 
c2 = 50 
c1 = 30 
2
1
c
c

Coeficiente angular da função 
objetivo é -30/50 
 ou 
Exemplo 2 – Produção - Análise de Sensibilidade 
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os coeficiente cj um de cada vez. 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 
Sintetizando os limites da 
análise de sensibilidade: 
A solução permanece 
inalterada enquanto 
10025 1  c 6015 2  c
e 5050
30
12
Z
xx 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Exemplo 2 – Produção - Análise de Sensibilidade 
Exemplo 2 - Produção 
Rel. Análise de Sensibilidade –Solver/Excel 
Células ajustáveis
Valor Reduzido Objetivo PermissívelPermissível
Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo
$B$3 Variável decisória x1 7 0 30 70 5
$C$3 Variável decisória x2 2 0 50 10 35
Restrições
Valor Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
$D$6 Cobre LE 16 3,333333333 16 6 6
$D$7 Zinco LE 11 23,33333333 11 1,2 3
$D$8 Chumbo LE 13 0 15 1E+30 2
 (16 – 6) < Cobre < (16 + 6) --> 10 < Cobre < 22 
 (11 – 3) < Zinco < (11 + 1,2) --> 8 < Zinco < 12,2 
 (30 – 5) < c1 < (30 + 70) --> 25 < c1 < 100 
 (50 – 35) < c2 < (50 + 10) --> 15 < c2 < 60 
Exemplo 3 – Modelo de PL 
 Variáveis de Decisão 
 x1 – quantidade de produto A 
 x2 – quantidade de produto B 
 Função Objetiva 
 Max Z = 6x1 + 4x2 
 Restrições 
 x1 + < 50 (1) Produção de A 
 x2 < 100 (2) Produção de B 
 10x1 + 5x2 < 900 (3) Mão de obra 
 8x1 + 6x2 > 300 (4) Financeira 
Exemplo 3 - Solução Gráfica 
50 
100 
150 
200 
50 100 150 200 
C 
D 
A 
F E 
B 
x1 
x2 
0 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 640 = 6x1 + 4x2 
 120 = 6x1 + 4x2 
Max Z= 6x1 + 4x2 
 x1 < 50 (1) 
 x2 < 100 (2) 
10x1 + 5x2 < 900 (3) 
 8x1 + 6x2 > 300 (4) 
Conjunto de soluções viáveis: 
Polígono ABCDEF 
225 0 37,5 F 
300 0 50 E 
620 80 50 D 
640 100 40 C 
400 100 0 B 
200 50 0 A 
Z x2 x1 Pto 
50 
100 
150 
200 
50 100 150 200 
C 
D 
A 
F E 
B 
x1 
x2 
0 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
6x1 + 4x2 = Z 
Girar até ser 
paralela à reta (3) 
10x1 + 5x2 = 900 
10x1 + 5x2 < 900 
5
900
5
10
12  xx
4
1
2
1
2
Z
x
c
c
x Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade 
Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade 
50 
100 
150 
200 
50 100 150 200 
C 
D 
A 
F E 
B 
x1 
x2 
0 
(2) 
(4) 
6x1 + 4x2 = Z 
10x1 + 5x2 < 900 
Girar até ser 
paralela à reta (3) 
10x1 + 5x2 = 900 
(3) 
5
900
5
10
12  xx
(1) 
3
5
106
8
5
10
4
2
2
1
1


c
c
c
c
Segue-se que: 
C2 = 4 
C1 = 6 
5
10
2
1 
c
c
4
1
2
1
2
Z
x
c
c
x Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e 
variando os coeficiente cj um de cada vez. 
Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular 
obrademãorestriçãodaxdeeCoeficient
obrademãorestriçãodaxdeeCoeficient
objetivafunçãodaxdeeCoeficient
objetivafunçãodaxdeeCoeficient
2
1
2
1 
3
5
106
8
5
10
4
2
2
1
1


c
c
c
c
A reta da função objetiva tornará paralela à reta da restrição mão de obra, se o 
coeficiente de x1 passar a ser igual a 8. Assim, a solução permanecerá válida 
enquanto o aumento do valor do coeficiente de x1 for < 2 (isto é, 8 – 6 = 2). 
A reta da função objetiva tornará paralela à reta da restrição produção B, se o 
coeficiente de x2 passar a ser igual a 3. Assim, a solução permanecerá válida 
enquanto o redução do valor do coeficiente de x2 for < 1 (isto é, 4 – 3 = 1). 
Restrição: 10x1 + 5x2 < 900 (Mão de obra (3)) 
Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade 
50 
100 
150 
200 
50 100 150 200 
C 
D 
A 
F E 
B 
x1 
x2 
0 
(1) 
(2) 
(3) (4) 
6x1 + 4x2 = Z 
0x1 +1x2 < 100 
Girar até 
ser paralela 
à reta (2) 
x2 = 100 
4
1
2
1
2
Z
x
c
c
x 
1
100
1
0
12  xxExemplo 3 - Análise de Sensibilidade 
50 
100 
150 
200 
50 100 150 200 
C 
D 
A 
F E 
B 
x1 
x2 
0 
(1) 
(2) 
(3) (4) 
0x1 +1x2 < 100 
Girar até 
ser paralela 
à reta (2) 
x2 = 100 
4
1
2
1
2
Z
x
c
c
x 
6x1 + 4x2 = Z 


2
2
1
1
1
06
0
1
0
4
c
c
c
c
C2 = 4 
C1 = 6 
Segue-se que: 
1
100
1
0
12  xx
1
0
2
1 
c
c
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os coeficiente cj um de cada vez. 
Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade 
BdeproduçãorestriçãodaxdeeCoeficient
BdeproduçãorestriçãodaxdeeCoeficient
objetivafunçãodaxdeeCoeficient
objetivafunçãodaxdeeCoeficient
2
1
2
1 


2
2
1
1
1
06
0
1
0
4
c
c
c
c
Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular 
Restrição: x1 < 100 (Produção de B(2)) 
Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade 
50 
100 
150 
200 
50 100 150 200 
C 
D 
A 
F E 
B 
x1 
x2 
0 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 640 = 6x1 + 4x2 
Sintetizando os limites da 
análise de sensibilidade: 
A solução permanece 
inalterada enquanto 
80 1  c  23 c
e 
Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade 
Exemplo 3 - Preço Sombra 
50 
100 
150 
200 
50 100 150 200 
C 
D 
A 
F E 
B 
x1 
x2 
0 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
H 
Restrição 3 – Mão de obra 
10x1 + 5x2 = 500 
10x1 + 5x2 = 900 (b3) 
10x1 + 5x2 = 1000 
A restrição pode ser 
deslocada até os pontos 
B(0; 100) e H(50,100). 
500 < Mão de obra < 1000 
x2 < 80 
0,6 sombra Preço 
6,06406,640'
6,640)100(4)1,40(6'
1001,40
901510
100
21
21
2






ZZZ
Z
xx
xx
x
(b3’ = b3 +1) 
Resolvendo para C’: 
10x1 + 5x2 = 901(b3’) 
C’ 
Preço Sombra da Restrição Mão de obra 
Em vez de 900 horas, se tivermos 901 horas de mão de obra, o que irá 
acontecer com o valor da função objetiva? 
O novo valor será no ponto C’, que é a interseção das retas: 
901510
100
21
2


xx
x
Resolvendo o sistema, temos x1 = 40,1 e x2 = 100. O novo valor da função 
objetiva (Z’) será: 
6,640)100(4)1,40(6' Z 6,06406,640'  ZZZ
Assim, o aumento no valor da função objetiva será de: 
Este valor 0,6 é denominado preço sombra da restrição mão de obra. 
O preço sombra indica a variação no valor da função objetiva quando 
aumentarmos uma unidade o valor da restrição. 
Exemplo 3 - Preço Sombra 
Preço Sombra da Restrição Mão de obra 
Note-se que a reta da restrição mão de obra pode ser deslocada entre os 
pontos B e H. 
A coordenada do ponto B é x1 = 0 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da restrição 
mão de obra será: 10x1 + 5x2 = 500. 
A coordenada do ponto H é x1 = 50 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da restrição 
mão de obra será: 10x1 + 5x2 = 1000. 
Assim, a restrição mão de obra pode variar no intervalo: 
 500 < mão de obra < 1000 
Em outras palavras, seu valor pode ser: 
 aumentado até 100 (1000 – 900) e 
 reduzido até 400 (900-500). 
Exemplo 3 - Preço Sombra 
50 
100 
150 
200 
50 100 150 200 
C 
D(50; 80) 
A 
F E 
B 
x1 
x2 
0 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
Restrição 2 – Produção de B 
G(0; 180) 
x2 = 100 (b2) 
10x1 + 5x2 < 900 
x2 = 180 
x2 = 80 A restrição pode ser 
deslocada até os pontos 
D(50; 80) e G(0,180). 
80 < Prod B < 180 
Exemplo 3 - Preço Sombra 
1 sombra Preço
1640641'
641)101(4)5,39(6'
1015,39
900510
101
21
21
2






ZZZ
Z
xx
xx
x
(b2’ = b2 +1) 
Resolvendo para C’: 
C’ 
x2 = 101 (b2’) 
Células ajustáveis
Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo
$B$3 Variável decisória X1 40 0 6 2 6
$C$3 Variável decisória X2 100 0 4 1E+30 1
Restrições
Valor Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Final PreçoLateral R.H. Acréscimo Decréscimo
$D$6 Produção A LE 40 0 50 1E+30 10
$D$7 Produção B LE 100 1 100 80 20
$D$8 Mão de Obra LE 900 0,6 900 100 400
$D$9 Nat Financeira LE 920 0 300 620 1E+30
Rel. Análise de Sensibilidade –Solver/Excel 
Exemplo 3 - Preço Sombra