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EAD 350 Pesquisa Operacional Aula 4 Prof. Hiroo Takaoka takaoka@usp.br FEA/USP Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 2010) Modelo Matemático Função Objetivo Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2 Sujeito à (restrições): 1X1 + 0X2 < 4 0X1 + 2X2 < 12 3X1 + 2X2 <18 X1, X2 > 0 Variáveis Decisórias X1- Quantidade de Produto 1 X2- Quantidade de Produto 2 Lembrando... X2 X1 1823 21 XX A B D (4,3) E 122 2 X (Fábrica 2) (Fábrica 3) C (2;6) 36Z Z = 3X1 + 5X2 X2 = -3/5 X1 + Z/5 C1=3 ; C2 = 5 Solução Ótima 41 X (Fábrica 1) Ponto ótimo Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. Pergunta a. A empresa estima que há uma incerteza quanto ao lucro que poderá ser de fato obtido no produto 1, havendo uma possibilidade de haver uma variação de até 40% (para mais ou para menos) sobre o valor estabelecido para a análise ($3,00). Qual o impacto dessa incerteza para o modelo? Pergunta b. A empresa estima que há uma incerteza quanto ao lucro que poderá ser de fato obtido no produto 2, havendo uma possibilidade de haver uma variação de até 80% (para mais ou para menos) sobre o valor estabelecido para a análise ($5,00). Qual o impacto dessa incerteza para o modelo? Perguntas Análise de Sensibilidade Resposta Análise de Sensibilidade • De modo geral, os parâmetros em modelo de PL não são exatos. Com análise de sensibilidade podemos averiguar o impacto dessa incerteza sobre a qualidade da solução ótima. – Sensibilidade da solução ótima às variações na disponibilidade dos recursos (bi - lado direito das restrições). Conhecido como Preço Sombra. ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn < bi – Sensibilidade da solução ótima às variações no lucro unitário ou no custo unitário (cj – coeficientes da função objetivo). Máx Z = c1 x1+ ... + cj xj + ... + cnxn Os fundamentos da análise de sensibilidade serão explicados usando soluções gráficos de problemas de PL de duas variáveis. Estes fundamentos poderão ser estendidos ao problema geral de PL (mais de duas variáveis). Análise de Sensibilidade • De modo geral, os parâmetros em modelo de PL não são exatos. Com análise de sensibilidade podemos averiguar o impacto dessa incerteza sobre a qualidade da solução ótima. – Sensibilidade da solução ótima às variações na disponibilidade dos recursos (bi - lado direito das restrições). Conhecido como Preço Sombra. ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn < bi – Sensibilidade da solução ótima às variações no lucro unitário ou no custo unitário (cj – coeficientes da função objetivo). Os fundamentos da análise de sensibilidade serão explicados usando soluções gráficos de problemas de PL de duas variáveis. Estes fundamentos poderão ser estendidos ao problema geral de PL (mais de duas variáveis). Máx Z = c1 x1+ ... + cj xj + ... + cnxn Variações nos Coeficientes da Função Objetivo • Trata-se de verificar a sensibilidade da solução ótima às variações nos valores dos parâmetros cj. • Para essa análise utilizando o gráfico, considere que duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular. • No caso da Reta Z, reescrevendo em função de X2, o coeficiente angular é: 2 1 2 1 2 c Z X c c X 2 1 c c 2211 XcXcZ coeficiente angular X2 X1 1823 21 XX A B C E 122 2 X (Fábrica 2) (Fábrica 3) C (2;6) D (4,3) (Exemplo 1 Wyndor Glass Co.) 36 = 3X1 + 5X2 41 X (Fábrica 1) A solução ótima ocorre no ponto C. Alterações nos lucros unitários (c1 e c2) alterarão a inclinação de Z. Análise de Sensibilidade Ponto ótimo X2 X1 1823 21 XX A B E 122 2 X (Fábrica 2) (Fábrica 3) C (2;6) D (4,3) (Exemplo 1 Wyndor Glass Co.) 36 = 3X1 + 5X2 40 = 5X1 + 5X2 Imaginando uma situação em que c1 tivesse outro valor: Z = c1X1 + 5X2 41 X (Fábrica 1) Análise de Sensibilidade c1 = 5 X2 X1 1823 21 XX A B E 122 2 X (Fábrica 2) (Fábrica 3) 45 = 7,5X1 + 5X2 D (4,3) (Exemplo 1 Wyndor Glass Co.) 36 = 3X1 + 5X2 40 = 5X1 + 5X2 Imaginando uma situação em que c1 tivesse outro valor: Z = c1X1 + 5X2 41 X (Fábrica 1) Análise de Sensibilidade c1 = 7,5 C (2;6) X2 X1 1823 21 XX A B E 122 2 X (Fábrica 2) (Fábrica 3) Z = 7,5X1 + 5X2 D (4,3) Análise de Sensibilidade (Exemplo 1 Wyndor Glass Co.) Z = 3X1 + 5X2 Z = 5X1 + 5X2 Z = 9X1 + 5X2 Imaginando uma situação em que c1 tivesse outro valor: Z = c1X1 + 5X2 Note que com valor de c1 = 9 a solução não vai mais ser o ponto C. c1 = 9 C (2;6) X2 X1 1823 21 XX A B E 122 2 X (Fábrica 2) (Fábrica 3) Z = 7,5X1 + 5X2 D (4,3) A pergunta da análise de sensibilidade é então: quais os limites para o valor de c1 (e c2) que ainda manteriam a mesma solução C (X1 = 2; X2 = 6). Análise de Sensibilidade (Exemplo 1 Wyndor Glass Co.) Z = 3X1 + 5X2 Z = 5X1 + 5X2 Imaginando uma situação em que C1 tivesse outro valor: Z = c1X1 + 5X2 Com valor de c1 = 9 a solução mudou para o ponto D (X1 = 4; X2 = 3). c1 = 9 Z = 9X1 + 5X2 Note que com valor de c1 = 9 a solução não vai mais ser o ponto C. C (2;6) X2 X1 1823 21 XX A B D E (Fábrica 3) 2 18 2 3 12 XX a) “Girando” no sentido horário, a reta limite será a da Fábrica 3 Ou seja, o coeficiente angular é -3/2 No limite, teremos as duas retas (Z e Fábrica 3) praticamente paralelas e os coeficientes angulares muito próximos. 2 3 2 1 c c 55 3 12 Z XX Ou seja, o coeficiente angular é: -3/5 ou 2 1 c c 122 2 X (Fábrica 2) Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os coeficiente cj um de cada vez. Análise de Sensibilidade (Exemplo 1 Wyndor Glass Co.) C (2;6) Segue-se que: 5,7 2 3 5 1 1 c c 2 2 33 2 2 c c c2 = 5 c1 = 3 Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. Análise de Sensibilidade Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular 3 3 2 1 2 1 fábricarestriçãodaXdeeCoeficient fábricarestriçãodaXdeeCoeficient objetivafunçãodaXdeeCoeficient objetivafunçãodaXdeeCoeficient A reta da função objetiva tornará paralela à reta da restrição fábrica 3, se o coeficiente de X1 passar a ser igual a 7,5. Assim, a solução permanecerá válida enquanto o aumento do valor do coeficiente de X1 for < 4,5 (isto é, 7,5 – 3 = 4,5). A reta da função objetiva tornará paralela à reta da restrição fábrica 3, se o coeficiente de X2 passar a ser igual a 2. Assim, a solução permanecerá válida enquanto o redução do valor do coeficiente de X2 for < 3 (isto é,5 – 2 = 3). 5,7 2 3 5 1 1 c c 2 2 33 2 2 c c Restrição: 1823 21 XX (Fábrica 3) X2 X1 A B D E b) “Girando” agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica 2 2 12 0 12 XX Ou seja, o coeficiente angular é 0 No limite, teremos as duas retas (Z e Fábrica 2) paralelas e os coeficientes angulares muito próximos 122 2 X (Fábrica 2) 12 5 3 5 X Z X Ou seja, o coeficiente angular é: -3/5 ou 2 1 c c Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os coeficiente cj um de cada vez. 1823 21 XX (Fábrica 3) Análise de Sensibilidade (Exemplo 1 Wyndor Glass Co.) 0 2 1 c c C (2;6) 2 2 1 1 0 3 00 5 c c c c Segue-se que: c2 = 5 c1 = 3 Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. Análise de Sensibilidade dade Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular. 2 2 2 1 2 1 fábricarestriçãodaXdeeCoeficient fábricarestriçãodaXdeeCoeficient objetivafunçãodaXdeeCoeficient objetivafunçãodaXdeeCoeficient 2 2 1 1 0 2 03 00 2 0 5 c c c c Restrição: (Fábrica 2) 122 2 X X2 X1 1823 21 XX A B D E 122 2 X (Fábrica 2) (Fábrica 3) Sintetizando os limites da análise de sensibilidade: A solução permanece inalterada enquanto 5,70 1 c 22 c e Análise de Sensibilidade (Exemplo 1 Wyndor Glass Co.) C (2;6) Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver (12 – 6) < Fábrica 2 < (12 + 6) --> 6 < Fábrica 2 < 18 (18 – 6) < Fábrica 3 < (18 + 6) --> 12 < Fábrica 3 < 24 (3 – 3) < C1 < (3 + 4,5) --> 0 < C1 < 7,5 (5 – 3) < C2 < (5 + ∞) --> 2 < C2 < ∞ Relatório de Sensibilidade do Solver • Quadro de Células Ajustáveis – Valor Final Valores finais de variáveis de decisão (xi). – Reduzido Custo É o valor que o coeficiente da Função Objetiva deveria ser modificado para que o valor da variável seja diferente de zero, caso esta seja zero. (Como no nosso problema os valores são diferentes de zero para as duas variáveis, o Custo Reduzido não se aplica). – Coeficiente Objetivo São os coeficientes (ci) da Função Objetivo. – Acréscimo Permissível Acréscimo que pode ser feito no coeficiente da função objetivo sem mudar a solução ótima. – Decréscimo Permissível Decréscimo que pode ser feito no coeficiente da função objetivo sem mudar a solução ótima. Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. a. A empresa estima que há uma incerteza quanto ao lucro que poderá ser de fato obtido no produto 1, havendo uma possibilidade de haver uma variação de até 40% (para mais ou para menos) sobre o valor estabelecido para a análise ($3,00). Qual o impacto dessa incerteza para o modelo? A variação de 40% (1,8 < c1 < 4,2) manteria o valor de c1 dentro da faixa permitida, indicando a robustez do modelo e tornando válido seu uso para a tomada de decisão no caso. (3 – 3) < c1 < (3 + 4,5) --> 0 < c1 < 7,5 Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. b. A empresa estima que há uma incerteza quanto ao lucro que poderá ser de fato obtido no produto 2, havendo uma possibilidade de haver uma variação de até 80% (para mais ou para menos) sobre o valor estabelecido para a análise ($5,00). Qual o impacto dessa incerteza para o modelo? A variação de 80% (1 < c2 < 9) NÃO manteria o valor de c2 dentro da faixa permitida, indicando a falta de robustez do modelo e tornando inválido seu uso para a tomada de decisão no caso. (5 – 3) < c2 < (5 + ∞) --> 2 < c2 < ∞ Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de ligas de metal. A tabela abaixo ilustra as composições das ligas, seus preços e as limitações na disponibilidade de matéria-prima. Itens/ Atividades Liga tipo A Liga tipo B Matéria-prima disponível Cobre 2 1 16 Zinco 1 2 11 Chumbo 1 3 15 Preço unitário de venda R$30 R$50 Exemplo 2 - Produção A) Formule o modelo de PL para esse problema B) Resolva o problema pelo método gráfico. Exemplo 2 – Produção – Modelo de PL Função Objetivo Max Z = 30x1 + 50x2 Restrições 2x1 + x2 < 16 Cobre x1 + 2x2 < 11 Zinco x1 + 3x2 < 15 Chumbo x1, x2 > 0 15 Max Z = 30x1 + 50x2 O ponto D é o ponto de máximo. As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser verificadas graficamente. Ou, podem ser obtidas a partir da solução do par de equações das retas limites das restrições de Cobre e Zinco (ponto D): 2x1 + x2 = 16 x1 + 2x2 = 11 x1 = 11 – 2x2 2(11 – 2x2) + x2 = 16 22 - 4x2 + x2 = 16 x2 = 2 x1 = 11 – 2(2) = 7 D(7; 2) Z = 30(7) + 50(2) Z =310 Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Exemplo 2 – Produção – Solução Ótima 5 10 15 5 10 A B C D E x2 x1 G 16 5,5 Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) F 310 = 30x1 + 50x2 15 Max Z = 30x1 + 50x2 Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Exemplo 2 – Produção – Solução Ótima 5 10 15 5 10 A B C D E x2 x1 G 16 5,5 Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) F 310 = 30x1 + 50x2 Ponto Ótimo A solução ótima ocorre no ponto D. Alterações nos preços unitários (c1 e c2) alterarão a inclinação de Z. Exemplo 2 – Produção - Análise de Sensibilidade 5 10 15 5 10 15 A B C D E Cobre 2x1 + x2 < 16 x2 x1 F G Zinco: x1 + 2x2 < 11 2 1 c c Coeficiente angular da função objetivo é -30/50 ou Girar até ser paralela à reta de Zinco x2 = 11/2 – 1/2 x1 2 1 2 1 c c 5050 30 12 Z xx 2 1 Coeficiente angular da restrição Zinco 2 11 2 1 12 xx 60 2 130 25 2 1 50 2 2 1 1 c c c c Segue-se que: c2 = 50 c1 = 30 Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os coeficiente cj um de cada vez. 5 10 15 5 10 15 A B C D E x2 x1 F G Cobre: 2x1 + x2 < 16 Zinco: x1 + 2x2 < 11 Girar até ser paralela à reta de Cobre x2 = 16 - 2x1 1 2 2 1 c c 5050 30 12 Z xx 1 2 Coeficiente angular da restrição Cobre 1 16 1 2 12 xx 15 1 230 100 1 2 50 2 2 1 1 c c c c Segue-se que: c2 = 50 c1 = 30 2 1 c c Coeficiente angular da função objetivo é -30/50 ou Exemplo 2 – Produção - Análise de Sensibilidade Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os coeficiente cj um de cada vez. 5 10 15 5 10 15 A B C D E x2 x1 F G Zinco: x1 + 2x2 < 11 Chumbo: x1 + 3x2 < 15 Sintetizando os limites da análise de sensibilidade: A solução permanece inalterada enquanto 10025 1 c 6015 2 c e 5050 30 12 Z xx Cobre: 2x1 + x2 < 16 Exemplo 2 – Produção - Análise de Sensibilidade Exemplo 2 - Produção Rel. Análise de Sensibilidade –Solver/Excel Células ajustáveis Valor Reduzido Objetivo PermissívelPermissível Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo $B$3 Variável decisória x1 7 0 30 70 5 $C$3 Variável decisória x2 2 0 50 10 35 Restrições Valor Sombra Restrição Permissível Permissível Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo $D$6 Cobre LE 16 3,333333333 16 6 6 $D$7 Zinco LE 11 23,33333333 11 1,2 3 $D$8 Chumbo LE 13 0 15 1E+30 2 (16 – 6) < Cobre < (16 + 6) --> 10 < Cobre < 22 (11 – 3) < Zinco < (11 + 1,2) --> 8 < Zinco < 12,2 (30 – 5) < c1 < (30 + 70) --> 25 < c1 < 100 (50 – 35) < c2 < (50 + 10) --> 15 < c2 < 60 Exemplo 3 – Modelo de PL Variáveis de Decisão x1 – quantidade de produto A x2 – quantidade de produto B Função Objetiva Max Z = 6x1 + 4x2 Restrições x1 + < 50 (1) Produção de A x2 < 100 (2) Produção de B 10x1 + 5x2 < 900 (3) Mão de obra 8x1 + 6x2 > 300 (4) Financeira Exemplo 3 - Solução Gráfica 50 100 150 200 50 100 150 200 C D A F E B x1 x2 0 (1) (2) (3) (4) 640 = 6x1 + 4x2 120 = 6x1 + 4x2 Max Z= 6x1 + 4x2 x1 < 50 (1) x2 < 100 (2) 10x1 + 5x2 < 900 (3) 8x1 + 6x2 > 300 (4) Conjunto de soluções viáveis: Polígono ABCDEF 225 0 37,5 F 300 0 50 E 620 80 50 D 640 100 40 C 400 100 0 B 200 50 0 A Z x2 x1 Pto 50 100 150 200 50 100 150 200 C D A F E B x1 x2 0 (1) (2) (3) (4) 6x1 + 4x2 = Z Girar até ser paralela à reta (3) 10x1 + 5x2 = 900 10x1 + 5x2 < 900 5 900 5 10 12 xx 4 1 2 1 2 Z x c c x Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade 50 100 150 200 50 100 150 200 C D A F E B x1 x2 0 (2) (4) 6x1 + 4x2 = Z 10x1 + 5x2 < 900 Girar até ser paralela à reta (3) 10x1 + 5x2 = 900 (3) 5 900 5 10 12 xx (1) 3 5 106 8 5 10 4 2 2 1 1 c c c c Segue-se que: C2 = 4 C1 = 6 5 10 2 1 c c 4 1 2 1 2 Z x c c x Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os coeficiente cj um de cada vez. Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular obrademãorestriçãodaxdeeCoeficient obrademãorestriçãodaxdeeCoeficient objetivafunçãodaxdeeCoeficient objetivafunçãodaxdeeCoeficient 2 1 2 1 3 5 106 8 5 10 4 2 2 1 1 c c c c A reta da função objetiva tornará paralela à reta da restrição mão de obra, se o coeficiente de x1 passar a ser igual a 8. Assim, a solução permanecerá válida enquanto o aumento do valor do coeficiente de x1 for < 2 (isto é, 8 – 6 = 2). A reta da função objetiva tornará paralela à reta da restrição produção B, se o coeficiente de x2 passar a ser igual a 3. Assim, a solução permanecerá válida enquanto o redução do valor do coeficiente de x2 for < 1 (isto é, 4 – 3 = 1). Restrição: 10x1 + 5x2 < 900 (Mão de obra (3)) Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade 50 100 150 200 50 100 150 200 C D A F E B x1 x2 0 (1) (2) (3) (4) 6x1 + 4x2 = Z 0x1 +1x2 < 100 Girar até ser paralela à reta (2) x2 = 100 4 1 2 1 2 Z x c c x 1 100 1 0 12 xxExemplo 3 - Análise de Sensibilidade 50 100 150 200 50 100 150 200 C D A F E B x1 x2 0 (1) (2) (3) (4) 0x1 +1x2 < 100 Girar até ser paralela à reta (2) x2 = 100 4 1 2 1 2 Z x c c x 6x1 + 4x2 = Z 2 2 1 1 1 06 0 1 0 4 c c c c C2 = 4 C1 = 6 Segue-se que: 1 100 1 0 12 xx 1 0 2 1 c c Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os coeficiente cj um de cada vez. Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade BdeproduçãorestriçãodaxdeeCoeficient BdeproduçãorestriçãodaxdeeCoeficient objetivafunçãodaxdeeCoeficient objetivafunçãodaxdeeCoeficient 2 1 2 1 2 2 1 1 1 06 0 1 0 4 c c c c Duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular Restrição: x1 < 100 (Produção de B(2)) Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade 50 100 150 200 50 100 150 200 C D A F E B x1 x2 0 (1) (2) (3) (4) 640 = 6x1 + 4x2 Sintetizando os limites da análise de sensibilidade: A solução permanece inalterada enquanto 80 1 c 23 c e Exemplo 3 - Análise de Sensibilidade Exemplo 3 - Preço Sombra 50 100 150 200 50 100 150 200 C D A F E B x1 x2 0 (1) (2) (3) (4) H Restrição 3 – Mão de obra 10x1 + 5x2 = 500 10x1 + 5x2 = 900 (b3) 10x1 + 5x2 = 1000 A restrição pode ser deslocada até os pontos B(0; 100) e H(50,100). 500 < Mão de obra < 1000 x2 < 80 0,6 sombra Preço 6,06406,640' 6,640)100(4)1,40(6' 1001,40 901510 100 21 21 2 ZZZ Z xx xx x (b3’ = b3 +1) Resolvendo para C’: 10x1 + 5x2 = 901(b3’) C’ Preço Sombra da Restrição Mão de obra Em vez de 900 horas, se tivermos 901 horas de mão de obra, o que irá acontecer com o valor da função objetiva? O novo valor será no ponto C’, que é a interseção das retas: 901510 100 21 2 xx x Resolvendo o sistema, temos x1 = 40,1 e x2 = 100. O novo valor da função objetiva (Z’) será: 6,640)100(4)1,40(6' Z 6,06406,640' ZZZ Assim, o aumento no valor da função objetiva será de: Este valor 0,6 é denominado preço sombra da restrição mão de obra. O preço sombra indica a variação no valor da função objetiva quando aumentarmos uma unidade o valor da restrição. Exemplo 3 - Preço Sombra Preço Sombra da Restrição Mão de obra Note-se que a reta da restrição mão de obra pode ser deslocada entre os pontos B e H. A coordenada do ponto B é x1 = 0 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da restrição mão de obra será: 10x1 + 5x2 = 500. A coordenada do ponto H é x1 = 50 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da restrição mão de obra será: 10x1 + 5x2 = 1000. Assim, a restrição mão de obra pode variar no intervalo: 500 < mão de obra < 1000 Em outras palavras, seu valor pode ser: aumentado até 100 (1000 – 900) e reduzido até 400 (900-500). Exemplo 3 - Preço Sombra 50 100 150 200 50 100 150 200 C D(50; 80) A F E B x1 x2 0 (1) (2) (3) (4) Restrição 2 – Produção de B G(0; 180) x2 = 100 (b2) 10x1 + 5x2 < 900 x2 = 180 x2 = 80 A restrição pode ser deslocada até os pontos D(50; 80) e G(0,180). 80 < Prod B < 180 Exemplo 3 - Preço Sombra 1 sombra Preço 1640641' 641)101(4)5,39(6' 1015,39 900510 101 21 21 2 ZZZ Z xx xx x (b2’ = b2 +1) Resolvendo para C’: C’ x2 = 101 (b2’) Células ajustáveis Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo $B$3 Variável decisória X1 40 0 6 2 6 $C$3 Variável decisória X2 100 0 4 1E+30 1 Restrições Valor Sombra Restrição Permissível Permissível Célula Nome Final PreçoLateral R.H. Acréscimo Decréscimo $D$6 Produção A LE 40 0 50 1E+30 10 $D$7 Produção B LE 100 1 100 80 20 $D$8 Mão de Obra LE 900 0,6 900 100 400 $D$9 Nat Financeira LE 920 0 300 620 1E+30 Rel. Análise de Sensibilidade –Solver/Excel Exemplo 3 - Preço Sombra
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