Cálculo Numérico Aula 4

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 4 
 
 
 
Prof. Luan de Campos Corrêa, M.Sc. 
22/08/2016 2 
Métodos numéricos para encontrar raízes de funções reais 
• A ideia central destes métodos numéricos é partir 
de uma aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde imaginamos a raiz 
estar contida) 
e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo. 
• Por isso, os métodos se dividem em duas fases: 
• Fase I: localização ou isolamento das raízes, 
que consiste em obter um intervalo que contém a raiz. 
• Fase II: refinamento, 
que consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo 
encontrado na Fase I, 
melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação 
para a raiz dentro de uma posição 𝜀 prefixada. 
 
 
 
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Fase I: Isolamento das raízes 
• Na análise teórica usamos frequentemente o teorema: 
 
 Seja 𝑓(𝑥) uma função contínua num intervalo [𝑎, 𝑏]. 
 
 Se 𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑏 < 0 então existe pelo menos um ponto 𝑥 = ξ entre [𝑎, 𝑏] 
 que é zero de 𝑓(𝑥). 
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Das aulas passadas... 
• Método da Bissecção 
𝑥𝑛 =
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
2
 
 
• Método da Falsa Posição 
𝑥𝑛 =
𝑎𝑛. 𝑓 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛. 𝑓 𝑎𝑛
𝑓 𝑏𝑛 − 𝑓 𝑎𝑛
 
 
• Método do Ponto Fixo 
𝑥𝑘+1 = 𝜑 𝑥𝑘 
onde 𝜑 𝑥𝑘 é uma função auxiliar gerada a partir de 𝑓 𝑥𝑘 e que 𝜑 𝑥𝑘 = 𝑥 
 
 
 
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Da aula passada... 
Método da Falsa Posição 
• Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 5𝑥 + 0,1 utilizando o método da 
falsa posição, intervalo inicial [-2,0 ; -3,0] e critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,05. 
 
 
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Da aula passada... 
Método do Ponto Fixo 
• Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑥 utilizando o método do ponto 
fixo, adotando como aproximação inicial para a raiz 𝑥𝑜 = 1 e critério de 
parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,1. 
 
 
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Fase II: Refinamento da raiz 
 
 
Método de Newton-Raphson 
 
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Método de Newton-Raphson 
• Seja ξ a única raiz de 𝑓 𝑥 = 0 no intervalo [a,b] e 𝑥𝑘 uma aproximação desta 
raiz, sendo 𝑥0  [a,b]. 
 
• Além disso, as derivadas 𝑓′ 𝑥 e 𝑓′′ 𝑥 devem existir, ser contínuas e com sinal 
constante neste intervalo. 
 
• Geometricamente o método de Newton é equivalente a 
aproximar um arco de curva por uma reta tangente 
traçada a partir de um ponto da curva, 
o que faz com que ele seja conhecido também como o método das tangentes. 
 
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Método de Newton-Raphson 
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Método de Newton-Raphson 
tan 𝛼 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
tan 𝛼 =
𝑓(𝑥0)
𝑥0 − 𝑥1
= 𝑓′(𝑥0) 
𝑓 𝑥0 = 𝑥0 − 𝑥1 . 𝑓′(𝑥0) 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0) 
 
 
 tan 𝛽 =
𝑓(𝑥1)
𝑥1 − 𝑥2
= 𝑓′ 𝑥1 
𝑓(𝑥1) = 𝑥1 − 𝑥2 . 𝑓′(𝑥1) 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1) 
 
 
 
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Método de Newton-Raphson 
A generalização das 
expressões fornece a 
fórmula de recorrência do 
método de Newton: 
 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘) 
 
 
𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 
 
 
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Método de Newton-Raphson 
• Para garantirmos a convergência do método devemos garantir: 
 
• 𝑓′(𝑥) e 𝑓′′(𝑥) sejam não nulas e preservem o sinal em [a,b], 
 
• E 𝒙𝟎 seja tal que 𝒇(𝒙𝟎).𝒇
′′ 𝒙𝟎 > 𝟎. 
 
 
 
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Método de Newton-Raphson 
• Teorema: 
• Se 𝑓(𝑎).𝑓 𝑏 < 0, 
 
• Se 𝑓′(𝑥) e 𝑓′′ 𝑥 forem não nulas e preservarem o sinal em [a,b], 
 
• Então, partindo-se da aproximação inicial com um 𝑥0  a, b tal que 
𝑓(𝑥0).𝑓
′′ 𝑥0 > 0, 
 
• É possível construir uma sequência {𝑥𝑘} que converge para a raiz  de 
𝑓(𝑥). 
 
 
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Método de Newton-Raphson 
• Critérios de parada: 
 
• Normalmente encontramos de duas maneiras: 
 
• Dada por um determinado valor de precisão (ℇ): 
Em que 𝑓(𝑥𝑘+1) ≤ ℇ 
 
• Dada pela diferença entre 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘: 
 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ≤ 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 
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Método de Newton-Raphson 
• Resolução (considerando um intervalo [a,b]): 
 
1. 𝑓 𝑥 contínua no intervalo. 
 
2. 𝑓′(𝑥) e 𝑓′′(𝑥) também devem ser contínuas e manter o sinal no intervalo 
considerado. 
 
3. A escolha de 𝑥0 deve ser tal que 𝑓(𝑥0).𝑓
′′ 𝑥0 > 0. 
 
4. Fazer 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘) 
 até atingirmos o critério de parada. 
 
 
 
 
 
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Método de Newton-Raphson 
1) Dada a equação 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0, determinar uma aproximação para a 
raiz real que atenda a precisão de 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ≤ 10
−4. Usar uma aproximação 
inicial de 𝑥0 = 1. 
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Método de Newton-Raphson 
2) Calcular a primeira raiz negativa de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0 utilizando 
como critério de parada 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ≤ 10
−5. 
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Método de Newton-Raphson 
3) Ache a raiz de 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + ln (𝑥) − 5 = 0, utilizando como critério de parada 
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ≤ 10
−5. A raiz desta função está no intervalo [1 ; 2], a partir deste 
intervalo encontre a estimativa inicial. 
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Método de Newton-Raphson 
I. Encontrar a derivada primeira e a derivada segunda da função. 
 
II. Verificar se 𝑓(𝑥0).𝑓
′′ 𝑥0 > 0. 
 
III. Encontrar a função de recorrência 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘) 
 
 
IV. Fazer 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘) 
 até atingirmos o critério de parada.