md_aula15_2014_1

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Exemplo 5.13 
 
Encontrar a função geradora para 2r 3r2ra += . 
 
Solução 
 
 Como vimos, a função geradora para r)(a r = é 
 
2
x)(1
x
−
 
 
e para )r(a 2r = a função geradora é 
 
3x)(1
x)x(1
−
+
 . 
 
Pelo teorema 5.1, 
 
32 x)(1
x)x(13
x)(1
x2
−
+
+
−
 . 
 
 
 Vimos que o número de soluções em inteiros não-negativos para a equação 
 
px...xx n21 =+++ 
 
é igual a p 1pnC −+ . A função geradora para esse problema é 
 
n
n432
)x(1
1
...)xxxx(1
−
=+++++ . 
 
O teorema que segue nos permite identificar que o coeficiente de px nessa 
função é p 1pnC −+ . 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 5.2 
 
...x
!r
1)r)...(u1u(u
...x
!3
)2)(u1u(u
x
!2
)1u(u
ux1x)(1 r32u ++−−++−−+−++=+
 
e, se denotarmos por 
 




=
>
+−−
=





0r, 1
0r, 
!r
1)r)...(u1u(u
r
u
 
 
teremos 
 
 
r
0r
u
x
r
u
x)(1 ∑
∞
=






=+ , (5.4) 
 
para 1|x| < . 
 
 
 
Observações 
 
 
i - →





r
u
coeficiente binomial generalizado 
 
 
ii – *Zn n,u +∈= , →





r
u
coeficiente binomial usual 
 
 
iii – u é um número real arbitrário 
 
 
 
Teorema 5.3 
 
 O coeficiente de px na expansão de 
 
n432
...)xxxx(1 +++++ 
 
é igual a 
 
p
1pnC −+ . 
 
Demonstração 
 
 Sabemos que 
 
n
n
n432 )x(1
x1
1
...)xxxx(1 −−=





−
=+++++ . 
 
Substituindo em (5.4), vem que 
 
 
rr
0r
r
0r
n
x)1(
r 
n
x)(
r 
n
x)(1 −




−
=−




−
=− ∑∑
∞
=
∞
=
−
 . 
 
 
Utilizando a definição de coeficiente binomial ( xx −→ , nu −→ ), 
 
 
p!
1)1)(pn2)...(n1)(nn)(()1(
r 
n pp −+−−−−−−−
=−




−
 
 
 
 
p!
1)1)(p2)...(n1)(n(n)(n1)( pp −−+++−
= 
 
 
 
p!
1)p2)...(n1)(n(n)(n −+++
= 
 
 
 
1)!(np!
1)!1)n(n2)...(np1)(np(n
−
−+−+−+
= 
 
 
 
1)!(np!
1)!p(n
−
−+
= 




 −+
=
p 
1pn
 . 
 
Exemplo 5.14 
 
Mostrar que a função geradora ordinária para a seqüência 
 
 






























r
2r
,...,
3
6
,
2
4
,
1
2
,
0
0
 
 
 
é 2/14x)(1 −− . 
 
Solução 
 
 De (5.4) ( 4xx −→ , 1/2u −→ ), temos 
 
=−
− 2/1)x41( ∑
∞
=
−










−
0r
rx)4(
r 
2
1
 
 
 
 ∑
∞
=
−
+−−−−−−−
+=
1r
rrr x41)(
r!
1)r1/22)...(1/21)(1/21/2)((1 
 
 
 ∑
∞
=
−
+=
1r
r
r
x
r!
1)/2)2r(5/2)...(((1/2)(3/2)41 
 
 
 ∑
∞
=
−⋅⋅⋅⋅
+=
1r
r
r
r x
r!2
1)(2r...53141 
 
 
 ∑
∞
=
−⋅⋅⋅⋅
+=
1r
rr x
r!r!
1)r!(2r...53121 
 
 
 ∑
∞
=
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
+=
1r
rx
r!r!
r)2...641))(2(2r...53(11 
 
 
 ∑
∞
=
+=
1r
rx
r!r!
r)!2(1 
 
 
 ∑
∞
=






+=
1r
rx
r
2r
1