projeto controle II - Discretização

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
 PROJETO DE UM CONTROLADOR PI E PID NO TEMPO DISCRETO
DISCIPLINA: CONTROLE II
DISCENTE: LEILA MOREIRA E YASMIN BÁRBARA
DOCENTE: Dr. MANOEL SOBRINHO
Juazeiro – BA
2018
INTRODUÇÃO
Sistemas de controle em tempo discreto envolvem a discretização de uma ou mais variáveis do processo de controle. Normalmente, a implementação de um sistema de controle em tempo discreto envolve a utilização de um computador em conjunto com uma placa de aquisição de dados para a implementação do controlador. Sendo assim, está implícito no método que ocorra pelo menos uma passagem do tempo contínuo para o tempo discreto, denominada discretização ou amostragem do sinal, e uma passagem do tempo discreto para o tempo contínuo, chamada de reconstrução.
O método do lugar das raízes consiste basicamente em levantar a localização dos polos de um sistema em malha fechada em função da variação de um parâmetro, é um método poderoso de análise e projeto para a estabilidade e a resposta transitória podendo ser utilizado para descrever qualitativamente o desempenho de um sistema à medida que diversos parâmetros são alterados.
OBJETIVO
Projetar um controlador PI e um controlador PID discretos, para o sistema descrito pela função de transferência dada abaixo, para atender aos seguintes requisitos: 
Erro de posição nulo;
Sobre sinal menor ou igual a 5%;
Tempo de estabelecimento menor que 5s ou o menor possível;
Tempo de amostragem 0,1s.
PROCEDIMENTO GERAL 
Inicialmente é necessário realizar o mapeamento da função de transferência do plano s para o plano z. Essa discretização é feita por meio da aplicação transformada Z sobre , e é dada por: 
Essa última equação corresponde então à função de transferência discreta da planta na qual se deseja estabelecer o controle. O lugar das raízes de é obtido com o auxílio do software MATLAB e pode ser observado na Figura 1.
Figura 1. Lugar das raízes planta
Através dos requisitos de projeto estipulados pode-se determinar os polos dominantes de malha fechada. Considerando como modelo um sistema padrão de segunda ordem, bem como o critério de 2% tem-se:
A partir do valor requerido para o sobre sinal Mp, o coeficiente de amortecimento ξ pode ser calculado da seguinte forma:
 → ξ=0,6901
Obtido o valor do ξ outros parâmetros do sistema podem ser calculados:
 → ωn > 1,1594 rad/s
σ = ξ ωn =0,8
 → = 0,7237
Diante disso, podemos fazer o mapeamento do polo continuo para o discreto, adotando um tempo de mapeamento de T=0,1 segundos, da seguinte maneira:
Muito frequentemente, os polos dominantes apresentam-se sob a forma de um par complexo conjugado, sua presença em um sistema reduz o efeito de certas não linearidades. Portanto, para que o sistema atenda aos requisitos esperados é necessário que o lugar das raízes da planta atravesse esse polo. A função tanto do controlador PI quanto do controlador PID é operar essa modificação, por meio da alocação de polos e zeros.
CONTROLADOR PI
O controlador PI é um compensador de atraso caracterizado pela seguinte função de transferência: 
Para encontrar o erro de posição nulo, o polo do controlador é definido em 1, ou seja, . Dessa maneira, nos resta determinar a posição do seu zero “a” e do ganho “Kc”. O zero do controlador é obtido através da condição de ângulo que segue:
Agora que já temos o ângulo , é possível calcular a sua distância “a”. Pela análise do root locus, percebemos que o zero tem que está situado a direita do zero da planta de modo a neutralizar o ramo entre o polo em 1 e o zero em 1.117. Assim:
O ganho do controlador é determinado por meio da condição de módulo:
Substituindo z por encontramos o valor de kc:
Por fim, o controlador pode ser expresso da seguinte forma:
Após a multiplicação de e , podemos determinar o seu root locus e verificar a estabilidade do sistema, como pode ser visto na Figura 2:
 Figura 2. Lugar das raízes do sistema para 5s.
Como podemos perceber para o tempo de 5s o sistema não gera lugar das raízes passando pelos polos de malha fechada. Isso pode ser justificado, pois estamos usando para os cálculos o modelo padrão de segunda ordem, bem como o fato que um controlador PI dificilmente possui um tempo de estabilização menor ou igual a 5s. 
Porém, após vários testes e ajustes de qual o melhor tempo para base de cálculo, consideramos um tempo de estabilização de 9,8s e realizamos o mesmo procedimento anteriormente descrito. 
Para esse tempo obtivemos um polo dominante de malha fechada dado por , e depois de realizada a condição de ângulo encontramos a posição do zero do controlador em uma localização que confere com as especificações almejadas. Além disso, determinamos o ganho do controlador que corresponde a 
Logo, o controlador pode ser representado por:
 
O gráfico do lugar das raízes para o controlador PI com o zero e o polo alocados é apresentado na Figura 3.
Figura 3. Lugar das raízes do sistema para 9,8s.
Ao analisar o gráfico do lugar das raízes da Figura 3 e baseado nos conhecimentos sobre controladores PI, temos que a resposta da planta do sistema condicionada ao controlador com as características descriminadas anteriormente possui pouca estabilidade já seu lugar das raízes está quase fora do círculo unitário. 
O diagrama de blocos do sistema com controlador PI é mostrado na Figura 4.
Figura 4. Diagrama de blocos do sistema projetado com PI.
A resposta do sistema projetado com o controlador PI à entrada degrau unitário apresentou um sobressinal igual a 1,64% e um tempo de estabelecimento de 8,8s, atendendo aos critérios impostos ao projeto almejado, Figura 5.
Figura 5. Resposta do sistema com o controlador PI à entrada degrau unitário.
Sabemos que a melhora dos resultados de um sistema com controlador PI pode ser feita de duas maneiras: com o ajuste de ganho e com o deslocamento do zero do controlador. Com isso, para obtermos a resposta ao degrau da Figura 5, primeiro efetuamos uma diminuição do ganho do controlador de para 0,0500 e um deslocamento para a direita do zero de para 3,165, de forma conseguir um lugar das raízes em uma faixa satisfatória e obter um sobressinal realizável e um tempo de estabelecimento pequeno.
CONTROLADOR PID 
O controlador PID é uma combinação dos controladores PD e PI. Ele é um compensador do tipo atraso e avanço de fase. A ação de controle PI ocorre na região de baixa frequência e a ação de controle PD ocorre na região de alta frequência. O controlador PID pode ser usado quando o sistema requer melhorias no desempenho transitório e no desempenho em regime estacionário. A função de transferência do controlador PID é dada por: 
De acordo com o lugar das raízes da planta, para que ele possa passar pelos polos dominantes de malha fechada , optou-se por fazer as seguintes alocações:
Um polo em 1 para garantir que o erro de posição seja nulo (c =1);
Um polo na origem equivalente a um polo distante em s (d =0);
Um zero do controlador a uma distância de 5% do polo da planta mais próximo à esquerda do polo de malha fechada (.
O outro zero do controlador é obtido através da condição de ângulo que segue:
Agora que já temos o ângulo , é possível calcular a sua distância “a”. Pela análise do root locus, percebemos que o zero tem que está situado a direita do zero da planta de modo a neutralizar o ramo entre o polo em 1 e o zero em 1.117. Assim:
O ganho do controlador é determinado por meio da condição de módulo:
Substituindo z por encontramos o valor de kc:
Por fim, o controlador pode ser expresso da seguinte forma:
Após a multiplicação de e , podemos determinar o seu root locus e verificar a estabilidade do sistema, como pode ser visto na Figura 6:
Figura 6. Lugar das raízes do sistema para 5s.Ao analisar o gráfico do lugar das raízes da Figura 6, temos que a resposta da planta do sistema condicionada ao controlador PID possui maior estabilidade quando comparada ao PI, já seu lugar das raízes está boa parte dentro do círculo unitário. 
O diagrama de blocos do sistema com controlador PI é mostrado na Figura 7. 
Figura 7. Diagrama de blocos do sistema projetado com PID.
A resposta do sistema projetado com o controlador PID à entrada degrau unitário apresentou um sobressinal acima de 5% e um tempo de estabelecimento de 9,5, atendendo aos critérios impostos ao projeto almejado, Figura 8.
Figura 8. Resposta do sistema com o controlador PID à entrada degrau unitário para 5s.
Ao analisar o gráfico da Figura 8, foram propostas melhorias ao controlador através da realocação do zero do controlador. Então o zero foi alocado de maneira que atenuasse o efeito do polo existente em z = 0.4, alocando o lugar das raízes para uma faixa satisfatória onde obtivesse um sobressinal realizável e um tempo de estabelecimento pequeno. Inseriu-se o zero em z = 0.85, no entorno do polo supracitado,
 Figura 9. Resposta do sistema com o controlador PID à entrada degrau unitário para 6s.
A resposta do sistema projetado com o controlador PI à entrada degrau unitário apresentou um sobressinal igual a 1,64% e um tempo de estabelecimento de 8,8s, atendendo aos critérios impostos ao projeto almejado, Figura 5.
Ajuste de ganho para 0.06
ESFORÇO DE CONTROLE
A informação de entrada para o controlador é o erro entre o set-point e o valor real da variável de saída do processo. O esforço do controlador sempre será o de diminuir esse erro, mantendo a variável de saída do processo sob controle, motivo pelo qual ela é também denominada variável controlada.
O esforço de controle adequou-se as necessidades de projeto, contata-se algumas variâncias iniciais, porém o tempo transitório é de curto período e o controlador mostra-se eficaz apresentando uma resposta satisfatória. O esforço de controle do sistema com o controlador PI é apresentado na Figura 10 e o PID na Figura 11.
Figura 10. Esforço de controle do controlador PI.
Figura 11. Esforço de controle do controlador PID.
COMPARAÇÃO PI E PID
Comparando a saída do controlador PI com o controlador PID no tempo discreto e ver a diferença entre eles, Figura 12.
Figura 12. Comparação entre a saída com controlador PI e a com controlador PID. 
O controlador PI discreto teve um tempo de estabilização de 8,8 s e o controlador PID teve um te de 5.9 s, essa diferença é vista acima, onde a curva vermelha (PID) estabiliza em torno de 6 segundos e a curva azul (PI) com quase 9 segundos. Logo o PID se mostrou um controlador que faz com que a planta entre no regime de estabilidade em um menor tempo significativamente menor, quando comparado com o PI.
VARIAÇÃO DO PERIODO DE AMOSTRAGEM
Para um sistema no plano Z, sabe-se que para que este sistema seja estável, os polos dominantes devem estar inseridos na esfera unitária. Desta forma, utilizando o controlador PI, verificou-se que a alteração do período de amostragem realoca os polos dominantes, influenciando diretamente na estabilidade do sistema.
Fez-se dois testes para comprovar essa conjectura: Utilizando Tempo de amostragem igual a 0.1s, como solicitado no projeto, e alterando para 0.2s. A Figura 13 apresenta o lugar das raízes para um tempo de amostragem de 0.1s e 0.2s.
(a)
(b)
Figura 13 – (a) Lugar das raízes para T=0,1s e (b) lugar das raízes para T=0,2s
Fez-se também a análise pelo Simulink, para verificar como seria a resposta do sistema. A Figura 14 exibe estes resultados, onde a curva em azul trata-se do nosso controlador PI para um tempo de amostragem de 0.1s e a curva em vermelho com o tempo de amostragem de 0,2s. Verifica-se que a curva em vermelho demandou mais tempo para que entrasse em regime permanente. De fato, é notória a influência no tempo de amostragem no processo de estabilização do sistema.
Figura 14. Comparação entre tempos de amostragem. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após experimentação e estudos das respectivas configurações, tornou-se notório que se trata de uma planta cujo controle é difícil e limitado. Buscou-se concatenar as melhores condições de operacionalidade e um, relativo, atenuado esforço de controle. Foi observado que reduzido o máximo sobressinal o tempo de acomodação se estendia por um longo período acarretando em um sistema lento e de pouca responsividade e vice-versa. Foi optado por um sistema no qual fosse rápido e com um sobressinal significante, tendo em consideração que na implementação a planta deverá suportar tal amplitude máxima de sinal. Apesar de tais dificuldades, os controladores PI e PID projetados foram satisfatórios, atendendo de maneira coercitiva melhorias para com a planta. 
Ao analisarmos o gráfico de comparação das respostas dos sistemas com os controladores PI e PID, figura 12, perebeu-se que o controlador PID apresentou resultados significamente melhores, conforme esperado, pois resultou num tempo de acomodação e sobressinal menores que o sistema com controlador PI. Contudo vale salientar que ambas as plantas, com controlador PI e controlador PID, apresentaram um sobressinal relativamente alto, inferindo que nos dois casos deve-se ter por conseguinte uma planta que suporte tais níveis de variação.