Resumão - Cálculo 1 (Introdução)

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Cálculo Diferencial 
e Integral
Capítulo – 1
Introdução
Bibliografia: Geraldo Ávila
James Stewart
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1.1 Desigualdades
 A representação geométrica dos números reais 
sugere que estes podem ser ordenados. 
 Usando os símbolos usuais para maior 
(>),maior ou igual (≥),menor (<),menor ou igual 
(≤), podemos ver, por exemplo, que se a, b  R 
e a < b, então b − a > 0; 
 no eixo coordenado temos que a está à
esquerda de b. 
 Para todo a, b  R temos: ou a > b, ou a < b, ou 
a = b.
1.2 Intervalos
 Muitos subconjuntos de R são definidos 
através de desigualdades. Os mais 
importantes são os intervalos.
 Sejam a, b  R tais que a < b.
1.2 Intervalos
 Intervalo aberto de extremidades a e b, 
denotado por (a, b) é definido por:
1.2 Intervalos
 Intervalo fechado de extremidades a e b, 
denotado por [a, b] é definido por:
1.2 Intervalos
 Intervalo semi-aberto e intervalo semi-
fechado, são denotados e definidos, 
respectivamente, por:
1.2 Intervalos
 Os quatro intervalos assim definidos são ditos 
limitados. Introduzindo os símbolos −∞ e +∞, os 
quais não são números reais, podemos definir os 
intervalos ilimitados:
 Note que R = (−∞,+∞). Os intervalos aparecem de 
forma natural na resolução de inequações, pois, a 
solução é, em geral, dada por um intervalo ou 
uma reunião de intervalos.
Desigualdades Lineares
 Determinemos o conjunto-solução de:
 a x + b ≥ 0 é equivalente a a x ≥ −b; logo:
 Se a > 0, x ≥ −b/a; o conjunto-solução é
 Se a < 0, x ≤ −b/a; o conjunto-solução é
Desigualdades Quadráticas
 Seja a x2 + b x + c = 0 a equação de 
segundo grau. 
 Denotemos por  = b2 − 4 a c o 
discriminante da equação e ,  as raízes 
reais da equação ( ≤ ). O conjunto-
solução S de uma desigualdade quadrática 
depende do sinal de a e de  .
Desigualdades Quadráticas
 Para  > 0. 
 Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 
tem conjunto-solução (−∞, ] U [,+∞) e 
a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução [, ]
 Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 
tem conjunto-solução [, ] e 
a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução 
(−∞, ] U [,+∞) .
 Para  = 0. 
 Se a > 0, a desigualdade 
a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e 
a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução {}.
 Se a < 0, a desigualdade 
a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução {} e 
a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução R.
Desigualdades Quadráticas
 Para  < 0. 
 Se a > 0, a desigualdade 
a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e 
a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução 0.
 Se a < 0, a desigualdade 
a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução 0 e 
a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução R.
Desigualdades Quadráticas
Exemplo 1.1
 [1] Ache a solução de: x3 < x. Fatorando
x3 − x = x (x + 1) (x − 1); então, x3 − x < 0 é
equivalente a x (x + 1) (x − 1) < 0, da qual 
obtemos x < −1 ou 0 < x < 1.
 O conjunto-solução é:
 S = (−∞,−1) U (0, 1).
Exemplo 1.1
 [2] Ache a solução de:
 (3 x − 2 / x + 2) ≥ 5.
 Note que a desigualdade não é equivalente a 
3 x−2 ≥ 5 (x+2). 
 Se x+2 > 0, isto é x > −2; então, 3 x−2 ≥ 5 (x+2), 
donde obtemos x ≤ −6. 
 Se x+2 < 0, isto é x < −2; então, 3 x−2 ≤ 5 (x+2), 
donde obtemos x ≥ −6. 
 Logo, o conjunto-solução é: S = [−6,−2).
Exemplo 1.1
 [3] Ache a solução de:
 Resolvemos
 (x + 2 / x − 1) − (x / x + 4) ≤ 0, que é
equivalente a
 (7 x + 8) / (x − 1) (x + 4) ≤ 0, da qual 
obtemos −(8 / 7) ≤ x < 1 ou x < −4. 
 Logo, o conjunto-solução é:
 S = (−∞,−4) U ( −8/7 , 1).
1.3 Valor Absoluto
 O valor absoluto ou módulo de um número real a, 
denotado por |a| é definido como o maior número 
do conjunto {a, −a}, ou equivalentemente:
 |a| = {a se a ≥ 0} ou {−a se a < 0}.
 Observe que o valor absoluto de um número real 
é sempre não negativo e possui as seguintes
 propriedades imediatas. Sejam a, b  R; então:
 1. √a2 = |a|, para todo a  R
 2. |b| < a se, e somente se b  (−a, a), a > 0
 3. |a · b| = |a| · |b|
 4. |b| ≥ a se, e somente se b ≥ a ou b ≤ −a, a > 0
 5. |a/b| = |a| / |b|, se b  0
 6. |a + b| ≤ |a| + |b|.
 7. |y| < r, logo –r < y < r
 8. |y| ≥ 1 , y ≤ -1 ou y ≥ 1
1.3 Valor Absoluto
Exemplo 1.2
 [1] Achar a solução de: |x2 − x + 1| > 1.
 Pelas propriedades anteriores, |x2−x+1| > 1 é
equivalente a: x2−x+1 > 1 ou x2−x+1 < −1.
 Se x2−x+1 > 1, então x (x−1) > 0 e x < 0 ou x > 1; 
 se x2−x+1 < −1, então (x−1/2)2 + 7/4 < 0,
 o que é impossível. O conjunto-solução é:
 (−∞, 0) U (1,+∞).
Exemplo 1.2
 [2] Achar a solução de: |9 − 2 x| ≥ |4 x|.
 Pela propriedades anteriores, |9−2 x| ≥ |4 x| é
equivalente a: 9−2 x ≥ |4 x| ou 9−2 x ≤ −|4 x|;
 Se 9 − 2 x ≥ |4 x|, então 2 x − 9 ≤ 4 x ≤ 9 − 2 x; 
logo, −9/2 ≤ x ≤ 3/2.
 Se 9−2 x ≤ −|4 x|, então 9−2 x ≤ 4 x ≤ 2 x−9, que 
não possui solução. O conjunto-solução é:
 [−9/2,3/2].
1.3.1 Distância
 Usando o valor absoluto podemos definir a 
distância entre dois números reais. A 
distância entre os números reais a e b é
|a − b|. Então |a| é a distância de a à
origem.
Exemplo 1.3
 [1] A distância entre os números  e −  é
|  - (−) | = 2 .
 [2] A distância entre os números −5 e −2 é
| − 5 − (−2) | = | − 3| = 3 e a distância entre 
os números 6 e −1 é |6 − (−1)| = 7.
 [3] A distância entre os números −1/5 e 
2/3 é: | −1/5 −2/3 | = | −13 / 15 | = 13/15.
1.4 Plano de Coordenado
 Um par ordenado de números reais é uma dupla 
de números reais (x, y), tais que (x, y) = (y, x) se, 
e somente se x = y. O elemento x do par 
ordenado é chamado primeira coordenada do par 
e y é chamado a segunda coordenada do par. 
 De forma análoga à representação geométrica 
dos números reais, podemos representar 
geometricamente os pares ordenados. 
 Para isto consideramos duas retas, que por 
conveniência impomos que se intersectem 
perpendicularmente.
 A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo 
dos x e a reta vertical é chamada eixo das ordenadas ou 
eixo dos y. 
 A interseção das retas é chamada origem, à qual 
associamos o par (0, 0) e atribuímos sentidos a estas 
retas, que descrevem um plano, chamado plano 
coordenado. As quatros regiões determinadas no plano 
por estas retas são chamadas quadrantes. 
 A representação de um par ordenado como um ponto do 
plano ( e reciprocamente), é feita de forma análoga a do 
eixo coordenado.
1.4 Plano de Coordenado
 Por exemplo, os seguintes pontos:
 A = (1, 2), B = (−2, 1), C = (−2,−1), e
D = (1,−2), tem a seguinte representação no plano 
coordenado:
1.4 Plano de Coordenado
 Usando o teorema de Pitágoras podemos 
definir a distância entre dois pontos do plano 
coordenado. Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) 
pontos do plano. A distância d entre A e B é: 
1.4 Plano de Coordenado
 A distância possui as seguintes 
propriedades imediatas.
 Proposição 1.1. Sejam A, B e C pontos do 
plano, então:
 1. d(A,B) ≥ 0 e d(A,B) = 0 se, e somente se 
A = B.
 2. d(A,B) = d(B,A).
 3. d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).
1.4 Plano de Coordenado
Exemplo 1.4
 [1] Calcule a distância entre os pontos 
 A = (2,−3) e B = (−2, 1).
 Aplicando a fórmula:
 d(A,B) = [(−2 − 2)2 + (1 − (−3))2 ]1/2
 d(A,B) = (32)1/2
 [2] Determine o ponto Q, que divide na 
razão 3/4 o segmento de reta que liga os 
pontos (−4,−1) e (12, 11).
 Sejam P = (−4,−1), R = (12, 11) os pontos 
dados, Q = (x, y) o ponto procurado e S = 
(x,−1), T = (12,−1) pontos auxiliares como 
no desenho:
Exemplo 1.4
 Os triângulos PQS e PRT são semelhantes; 
logo:
 Por outro lado
Exemplo 1.4
Exemplo 1.4
 Aplicando a fórmula da distância, temos
que: 
 d(P, S) = x +4, d(Q, S) = y + 1 e 
 d(R, T) = 12.
 Obtemos o sistema:
 que tem como solução: x = y = 8;
 logo Q = (8, 8).
1.5 Equação da Reta
 1.5.1 Equação Geral da Reta
 Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos 
distintos no plano:
 A equação da reta que passa pelos pontos P1 e 
P2 é: a x + b y + c = 0 ; 
 onde a = y1 − y2, b = x2 − x1 e c = x1y2 − x2y1. 
 Se a = 0 a reta é horizontal; se b = 0 a reta é
vertical. O ponto P0 = (x0, y0) pertence à reta
 a x + b y + c = 0 se a x0 + b y0 + c = 0.
1.5 Equação da Reta
 [1] Ache a equação da reta que passa 
pelos pontos P1 = (−1, 3) e P2 = (2,−4).
 Neste caso: a = 3 + 4 = 7, b = 2 + 1 = 3 e 
 c = −2; logo, a equação é: 7 x + 3 y − 2 = 0.
Exemplo 1.5
Exemplo 1.5
Exemplo 1.5
 [2] Determine k tal que o ponto P = (3, k) 
pertença à reta 3 x + 5 y − 12 = 0.
 O ponto P = (3, k) pertence à reta 
 3 x + 5 y − 12 = 0 se, e somente se 3 · 3+ 5 
· k − 12 = 0; logo, k = 3 / 5.
Exemplo 1.5
1.5.2 Equação Reduzida da Reta
 Se uma reta não é paralela ao eixo dos y, 
então b  0. Fazendo: 
 m = (y2 − y1) / (x2 − x1) e 
 n = (x2y 1 − x1 y2) / (x2 − x1) , 
 obtemos a equação reduzida da reta: 
 y = m x + n.
 m é chamado coeficiente angular da reta e 
n coeficiente linear da reta. 
 É fácil ver que a equação da reta que 
passa pelo ponto P0 = (x0, y0) e tem 
coeficiente angular m é:
 y − y0 = m (x − x0)
1.5.2 Equação Reduzida da Reta
Exemplo 1.6
 [1] Obtenha a equação reduzida da reta 
que passa pelos pontos P1 = (2, 1) e P2 = 
(6, 5).
 Neste caso: m = 1 e fazemos P0 = P1 ou P0
= P2; então, se x0 = 2 e y0 = 1, temos, 
y−x+1 = 0 ou y = x − 1.
Exemplo 1.6
 [2] Escreva na forma reduzida a equação: 
4 x + 2 y + 5 = 0.
 A forma reduzida é do tipo y = mx + n; 
então, 
 y = −2 x − 5/2
Exemplo 1.6
1.5.3 Paralelismo e 
Perpendicularismo de Retas
 Sejam y = m1 x + n1 e y = m2 x + n2 as equações 
de duas retas. As retas são paralelas se, e 
somente se:
 m1 = m2.
 As retas são perpendiculares se, e somente se:
 m1 · m2 = −1.
 Logo, as retas de equações a1 x + b1 y + c1 = 0 e 
a2 x + b2 y + c2 = 0 são perpendiculares, se, e
 somente se: a1 a2 + b1 b2 = 0
Exemplo 1.7
 [1] Ache o valor de k tal que as retas:
 (a) y − [(2 + k) x / (2 − k)] = 1 e y − 3 x + [(k − 2) / 
(k + 2)] = 0 sejam paralelas.
 (b) k y = x + k3 e y − 1 = 2 k2x sejam 
perpendiculares. 
 (a) As retas são paralelas se os coeficientes 
angulares são iguais; logo, (2 + k) / (2 − k)= 3; 
donde k = 1.
 (b) As retas são perpendiculares se: 
(1/ k) · (2 k2) = −1; donde k = −1/2.
Exemplo 1.7
 [2] Determine a reta que passa pelo ponto 
de interseção das retas 2 x−3 y+7 = 0 e 5 
x+y+9 = 0 e é perpendicular a 2 x − y + 1 = 
0.
 Primeiramente, determinemos o ponto de 
interseção das retas, resolvendo o sistema:
 2 x − 3 y = −7
 5 x + y = −9
Exemplo 1.7
 Obtemos o ponto (−2, 1). A reta que 
procuramos tem equação y = m2 x+b tal 
que m1·m2 = −1, onde m1 = 2 é o 
coeficiente angular da reta 2 x−y+1 = 0; 
logo, m2 = −1/2 e y = −x/2 + b. 
 Como a reta passa por (−2, 1), a reta 
procurada é x + 2 y = 0.
Exemplo 1.7
Exemplo 1.7