Exercícios - Derivadas Parciais

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UEPB – Universidade Estadual da Paraíba 
 
 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 Professores: Onildo Freire 
 
4ª Lista de Exercícios – Unidade I – Derivadas Parciais 
 
1. Se 
)(ln)(cos yxyxw 
, mostre que 
0
2
2
2
2

yd
wd
xd
wd
. 
 
2. Se 
zezyxf yx 5cos),,( 43  
, mostre que 
0
2
2
2
2
2
2

zd
fd
yd
fd
xd
fd
. 
 
3. Calcule 
xd
fd
, 
dy
fd
 e 
zd
fd
 nas funções abaixo: 
 
a) 
yeyxf yx ln),(  
 b) 
)(),( yxseneyxf x  
 
 
c) 
)3(cos),( 22 yxyxf 
 d) 
22),,( zyxzyxf 
 
 
e) 
)( 222),,( zyxezyxf 
 f) 
zxyzyxf  )cos1(),,(
 
 
4. Calcule as derivadas parciais nos pontos especificados. 
 
a) 
yxyxyxf 231),( 
, 
xd
fd
 e 
dy
fd
 em 
)2,1(
 
 
b) 
2324),( yxyxyxf 
, 
xd
fd
 e 
dy
fd
 em 
)1,2(
 
 
5. Mostre que cada uma das funções abaixo satisfaz a equação 
0
2
2
2
2
2
2

zd
fd
yd
fd
xd
fd
. 
a) 
222 2),,( zyxzyxf 
 
 
b) 
xezyxf y 2cos),,( 2  
 
c) 
2
1
222 )(),,(

 zyxzyxf
 
 
6. Se 
xyxyw 2)2( 3 
, mostre que 
04  yyxx ww
. 
 
7. Se 








 uettw
1
2 tan
 , mostre que 
w
td
dw
t
ud
wd
u 22 
. 
 
8. Se 













x
z
yez
z
y
senxw y
x
ln222
 , mostre que 
 
w
zd
dw
z
yd
dw
y
xd
wd
x 2
. 
9. Usando a Regra da Cadeia, calcule 
xd
wd
 e 
dy
wd
 sabendo-se que: 
 
a) 
vsenuw 
 , 
22 yxu 
 e 
yxv 
 
 
b) 
vuw 
 , 
ysenxu 
 e 
xsenyv 
 
 
c) 
vuuw 22 
 , 
yxu ln
 e 
yxv  2
 
 
d) 
vuew 
 , 
yxu 
 e 
xyv 
 
 
10. Usando a Regra da Cadeia, calcule 
xd
zd
 e 
dy
dz
 sabendo-se que: 
 
a) 
2tvuz 
 , 
yexu 
 , 
xeyv 
 e 
yxt  2
 
 
b) 
tvvuz 
 , 
yxu  2
 , 
yxv 2
 e 
yxt 22 
 
 
11. Usando a Regra da Cadeia, calcule 
td
dw
. 
 
a) 
33 yxw 
 , 
1
1


t
x
 e 
1

t
t
y
 
 
b) 
)(ln vuw 
 , 
teu 2
 e 
23 ttv 
 
 
c) 
vsrw tan2 
 , 
tsenr 2
 , 
ts cos
 e 
tv 4
 
 
d) 
432 zyxw 
 , 
12  tx
 , 
23  ty
 e 
45  tz
 
 
12. Se 
)(
2
xcsenew vc  
, mostre que 
vxx ww 
 para todo número real c. 
 
13. Se 
xeyeyxf yx coscos),(  
, mostre que 
0
2
2
2
2

yd
fd
xd
fd
. 
 
14. Se 
trestsrw  234 3
, verifique que 
rrsrsrsrr www 
. 
 
15. Usando a Regra da Cadeia, calcule 
td
dw
 , onde 
)(tan zyxw 
 ,
 
tex  3
 , 
2ty 
 e 
tv cos5
. 
 
16. Se 
),( yxfw 
, em que 
tex u cos
 e 
tseney u 
 mostre que 
 






 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
td
wd
du
wd
e
yd
wd
xd
wd u
. 
 
17. Usando a Regra da Cadeia, calcule 
du
dw
 e 
dv
dw
, onde 
)(ln 222 zyxw 
,
 
useneux v 
 , 
ueuy v cos
 e 
veuz 
. 
 
18. Se 
22ln),( yxyxf 
, mostre que 
0
2
2
2
2

yd
fd
xd
fd
. 
 
19. Dada a equação 
)(seccos22 yxxyxexeyx yyx  
, encontre 
xd
yd
 no ponto 
)1,0(P
. 
20. Se 
)()(20),,(
22 ysenxsenetyxU tk    é a temperatura em ),( yxP no 
instante t , mostre que U satisfaz a equação bidimensional do calor 
 
0
2
2
2
2







yd
Ud
dx
Ud
k
td
Ud
 
 
onde k é uma constante que depende da condutividade térmica e do calor específico da placa. 
 
21. Usando a Regra da Cadeia, calcule 
ud
zd
 e 
dv
dz
 sabendo-se que: 
 
yez x ln4 
 , 
)cos(ln vux 
 , 
vsenuy 
 , tal que 
 







4
,
2
2
),(

vu
 
 
22. Mostre que qual quer função dada por 22
)cos()(
ba
eybxasenw


, onde a 
e b são constantes, satisfaz a equação de Laplace em três dimensões, ou seja que 
 
0
2
2
2
2
2
2

zd
wd
yd
wd
xd
wd
 
 
23. Usando a Regra da Cadeia, calcule 
dt
du
, onde 
ty
tx
u



, 
tx ln
, e 







t
y
1
ln
. R: 
2)(
2
tyt
tyx
dt
du



 
 
24. Dada a equação 
)(2ln22 yxsenyexeyx yyx  
, encontre 
xd
yd
 
no ponto 
)2ln,0(P
. 
 
25. Dada a equação 
0)2(cos)()2(  zxyzsenyxsen
, encontre 
yd
zd
 no 
ponto 
),,( P
.