Ondas estacionarias

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Mato Grosso
Laborato´rio de F´ısica II
Ondas estaciona´rias em uma
corda
Joa˜o Pedro Madeiro Aguiar, Sanielen Colombo
Email: joaopedromadeiro@gmail.com
Resumo
Ao usarmos uma corda fixa nas suas extremidades sujeita a certa tensa˜o,
excitada atrave´s de um vibrador de frequ¨eˆncia qualquer, toda a extensa˜o da
corda entrara´ em vibrac¸a˜o. Quando a frequ¨eˆncia do vibrador for igual a
uma das frequ¨eˆncias da corda, dizemos que o vibrador e a corda esta˜o em
ressonaˆncia. Neste caso, a amplitude de vibrac¸a˜o da corda e´ ma´xima, e,
ale´m disso, formam-se na mesma, ondas estaciona´rias. Atrave´s do principio
de ondas estacionarias e de ressonaˆncia trabalharemos neste relato´rio.
1
1 Introduc¸a˜o
Estamos cercados de oscilac¸o˜es – movimentos que se repetem. Um ba-
lanc¸o e´ um exemplo de oscilac¸a˜o livre, se algue´m empurrar esse balanc¸o
periodicamente teme uma oscilac¸a˜o. Uma onda longitudinal e´ quando a os-
cilac¸a˜o ocorre na direc¸a˜o da propagac¸a˜o e a transversal quando acontece na
direc¸a˜o perpendicular a` propagac¸a˜o da onda, contudo as ondas estacionarias
sa˜o ondas resultantes da superposic¸a˜o de duas ondas de mesma frequ¨eˆncia,
mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direc¸a˜o e sentidos
opostos.
E´ importante ressaltar, que cada corpo possuiu sua pro´pria frequ¨eˆncia de
vibrac¸a˜o. Considerando isso podemos dizer que se outro corpo, que possui
a mesma frequ¨eˆncia, colidir com o primeiro, eles entraram em ressonaˆncia,
pore´m esse evento so´ ocorre se as frequ¨eˆncias estiverem em sincronia.
O objetivo desta pra´tica se concentra em verificar que o som comporta-se
como onda mecaˆnica e, em dadas condic¸o˜es de confinamento unidimensional
apresenta-se como onda estaciona´ria. Observar as variac¸o˜es na intensidade de
uma onda sonora estaciona´ria a fim de identificar o fenoˆmeno da ressonaˆncia.
Medir as grandezas f´ısicas associadas a estes fenoˆmenos.
2 Fundamentos Teo´ricos
Onda estaciona´ria em uma corda
Consideremos uma corda fixa nas duas extremidades. Podemos aplicar
a` vibrac¸a˜o da corda o que ja´ aprendemos sobre ondas estaciona´rias: se uma
onda incidir inicialmente numa das extremidades, ela sera´ refletida e a sobre-
posic¸a˜o das duas ondas forma um padra˜o estaciona´rio, com no´s e anti-no´s.
Em uma onda corda uniforme de densidade linear µ, submetida a uma tensa˜o
T , a velocidade de propagac¸a˜o v de um pulso ou de uma onda transversal e´
dada por:
v =
√
T
µ
(1)
No caso de uma corda com as duas extremidades fixas, no entanto, sa-
bemos de antema˜o que as duas extremidades va˜o ser no´s, pois por estarem
fixas na˜o podem vibrar.
2
Assim, as possibilidades para o padra˜o estaciona´rio de vibrac¸a˜o sa˜o os
que se apresentam na figura a seguir.
Figura 1: Harmoˆnicas da vibrac¸a˜o de uma corda
Da figura 1 vemos que a vibrac¸a˜o mais simples tem apenas um anti-no´.
Se L for o comprimento da corda, vemos que L e´ metade do comprimento de
onda da vibrac¸a˜o:
L =
λ
2
(2)
Generalizac¸a˜o deste resultado e´:
L = n
λ
2
(3)
Em que n = 1, 2, 3... portanto as frequ¨eˆncias de oscilac¸o˜es de uma corda
que tem duas extremidades fixas sa˜o dadas por:
f = n
v
2l
(4)
3
3 Mate´rias Utilizados
- Vibrador de frequ¨eˆncia varia´vel;
- Re´gua graduada;
- Dinamoˆmetro;
- Corda, polia suporte, diversas massas;
- Tac¸a.
4 Procedimento
Primeira parte: Ondas estaciona´rias em uma corda
Colocamos uma massa de 1N (usamos o dinamoˆmetro para medir) preso
na corda conforme a figura 2.
Figura 2: Montagem do equipamento
Colocamos uma frequ¨eˆncia de 1300 RPM. Usando a re´gua graduada me-
dimos 45 cm, ligamos o vibrador de frequ¨eˆncia, de modo que conseguimos
afastando e/ou aproximando pelo comprimento produzir uma onda estacio-
naria da forma tal que L = λ
2
. Do mesmo modo anteriormente usando a re´gua
graduada para medir ondas estacionarias em outras medidas de distancias.
Determinamos o valor µ da corda.
Segunda parte: Ressonaˆncia de peˆndulo
Com o peˆndulo ajustado conforme a figura 2 determinou o comprimento
dos peˆndulos atrave´s da re´gua graduada e verificamos que todos possu´ıam
mais ou menos a mesma massa.
Oscilamos o peˆndulo com maior comprimento e esperamos 1 minuto ob-
servando o que acontecia. Em seguida oscilamos um dos peˆndulos de com-
primento intermedia´rio e por ultimo oscilamos o peˆndulo com o menor com-
primento e esperando 1 minuto observando o que acontecia.
4
Apo´s retiramos metade da massa de um peˆndulo com comprimento inter-
media´rio e oscilamo-lo e esperamos 1 minuto observando o acontecimento.
Terceira parte: Vibrac¸o˜es em uma tac¸a
Molhamos a tac¸a e o dedo indicador, passamos o dedo na borda da tac¸a
a fim de conseguir um som harmonioso. Tambe´m colocamos dentro da tac¸a
algumas medidas de a´gua para fazer o mesmo processo anterior.
5 Resultados
Primeira parte
Determinaremos agora o coeficiente da corda (µ):
f = 1300rpm = 1300( rotcao
1min
)(1min
60s
) = 21, 67s−1
T = 1N = 1kg.m/s2
l = 43cm = 0, 43m
Da equac¸a˜o v = 2lf obtemos o seguinte resultado:
Para l = 43cm = 0, 43m
v = 2(0, 43m)(21, 67s−1) = 18, 64m/s
5
Figura 3: Esquema da montagem dos peˆndulos
onde v =
√
T
µ
, substituindo encontraremos µ
v2 = T
µ
µ = T
v2
= 1kg.m/s
2
(18,64m/s)2
= 2, 88x10−3kg/m
Sem que alterarmos a frequ¨eˆncia mudou o comprimento para L = 85, 5cm
e assim aumentamos o comprimento da onda passando de λ
2
para λ, e de 1
no´ para dois no´s. Onde a partir da parte anterior onde n = 1 λ = 0, 86m
l = nλ
2
n = 2L
λ
= 2(0,855m)
0,86m
≈ 2
Mudamos agora o comprimento pra L = 134, 5cm, sem alterac¸a˜o na
frequ¨eˆncia, e obtivemos usando a mesma equac¸a˜o anterior n ≈ 3 aparecendo
assim 3 no´s.
6
Segunda parte
Colocamos o peˆndulo 4 de maior comprimento (104cm) para oscilar, apo´s
1 minuto e na˜o ocorre mudanc¸as com os outros peˆndulos. A seguir colocamos
o peˆndulo 3 de comprimento intermedia´rio (59cm) a oscilar, apo´s 1 minuto
e o peˆndulo 1, de comprimento igual, comec¸a a oscilar junto. Utilizando os
mesmos princ´ıpios anteriores colocamos o peˆndulo 2 de comprimento menor
(42cm) para oscilar e observou-se que o pendulo 5 de mesmo comprimento
comec¸a a oscilar junto.
Pensando no fenoˆmeno de ressonaˆncia da parte anterior isso ocorre por-
que o fio esticado contendo nele peˆndulos simples amarrados com diferentes
comprimentos, onde ha´ transfereˆncia de energia entre os de comprimento
iguais fazendo com que eles entrem em ressonaˆncia. Quando tirado do
ponto de equil´ıbrio um dos peˆndulos amarrado no fio e soltado ele oscila
com uma frequ¨eˆncia, e o que possui o mesmo comprimento comec¸a oscilar
com a frequ¨eˆncia e per´ıodos iguais devido ao seu comprimento ser igual.
Com a metade da massa do peˆndulo 3 oscilamos ele e observamos que
a transfereˆncia de energia ocorre normalmente para o peˆndulo 1, contudo o
tempo e´ maior pra que acontec¸a a transfereˆncia.
Terceira parte
Com tac¸a vazia observamos que som e´ agudo, ou seja, mais estridente e
conforme acrescentamos a´gua na tac¸a som passam do agudo para o grave. A
transfereˆncia de energia acontece por causa de um dos seus componentes: o
chumbo. O metal, ale´m de dar brilho a esse tipo especial de vidro, consegue
deixa´-lo mais firme. Assim, em vez de o copo de cristal absorver a maior
parte da energia provocada pelo atrito com o dedo, como faz um copo comum,
acaba devolvendo parte dessa energia em forma de som.;
6 Conclusa˜o
Analizando os dados obtidos para a primeira parte e comparando-os com
a teoria percebemos alguns erros, estes causados pela elasticidade da corda
usada no experimento sendo que, em teor´ıa, a corda deveria ser inextens´ıvel.
No entanto o fenomeno pode ser observado com certa facilidade.
Ja para a segunda parteobservou-se que quando os sistemas massa-mola
e peˆndulo simples sa˜o acoplados sofrem uma transfereˆncia de energia e a
partir de um dado momento inicia-se o fenoˆmeno chamado ressonaˆncia. Este
fenoˆmeno tem aplicac¸o˜es importantes em todas as a´reas da cieˆncia, sempre
7
que ha´ a possibilidade de troca de energia entre sistemas oscilantes. A res-
sonaˆncia foi descoberta por Galileu Galilei quando comec¸ou suas pesquisas
com peˆndulos em 1602.
E por ultimo na terceira parte: som produzido pelas ocorre por causa do
formato da tac¸a, pois o que vibra sa˜o as suas paredes (parte onde coloca o
l´ıquido). O som se propaga no ar. A tac¸a e´ composta de vidro que por sua vez
tem uma frequ¨eˆncia pro´pria de vibrac¸a˜o, como tudo nesse mundo. Ao esfregar
seu dedo na borda, voceˆ fornece energia (energia mecaˆnica) que atravessa
toda a parede da tac¸a e retorna em modo de vibrac¸a˜o que e´ percebida pelos
nossos ouvidos (retorna em forma de energia sonora). Ha´ a transformac¸a˜o
de energia mecaˆnica em energia sonora. Observe que a frequ¨eˆncia dessa
vibrac¸a˜o ressonante depende da quantidade de a´gua que o copo conte´m. A
a´gua adicionada tambe´m participa da vibrac¸a˜o. Quanto mais a´gua, mais
massa vibrando quando a oscilac¸a˜o e´ provocada. E mais massa vibrando
implica em menor frequ¨eˆncia, ou seja, ha´ a produc¸a˜o de sons graves e agudos.
7 Referencias bibliogra´ficas
Nussenzveig, H. Moyses, Curso de F´ısica Ba´sica, Vol. 2, Ed.4a. Edgar
Blucher Ltda
8