ALGA_Lista_IX

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA IX
1. Nos itens abaixo apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que
não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
a) R3, (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′) e k(x, y, z) = (0, 0, 0) R.: Não é
espaço vetorial. Falha o Axioma V III
b) {(x, 2x, 3x);x ∈ R} com as operações usuais. R.: É um espaço vetorial
c) R2, (a, b)+ (c, d) = (a, b) e α(a, b) = (αa, αb). R.: Não é espaço vetorial. Falham os
axiomas II, III e IV
d) R2, (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) e α(x, y) = (α2x, α2y). R.: Não é espaço
vetorial. Falha o axioma V I
e) R2, (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′) e α(x, y) = (αx, 0). R.: Não é espaço vetorial.
Falha o axioma V III
f) A = {(x, y) ∈ R2; y = 5x} com as operações usuais. R.: É um espaço vetorial
2. Nos itens abaixo são apresentados subconjuntos de R2. Verificar quais deles são subespaços
vetoriais do R2 relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
a) S = {(x, y); y = −x}. R.: É subespaço
b) S = {(x, x2);x ∈ R}. R.: Não é subespaço
c) S = {(x, y);x+ 3y = 0}. R.: É subespaço
d) S = {(y, y); y ∈ R}. R.: É subespaço
e) S = {(x, y); y = x+ 1}. R.: Não é subespaço
f) S = {(x, y);x ≥ 0}. R.: Não é subespaço
3. Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de R3. Verificar quais são seus
subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Para os
que são subespaços, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar
um contra-exemplos.
1
a) S = {(x, y, z);x = 4y e z = 0}. R.: É
b) S = {(x, y, z); z = 2x− y}. R.: É
c) S = {(x, y, z);x = z2}. R.: Não é
d) S = {(x, y, z); y = x+ 2 ez = 0}. R.: Não é
e) S = {(x, x, x);x ∈ R}. R.: É
f) S = {(x, x, 0);x ∈ R}. R.: É
g) S = {(x, y, z);xy = 0}. R.: Não é
h) S = {(x, y, z);x = 0 e y = |z|}. R.: Não é
i) S = {(x,−3x, 4x);x ∈ R}. R.: É
j) S = {(x, y, z);x ≥ 0}. R.: Não é
k) S = {(x, y, z);x+ y + z = 0}. R.: É
l) S = {(4t, 2t,−t); t ∈ R}. R.: É
4. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.
a) Escrever o vetor w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.
b) Para que valor de k o vetor −8, 14, k é combinação linear de u e v?
c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinação
linear de u e v.
R.: a) w = 3u− v; b) k = 12; c) 16a+ 10b− c = 0
5. Escrever o vetor 0 ∈ R2 como combinação linear dos vetores
a) v1 = (1, 3) e v2 = (2, 6). R.: 0 = −2v1 + v2
b) v1 = (1, 3) e v2 = (2, 5). R.: 0 = 0v1 + 0v2
6. Sejam os vetores v1 = (−1, 2, 1), v2 = (1, 0, 2) e v3 = (−2,−1, 0). Expressar cada um dos
vetores u = (−8, 4, 1), v = (0, 2, 3) e w = (0, 0, 0) como combinação linear de v1, v2 e v3.
R.: u = 3v1 − v2 + 2v3 v = v1 + v2 w = 0v1 + 0v2 + 0v3
2
7. Determinar os subespaços do R3 gerados pelos seguintes conjuntos:
a) A = {(2,−1, 3)}. R.: {(x, y, z) ∈ R3;x = −2y e z = −3y}
b) A = {(−1, 3, 2), (2,−2, 1)}. R.: {(x, y, z) ∈ R3; 7x+ 5y − 4z = 0}
c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}. R.: {(x, y, z) ∈ R3;x+ y − z = 0}
d) A = {(−1, 1, 0), (0, 1,−2), (−2, 3, 1)}. R.: R3
e) A = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2,−1, 1)}. R.: {(x, y, z) ∈ R3; x+y+3z = 0}
f) A = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0), (0, 0, 2), (−2, 1, 0)}. R.: R3
8. Seja o conjunto A = {v1, v2}, sendo v1 = (−1, 3,−1) e v2 = (1,−2, 4). Determinar:
a) O subespaço G(A). R.: G(A) = {(x, y, z) ∈ R3; 10x+ 3y − z = 0}
b) O valor de k para que o vetor v = (5, k, 11) pertença a G(A). R.: k = −13
9. Sejam os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) e v3 = (1, 3,−1). Se (3,−1, k) ∈ [v1, v2, v3],
onde [v1, v2, v3] é o espaço gerado por v1, v2 e v3, qual é o valor de k? R.: k = 7
10. Determinar os subespaço G(A) para A = {(1,−2), (−2, 4)}. O que representa geometri-
camente esse subespaço? R.: {(x, y) ∈ R2; y = −2x} e representa uma reta que passa
pela origem
11. Mostrar que os vetores v1 = (2, 1) e v2 = (1, 1) geram R2. R.: (x, y) = (x − y)v1 +
(−x+ 2y)v2
12. Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o R3. R.:
(x, y, z) = xv1 + (y − x)v2 + (z − y)v3
13. Classificar os seguintes subconjuntos do R2 em LI ou LD:
a) {(1, 3)}. R.: LI
b) {(1, 3), (2, 6)}. R.: LD
c) {(2,−1), (3, 5)}. R.: LI
d) {(1, 0), (−1,−1), (3, 5)}. R.: LD
14. Classificar os seguintes subconjuntos do R3 em LI ou LD:
a) {(2,−1, 3)}. R.: LI
b) {(1,−1, 1), (−1, 1, 1)}. R.: LI
c) {(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}. R.: LD
d) {(2, 1, 3), (0, 0, 0, ), (1, 5, 2)}. R.: LD
3
e) {(1, 2,−1), (2, 4,−2), (1, 3, 0)}. R.: LD
f) {(1,−1,−2), (2, 1, 1), (−1, 0, 3)}. R.: LI
g) {(1, 2,−1), (1, 0, 0), (0, 1, 2), (3,−1, 2)}. R.: LD
15. Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto {(−1, 0, 2), (1, 1, 1), (k,−2, 0)}. R.:
k 6= −3
16. Mostrar que são LD os vetores v1, v2 e v3, com v1 e v2 vetores arbitrários de um espaço
vetorial V e v3 = 2v1 − v2.
17. Mostre que se u, v e w são LI, então u+ v, u+ w e v + w sã também LI.
18. Sendo v1 = (1, 2) ∈ R2, determinar v2 ∈ R2 tal que {v1, v2} seja base de R2.
R.: v2 6= kv1, k ∈ R
19. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R2:
a) {(1, 2), (−1, 3)} b) {(3,−6), (−4, 8)} c) {(0, 0), (2, 3)} d) {(3,−1), (2, 3)}
R.: (a) e (d)
20. Para que valores de k o conjunto B = {(1, k), (k, 4)} é base do R2. R.: k 6= ±2
21. O conjunto B = {(2,−1), (−3, 2)} é uma base do R2. Escrever o vetor genérico do R2
como combinação linear de B. R.: (x, y) = (2x+ 3y)(2,−1) + (x+ 2y)(−3, 2)
22. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R3?
a) (1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 2, 0)
b) (1, 0, 1), (0,−1, 2), (−2, 1,−4)
c) (2, 1,−1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1)
d) (1, 2, 3), (4, 1, 2)
e) (0,−1, 2), (2, 1, 3), (−1, 0, 1), (4,−1,−2)
R.: (a) e (c)
23. Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e v4 = (2,−1, 1) geram o
R3 e encontrar uma base dentre os vetores v1, v2, v3 e v4. R.: Base {v1, v2, v3}
4
Observação: Se v pode ser escrito como combinação linear de A = {v1, v2, ..., vn}, ou
seja,
v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn
chamamos de vetor coordenada em relação a base A, o vetor vA = (a1, a2, ..., an).
24. Seja v = R3 e o conjunto B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} ⊂ R3.
a) Mostrar que B não é base do R3.
b) Determinar uma base do R3 que possua dois elementos de B.
R.: Uma base {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}
25. Determinar o vetor coordenada de V = (6, 2) em relação às seguintes bases:
A = {(3, 0), (0, 2)} B = {(1, 2), (2, 1)} C = {(1, 0), (0, 1)} D = {(0, 1), (1, 0)}
R.: vA = (2, 1), vB = (−23 , 103 ), vC = (6, 2), vD = (2, 6)
26. No espaço vetorial R3, consideremos a seguinte base: B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1,−1, 1)}.
Determinar o vetor coordenada de v ∈ R3 em relação a base B se:
a) v = (2,−3, 4). R.: vB = (−2, 1, 4)
b) v = (3, 5, 6). R.: vB = (−3, 11, 6)
c) v = (1,−1, 1). R.: vB = (0, 0, 1)
27. Sejam os vetores v1 = (1, 0,−1), v2 = (1, 2, 1) e v3 = (0,−1, 0) do R3.
a) Mostrar que B = {v1, v2, v3} é base do R3. R.: B é LI e (x, y, z) = (x−z2 )v1 +
x+z
2
v2 + (x− y + z)v3
b) Escrever e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) como combinação linear dos vetores
da base B. R.: e1 = 12v1 +
1
2
v2 + v3; e2 = −v3; e3 = −12v1 + 12v2 + v3
28. Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
a) {(x, y, z) ∈ R3; y = 3x}. R.: dim = 2
b) {(x, y, z) ∈ R3; y = 5x e z = 0}. R.: dim = 1
c) {(x, y, z) ∈ R3; x+ y = 0}. R.: dim = 1
d) {(x, y, z) ∈ R3;x = 3y e z = −y}. R.: dim = 1
e) {(x, y, z)inR3; 2x− y + 3z = 0}. R.: dim = 2
f) {(x, y, z) ∈ R3; z = 0}. R.: dim = 2
5
29. Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução dos sistemas:
a)

x− 2y − z = 0
2x+ y + 3z = 0
x+ 3y + 4z = 0
. R.: dim = 1; uma base {(1, 1,−1)}b)

2x+ 2y − 3z = 0
x− y − z = 0
3x+ 2y + z = 0
. R.: dim = 0; não existe uma base
6