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Universidade Federal de Pelotas - UFPEL ALGA - LISTA VI 1. Calcular os valores de m e n para que as matrizes sejam iguais. a) A = ( 8 15n 12 +m 3 ) e B = ( 8 75 6 3 ) R.: n = 5 e m = −6 b) A = ( m2 − 40 n2 + 4 6 3 ) e B = ( 41 13 6 3 ) R.: m = ±9 e n = ±3 c) A = ( 7 8 4 n2 ) e B = ( 7 8 4 10n− 25 ) R.: n = 5 2. Dadas as matrizes A = ( 2 3 8 4 −1 −6 ) , B = ( 5 −7 −9 0 4 1 ) e C = ( 0 9 8 1 4 6 ) , calcule: a) A+B b) B + C c) A+ C d) A−B e) A− C f) B − C g) X = 4A− 3B + 5C h) X = 2B − 3A− 6C i) X = 4C + 2A− 6B 3. Efetue a multiplicação das matrizes A e X. a) A = ( 2 6 −5 4 ) e X = ( x y ) b) A = 1 2 3−2 −5 7 3 9 −8 e X = x1x2 x3 c) A = −3 4 2 8 0 1 3 −6 −1 4 5 −7 9 −9 −8 6 e X = x1 x2 x3 x4 4. Dadas as matrizes A = 1 −2 3 1 7 −4 5 9 , B = ( 1 3 −5 −76 2 −8 3 ) , C = ( 2 4 −3 5 ) eD = 1 7 3 −8 −3 −1 −1 −3 4 1 9 0 5 3 2 −3 . 1 Determine: a) AB b) (AB)D c) A(BD) d) BA e) (BA)C f) B(AC) 5. Verifique se a matriz B é a inversa da matriz A: a) A = −0, 5 −1, 5 1−0, 5 −2, 5 0, 5 −0, 5 −2 1 e B = −12 −4 142 0 −2 −2 −2 4 b) A = −2 −4 −6−4 −6 −6 −4 −4 −2 e B = −1, 5 2 1, 52 −2, 5 1, 5 −1 1 −0, 5 c) A = −4 −2 02 −6 −2 10 −8 −4 e B = −1 1 −0, 51, 5 −2 1 −5, 5 6, 5 −3, 5 d) A = 4 5 02 3 0 −6 −1 −2 e B = 9 3 4−7 2 5 1 6 8 e) A = 0 4 −22 8 −4 −2 −14 6 e B = −1 0, 5 0−0, 5 −0, 5 −0, 5 −1, 5 −1 −1 6. Calcular m e n para que a matriz B seja a inversa de A. a) A = ( m −22 −2 n ) e B = ( 5 22 2 9 ) R.: m = 9 e n = 5 b) A = ( 2 5 3 8 ) e B = ( 8 m n 2 ) R.: m = −5 e n = −3 7. Determinar a matriz AT transposta da matriz A = 2 4 3 −51 −7 0 −2 8 −9 6 −4 2 8. Dadas as matrizes A = 5 0 6 −8 0 3 −2 2 7 1 −1 −5 , B = 1 −3 −2 47 8 5 9 0 6 3 −8 C = 2 3 01 1 −8 3 5 4 e D = 5 0 3 2 −8 1 −2 4 −3 2 1 −5 0 1 0 2 . Determine: a) (AB)T b) (AB)DT c) A(BDT ) d) BTC e) 2(ATBT ) + 3CT 9. Dadas as matrizes: A = 2 −7 13 4 2 5 −9 6 , B = 0 −9 34 8 1 7 3 1 e C = 4 3 5−1 2 −7 8 1 −9 Classifique: a) A+ AT . R.: Simétrica b) B +BT . R.: Simétrica c) AAT . R.: Simétrica d) A− AT . R.: Antissimétrica e) B −BT . R.: Antissimétrica f) C − CT . R.: Antissimétrica Observação: • Uma matriz A, quadrada, é dita peródica se An = A, sendo n ≥ 2. Se n é o menor inteiro para o qual An = A, então diz-se que o período de A é n− 1. • Em uma matriz nihilpotente, se p é o menor inteiro tal que Ap = 0, diz-se que A é uma matriz nihilpotente de índice p. 3 10. Dadas as matrizes: A = ( 0 1 1 0 ) , B = ( 1 3 2 √ 2 3 2 √ 2 3 −1 3 ) , C = ( 1 5 −2 √ 6 5 2 √ 6 5 1 5 ) , D = ( senθ − cos θ cos θ −senθ ) , E = √ 3 3 √ 3 3 √ 3 3 − √ 6 3 √ 6 6 √ 6 6 0 − √ 2 2 √ 2 2 , F = ( 6 9−4 −6 ) , G = ( 12 16 −9 −12 ) , H = −12 −52 1−1 2 −1 1 2−3 2 −3 3 2 , J = ( 5 10 −2 −4 ) , L = ( 6 10 −3 −5 ) , M = −1 2 63 −2 −9 −2 0 3 a) Calcular AAT e classificar a matriz A. R.: A é ortogonal b) Calcular BBT e classificar a matriz B. R.: B é ortogonal c) Calcular CCT e classificar a matriz C. R.: C é ortogonal e) Calcular DDT e classificar a matriz D. R.: D é ortogonal f) Calcular EET e classificar a matriz E. R.: E é ortogonal g) Calcular F 2 e classificar a matriz F . R.: F é nihilpotente de índice p = 2 h) Calcular G2 e classificar a matriz G. R.: G é nihilpotente de índice p = 2 i) Calcular H3 e classificar a matriz H. R.: H é nihilpotente de índice p = 3 j) Calcular J2 e classificar a matriz J . R.: J é idempotente k) Calcular L2 e classificar a matriz L. R.: L é idempotente l) CalcularM3 e classificar a matrizM . R.: M é periódica de período igual a 2 (períódica pois M3 =M e o período é 3− 1 = 2) 11. Dadas as matrizes triangulares superiores (A e B) e inferiores (C e D): A = 1 2 80 1 2 0 0 4 , B = 2 −3 10 2 −1 0 0 3 , C = 1 0 0−1 3 0 −2 −1 2 , D = 4 0 01 −1 0 −1 −3 −2 a) Calcular E = AB e classificar a matriz E. R.: E é uma matriz triangular superior b) Calcular F = CD e classificar a matriz F . R.: F é uma matriz triangular inferior 12. Dadas as matrizes diagonais: A = 2 0 00 7 0 0 0 3 e B = 4 0 00 5 0 0 0 6 Calcular AB e classificar este produto. R.: AB é uma matriz diagonal 4
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