ALGA LISTA III

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Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA III
Observação: Resolva os sistemas utilizando os métodos de eliminação Gaussiana ou elimi-
nação de Gauss-Jordan caso não esteja especificado no exercício.
1. Classifique e resolva os sistemas
a)
{
5x+ 8y = 34
10x+ 16y = 50
R.: Incompatível
b)

4x− y − 3z = 15
3x− 2y + 5z = −7
2x+ 3y + 4z = 7
R.: Compatível e determinado: x = 3, y = 3 e z = −2
c)

2x+ 3y − 2z = 2
3x− 5y + 4z = 5
x− 2y − 7z = −24
R.: Compatível e determinado: x = 1, y = 2 e z = 3
d)
{
x+ 4y + 6z = 0
−3
2
x− 6y − 9z = 0 R.: Compatível e indeterminado; grau de liberdade: g = 2
e)

x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + 3z = 10
R.: Incompatível
f)

5x− 3y − 7z = −5
4x− y − z = 2
−2x+ 4y + 8z = 10
R.: Compatível e determinado: x = y = z = 1
g)

3x− 8y − 9z = 14
7x+ 3y + 2z = −12
−8x− 9y + 6z = 11
R.: Compatível e determinado: x = y = z = −1
h)

4x− 3y = −18
2y + 5z = −8
x− 2y − 3z = 0
R.: Compatível e determinado: x = 0, y = 6 e z = −4
i)

2x− 5y − z = −8
3x− 2y − 4z = −11
−5x+ y + z = −9
R.: Compatível e determinado: x = 3, y = 2 e z = 4
j)

3x+ 9y + 12z = 24
4x+ 16y + 26z = 46
x+ 7y14z = 20
R.: Incompatível
k)

5x+ y + z = 7
6x− y − z = 4
7x+ 2y + 2z = 14
R.: Compatível e determinado: x = 1, y = 7 e z = −5
1
l)
{
6x+ 2y + 4z = 0
−9x− 3y − 6z = 0 R.: Compatível e indeterminado: grau de liberdade g = 2
m)

−8x+ 3y + 2z = 16
4x− 2z = 0
3y + 4z = −32
R.: Compatível e determinado: x = −4, y = 0 e z = −8
n)

3x+ 2y − 3z = 18
2x− 4y + 4z = 12
−4x+ 3y − 5z = −24
R.: Compatível e determinado: x = 6, y = z = 0
o)

x+ 4y + 6z = 11
2x+ 3y + 4z = 9
3x+ 2y + 2z = 7
R.: Compatível e indeterminado: grau de liberdade g = 1
p)

2x+ 2y + 4z = 0
3x+ 5y + 8z = 0
5x+ 25y + 20z = 0
R.: Compatível e determinado: x = y = z = 0
q)

x− 3y − 7z = 1
−x− 2y − 4z = −2
−2x− 4y − 5z = −1
R.: Compatível e determinado: x = 2, y = −2 e z = 1
r)

10x+ 8y − 7z = 1
5x+ 3y − 8z = 19
7x− 9y + 4z = −15
R.: Compatível e determinado: x = 1, y = 2 e z = −1
s)

x− y = 0
2y + 4z = 6
x+ y + 4z = 6
R.: Compatível e indeterminado: grau de liberdade g = 1
t)

6x− 9y − 5z = −35
2x+ 3y + 4z = 29
5x− 2y − z = 0
R.: Compatível e determinado: x = 2, y = 3 e z = 4
u)

4x+ 8y + 12z = 24
x− z = 0
−5x− 8y − 11z = −24
R.: Compatível e indeterminado: grau de liberdade g = 1
v)

7x− 2y + 4z = −15
9x+ 3y − 3z = 0
x− 4y − z = −8
R.: Compatível e determinado: x = −1, y = 2 e z = −1
w)

2x+ 3y + 4z = 53
3x+ 5y − 4z = 2
4x+ 7y − 2z = 31
R.: Compatível e determinado: x = 3, y = 5 e z = 8
2
2. Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam
compatíveis os sistemas:
a)

4x+ 12y + 8z = a
2x+ 5y + 3z = b
−4y − 4z = c
R.: 2a− 4b+ c = 0
b)

2x+ 4y + 2z = a
3x+ 8y + 5z = b
−3x− 4y − z = c
R.: 3a− b+ c = 0
c)

2x+ 2y + 4z = a
6x+ 11y + 8z = b
2x+ 7y = c
R.: 2a− b+ c = 0
d)

x+ y − z = a
−x+ 2z = b
y + z = c
R.: a+ b− c = 0
3. Calcular o valor de k para que admita solução não-trivial o seguinte sistema:{
2x+ 6y = 0
4x+ ky = 0
R.: k = 12
4. Resolver o sistema para os diferentes valores de b1, b2 e b3:
−2x+ 3y − z = b1
x− 3y + z = b2
−x+ 2y − z = b3
a) Para b1 = 2, b2 = 5 e b3 = 7. R.: x = −7, y = −12 e z = −24
b) Para b1 = 1, b2 = 6 e b3 = 0. R.: x = −7, y = −6 e z = −5
c) Para b1 = 2, b2 = −8 e b3 = 9. R.: x = 6, y = −1 e z = −17
d) Para b1 = −4, b2 = −3 e b3 = −2. R.: x = 7, y = 5 e z = 5
e) Para b1 = 4, b2 = 7 e b3 = 9. R.: x = −11, y = −16 e z = −30
5. Resolver o sistema para os diferentes valores de b1, b2, b3 e b4:
−2x1 − x2 + 2x4 = b1
3x1 + x2 − 2x3 − 2x4 = b2
−4x1 − x2 + 2x3 + 3x4 = b3
3x1 + x2 − x3 − 2x4 = b4
a) Para b1 = 5, b2 = 3, b3 = 12 e b4 = 10. R.: x1 = 22, x2 = 25, x3 = 7 e x4 = 37
3
b) Para b1 = −8, b2 = −4, b3 = −9 e b4 = 8. R.: x1 = 12, x2 = −18, x3 = 12 e
x4 = −1
c) Para b1 = 4, b2 = 0, b3 = −2 e b4 = 3. R.: x1 = 10, x2 = −8, x3 = 3 e x4 = 8
d) Para b1 = −9, b2 = 6, b3 = 3 e b4 = 1. R.: x1 = −13, x2 = 27, x3 = −5 e x4 = −4
6. Resolva o sistema abaixo utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan:
10y − 4z + w = 1
x+ 4y − z + w = 2
3x+ 2y + z + 2w = 5
−2x− 8y + 2z − 2w = −4
x− 6y + 3z = 1
.
7. Resolva o sistema abaixo utilizando o método de eliminação Gaussiana:
3x1 + 2x2 − x3 = −15
5x1 + 3x2 + 2x3 = 0
3x1 + x2 + 3x3 = 11
−6x1 − 4x2 + 2x3 = 30
.
R.: x1 = −4, x2 = 2 e x3 = 7
8. Resolva o seguinte sistema onde a, b e c são constantes:
x1 + x2 + x3 = a
2x1 + 2x3 = b
3x2 + 3x3 = c
R.: x1 = a− 13c, x2 = a− 12b e x3 = −a+ 12b+ 13c
9. Para quais valores de λ o sistema de equações tem soluções não-triviais:{
(λ− 3)x+ y = 0
x+ (λ− 3)y = 0
R.: λ = 4, λ = 2
10. Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx + d e seja A(0, 10), B(1, 7), C(3,−11) e D(4,−14) pontos
pertencentes ao gráfico de f(x). Determine f(x). R.: f(x) = x3 − 6x2 + 2x+ 10
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