Métodos Matemáticos

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Me´todo para encontrar a transformada inversa de Laplace
Me´todo das frac¸o˜es parciais
Qualquer func¸a˜o racional
P (s)
Q(s)
, onde P (s) e Q(s) sa˜o polinoˆmios, com o grau de P (s)
menor do que o de Q(s),pode ser escrita como a soma de func¸o˜es racionais (chamadas frac¸o˜es
parciais), tendo a forma
A
(as+ b)r
,
As+B
(as2 + bs+ c)r
, onde r = 1, 2, 3, ...
Encontrando a transformada inversa de Laplace de cada uma das frac¸o˜es parciais, podemos
encontrar £−1
{
P (s)
Q(s)
}
.
Exemplo1: Encontre £−1
{
3s+ 7
s2 − 2s− 3
}
Primeira soluc¸a˜o::
Temos que s2 − 2s− 3 = 0, a = 1, b = −2, c = −3
∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(3) = 16
s =
2± 4
2
, donde obtemos s1 = 3 e s2 = −1, enta˜o podemos escrever
s2 − 2s− 3 = 1 (s− 3) (s+ 1) = (s− 3) (s+ 1) (produtos de dois fatores lineares distintos)
Enta˜o
3s+ 7
s2 − 2s− 3 =
3s+ 7
(s− 3) (s+ 1) =
A
s− 3 +
B
s+ 1
=
=
A(s+ 1) +B(s− 3)
(s− 3) (s+ 1) =
As+ A+Bs− 3B
(s− 3) (s+ 1) =
=
(A+B) s+ A− 3B
(s− 3) (s+ 1) , logo
3s+ 7 = (A+B) s+ A− 3B, donde encontramos{
A+B = 3
A− 3B = 7 , logo A = 4 e B = −1, enta˜o
3s+ 7
s2 − 2s− 3 =
4
s− 3 −
1
s+ 1
, sendo assim temos
£−1
{
3s+ 7
s2 − 2s− 3
}
= £−1
{
4
s− 3 −
1
s+ 1
}
=
= 4£−1
{
1
s− 3
}
−£−1
{
1
s+ 1
}
= 4e3t − e−t
Portanto
2
£−1
{
3s+ 7
s2 − 2s− 3
}
= 4e3t − e−t
Segunda soluc¸a˜o
3s+ 7
(s− 3) (s+ 1) =
A
s− 3 +
B
s+ 1
Multiplicando ambos os lados por (s− 3) e fazendo s→ 3,obtemos
3s+ 7
(s+ 1)
= A+
B (s− 3)
s+ 1
⇒ lims→3 3s+ 7
(s+ 1)
= lims→3
(
A+
B (s− 3)
s+ 1
)
⇒
⇒ 4 = A
Multiplicando ambos os lados por (s+ 1) e fazendo s→ −1,obtemos
3s+ 7
(s− 3) =
A (s+ 1)
s− 3 +B ⇒ lims→−1
3s+ 7
(s− 3) = lims→−1
(
A (s+ 1)
s− 3 +B
)
⇒
⇒ −1 = B
Logo
3s+ 7
s2 − 2s− 3 =
4
s− 3 −
1
s+ 1
, sendo assim temos
£−1
{
3s+ 7
s2 − 2s− 3
}
= £−1
{
4
s− 3 −
1
s+ 1
}
=
= 4£−1
{
1
s− 3
}
−£−1
{
1
s+ 1
}
= 4e3t − e−t
Portanto
£−1
{
3s+ 7
s2 − 2s− 3
}
= 4e3t − e−t
Exemplo2: Encontre £−1
{
5s2 − 15s− 11
(s+ 1) (s− 2)3
}
Temos que
5s2 − 15s− 11
(s+ 1) (s− 2)3 =
A
s+ 1
+
B
s− 2 +
C
(s− 2)2 +
D
(s− 2)3 (i)
Multiplicando por (s+ 1) e fazendo s→ −1, obtemos
5s2 − 15s− 11
(s− 2)3 = A+
B (s+ 1)
s− 2 +
C (s+ 1)
(s− 2)2 +
D (s+ 1)
(s− 2)3 ⇒
⇒ lims→−1 5s
2 − 15s− 11
(s− 2)3 = lims→−1
(
A+
B (s+ 1)
s− 2 +
C (s+ 1)
(s− 2)2 +
D (s+ 1)
(s− 2)3
)
⇒
⇒ −1
3
= A
3
Multiplicando por (s− 2)3 e fazendo s→ 2, obtemos
5s2 − 15s− 11
(s+ 1)
=
A(s− 2)3
s+ 1
+B(s− 2)2 + C(s− 2) +D ⇒
lims→2
5s2 − 15s− 11
(s+ 1)
= lims→2
(
A(s− 2)3
s+ 1
+B(s− 2)2 + C(s− 2) +D
)
⇒
−7 = D
O me´todo deixa de determinar as constantes B e C. Entretanto , como conhecemos A e
D,temos de (i),
5s2 − 15s− 11
(s+ 1) (s− 2)3 =
−1
3
s+ 1
+
B
s− 2 +
C
(s− 2)2 +
−7
(s− 2)3 (ii)
Para determinar C e D podemos atribuir valores a s, digamos, s = 0 e s = 1, dos quais
encontramos respectivamente
11
8
= −1
3
− B
2
+
C
4
+
7
8
,
21
2
= −1
6
−B + C + 7
Donde encontramos C = 4 e B =
1
3
, sendo assim de (ii) temos:
5s2 − 15s− 11
(s+ 1) (s− 2)3 = −
1
3
1
s+ 1
+
1
3
1
s− 2 +
4
(s− 2)2 +
−7
(s− 2)3
Aplicando a transformada de Laplace inversa encontramos
£−1
{
5s2 − 15s− 11
(s+ 1) (s− 2)3
}
= −1
3
£−1
{
1
s+ 1
}
+
1
3
£−1
{
1
s− 2
}
+4£−1
{
1
(s− 2)2
}
+−7£−1
{
1
(s− 2)3
}
Portanto
£−1
{
5s2 − 15s− 11
(s+ 1) (s− 2)3
}
= −1
3
e−t +
1
3
e2t + 4te2t − 7
2
t2e2t