Trabalho Séries e Equações Diferenciais - Christian José Quintana Pinedo - Capítulos I e II

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
Campus de Palmas
Curso de Engenharia Civil/Elétrica
Nome : ........................................................................ Conceito: ............
Séries e Equações Diferenciais
Trabalho individual
Observações:
(a) Resolver todas as questões;
(b) O trabalho é individual e sem consulta;
(c) O tempo máximo para entrega deste trabalho resolvido é o dia 02/10/2012 as 14 horas;
(d) A interpretação das questões faz parte do trabalho.
(e) Justifique cada resposta. Prof. Dr. Sc. Christian Q. Pinedo
1. Para y 6= 0 consideremos a equação diferencial
2y
dy
dx
+ 2y2 = 5 + 2x
a) Achar a solução geral implícita usando fatores integrantes
b) Achar a solução particular que passa pelo ponto (0,
√
5) e o intervalo máximo
onde ela está definida
2. Para
1
2pi
< x <
1
pi
, considere a equação de Ricatti y′ =
1
x
y2 − 1
x
y +
1
x3
.
a) Achar uma solução particular da forma y1(x) = xα cot
(1
x
)
b) Achar a solução geral.
3. Uma garrafa de vinho a temperatura ambiente de 70oF é colocado em um recipiente
que mantém uma temperatura constante de 32oF . Passados 15 minutos observa-se
que o vinho se encontra a temperatura de 60oF .
Quanto tempo a mais o vinho deve ficar no recipiente para alcançar uma tempera-
tura de 56oF?
2
4. Na cidade de Patópolis a população é de 5000 habitantes, dez delas têm uma enfermi-
dade contagiosa. A velocidade de propagação da doença é proporcional ao produto
das pessoas contagiadas com as pessoas não contagiadas com uma constante de
proporcionalidade 0,2. Determine e resolva a equação diferencial correspondente.
5. Considere a série de potências
∑ an+1
n+ 1
xn+1 com a ∈ R+
a) Determine o raio e convergência da série e estude a sua natureza nos extremos
do intervalo de convergência.
b) Considere a série numérica que se obtém fazendo x = −3. Justifique que existe
um único valor de a para o qual a série numérica correspondente é simplesmente
convergente e determine-o
Palmas, 25 de setembro de 2012
3
UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
Campus de Palmas
Curso de Engenharia Civil/Elétrica
Séries e Equações Diferenciais
Primeira Prova
Questão 1.
Para y 6= 0 consideremos a equação diferencial
2y
dy
dx
+ 2y2 = 5 + 2x
a) Achar a solução geral implícita usando fatores integrantes
b) Achar a solução particular que passa pelo ponto (0,
√
5) e o intervalo máximo onde
ela está definida
Solução. a)
A equação podemos escrever na forma
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
onde M(x, y) = 5 + 2x − 2y2 e N(x, y) = −2y como ∂M
∂y
6= ∂N
∂y
a equação não é exata,
porém
1
N
(∂M
∂y
− ∂N
∂y
)
=
1
−2y (−4y) = 2 depende somente de x.
Logo um fator integrante da equação é I(x) = e
∫
2dx = e2x de onde a equação
(5 + 2x− 2y2)e2xdx− 2ye2xdy = 0
é exata
Calculemos a função potencial F (x, y) da forma
F (x, y) =
∫
−2ye2xdy = −y2e2x + f(x)
derivando
∂F
∂x
= −2e2xy2 + f ′(x) = (5 + 2x− 2y2)e2x ⇒ f(x) = (2 + x)e2x
4
assim F (x, y) = −y2e2x + (2 + x)e2x
Portanto, a solução implícita é (2 + x− y2)e2x = C.
Solução. b)
Pela condição y(0) =
√
5, temos C = −3 então y2 = 3e−2x + x + 2 de onde y =
±√3e−2x + x+ 2 e como y(0) = √5 > 0 a solução do p.v.i é y = √3e−2x + x+ 2.
Para achar o intervalo máximo da solução, estudemos a função g(x) = 3e−2x + x+ 2
Temos g′(x) = 1− 6e−2x e g′′(x) = 12e−2x > 0, quando g′(x) = 0 ⇒ x = 1
2
Ln6 é
o único ponto crítico, e pelo critério da derivada segunda o máximo ocorre nesse valor de
x
Questão 2.
M.
Solução.
Questão 3.
M.
Solução.
Questão 4.
M.
Solução.
Questão 5.
M.
Solução.