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84 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Unidade III 5 Estrutura dE grupo Seja G um conjunto munido de uma operação * (tem de ser binária, isto é, uma regra que faz corresponder, a cada par de elementos do conjunto G, um único elemento desse mesmo conjunto). Diremos que G tem uma estrutura de grupo ou é um grupo em relação à operação *, ou ainda que (G, *) é um grupo se: I. a operação * é associativa, isto é: a * (b * c) = (a * b) * c, quaisquer que sejam a, b, c ∈ G; II. existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é: a * e = a = e * a, para todo a ∈ G; III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico a´ para a operação *, isto é: a´ * a = e = a * a´, para todo a ∈ G. Caso as condições anteriores sejam satisfeitas, então (G, *) é um grupo. Em outras palavras, se (G, *) satisfaz as três propriedades anteriores e também atende a seguinte propriedade: • a operação * é comutativa, isto é: a * b = b * a, quaisquer que sejam a, b ∈ G. Então, (G, *) é um grupo abeliano ou comutativo. Lembrete O termo simétrico pode se referir a nomes diferentes, dependendo do tipo operação que utilizamos. Sendo utilizada a adição usual, o simétrico aditivo de n ∈ G é denotado por –n e conhecido na literatura como oposto, mas se utilizamos a multiplicação usual, o simétrico multiplicativo de n ∈ G é denotado por n–1, conhecido na literatura como inverso. São exemplos de grupo abeliano: Exemplo 1 Grupo aditivo dos números inteiros (Z, +). 85 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra Exemplo 2 Grupo aditivo dos números racionais (Q, +). Exemplo 3 Grupo aditivo dos números reais (R, +). Exemplo 4 Grupo aditivo dos números complexos (C, +). Exemplo 5 Grupo multiplicativo dos números racionais (sem o zero) (Q*, . ). Exemplo 6 Grupo multiplicativo dos números reais (sem o zero) (R*, . ). Exemplo 7 Grupo multiplicativo dos números complexos (sem o zero) (C*, . ). Exemplo 8 Todos os espaços vetoriais para adição. Exemplo 9 O conjunto das simetrias de um triângulo equilátero. Exemplo 10 GL n (R), x, isto é, o conjunto das matrizes reais quadradas (n x n) inversíveis com n > 1, para multiplicação usual de matrizes. Contraexemplos, ou melhor, não são grupos abelianos: • o conjunto dos naturais com operação adição usual (N, +); • o conjunto dos naturais com operação de potenciação, sendo x* y = xy (N, *); • o conjunto dos reais com operação de multiplicação (R, x); 86 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 • Mn(R), x, isto é, o conjunto das raízes reais quadradas (n x n) para multiplicação usual de matrizes; • o conjunto dos números inteiros Z. Este e a operação de multiplicação não formam uma estrutura de grupo, pois nenhum número inteiro a, exceto 1 e –1, tem inverso em Z. Voltando aos exemplos de grupos, como ilustração, provaremos que o conjunto dos números complexos C, munido da operação de adição, forma uma estrutura de grupo abeliano. Inicialmente, devemos lembrar que um número complexo é representado algebricamente por x = a + bi, em que a e b são números reais e i = −1 . Voltando a abordar os exemplos sobre grupos, verifiquemos se o conjunto dos números complexos com a operação de adição (C, +) é um grupo abeliano. Para tanto, vamos ver quais as propriedades válidas para que os complexos sejam tal grupo. Vamos lá: I. a operação de multiplicação é associativa, isto é: x * (y * z) = (x * y) * z, quaisquer que sejam x, y, z ∈ C. Para verificar a validade da propriedade associativa, vamos definir três números complexos: x = a + bi; y = c + di; z = e + fi. Substituindo, temos: • x * (y * z) = (x * y) * z • x * (c + di + e + fi) = (a + bi + c + di) * z • a + bi + (c + di + e + fi) = (a + bi + c + di) + e + fi • a + c + e + (b + d + f)i = a + c + e + (b + d + f)i Há, portanto, atendimento à propriedade associativa. II. Existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é: x * e = x = e * x, para todo x ∈ A; Então, temos, por um lado: i) x * e = x a + bi + e = a + bi e = a + bi – (a + bi) 87 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra e = 0 e, por outro lado: ii) e * x = x e + a + bi = a + bi e = a + bi – (a + bi) e = 0 Portanto, como i = ii, o elemento neutro existe e é o número 0 (zero). Cada elemento x ∈ A admite um simétrico x´ para a operação *, isto é: x´ * x = e = x * x´, para todo x ∈ C. Por um lado, temos: i) x´ * x = e x´ + a + bi = 0 x´ = – a – bi + 0 x´ = – a – bi Por outro lado, temos: ii) x * x´ = e a + bi + x´ = 0 x´ = – a – bi + 0 x´ = – a – bi 88 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Portanto, como i = ii, todo número complexo tem um simétrico para a operação de adição, que é x´ = – a – bi. A operação * é comutativa, isto é: x * y = y * x para quaisquer que sejam x, y ∈ C. • x * y = y * x • a + bi + c + di = c + di + a + bi • a + c + (b + d)i = a + c + (b + d)i Portanto, vale a propriedade associativa. Podemos concluir, então, que (C, +) é um grupo abeliano. Você encontrará, em seus estudos, várias simplificações de notação. Desse modo, ao invés do grupo G com a operação estrela (G*), muitos autores dizem apenas grupo G quando não existe ambiguidade no que se refere à operação considerada. Geralmente, quando falamos da operação de multiplicação, substitui‑se x*y por x . y ou ainda xy. Nessa operação, o inverso de cada elemento x será x–1. O elemento neutro de um grupo G, genericamente falando, é denotado por e. Quando trabalhamos com a operação aditiva, se temos um grupo abeliano, o elemento neutro é simbolizado por 0 e o inverso é genericamente chamado de elemento simétrico do elemento x e representado por –x. Apresentaremos agora algumas propriedades básicas de um grupo G, usando a notação da multiplicação entre elementos. Se x e y são elementos de G, então, o inverso de xy, isto é, (xy)–1 é dado por: (xy)–1 = y–1 x–1. Como consequência, temos a propriedade aplicada à multiplicação de matrizes n x n: (AB)–1 = B–1 A–1. Outra propriedade diz respeito à lei de cancelamento. Se x e y são elementos de um grupo G, então, xy = xz ⇒ y = z → lei de cancelamento à esquerda yx = zx ⇒ y = z → lei de cancelamento à direita. Essa propriedade é importante na multiplicação de matrizes, na qual, geralmente, AB ≠ BA, mas vale a lei do cancelamento. Se temos uma expressão do tipo: XA = B, em que X, A e B são matrizes n x n e A admite inversa (A–1), para determinarmos a matriz X, usamos a lei do cancelamento à direita, isto é, multiplicamos a expressão XA = B por A–1 pela direita, obtendo XAA–1 = BA–1 ⇒ XI = BA–1 ⇒ X = BA–1, em que I é a matriz identidade de ordem n. A lei geral de associatividade é provada por indução (veja observação a seguir). Consideremos um conjunto finito de elementos x1, x2, ..., xn de um grupo G. Podemos combinar, usando a operação de multiplicação, de diversas formas diferentes, quaisquer que sejam, e obteremos sempre o mesmoresultado. 89 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra observação O princípio da indução finita é um método matemático importante para mostrar, de uma forma dedutiva, se uma indução ou proposição matemática é completamente verdadeira ou falsa. É utilizado para proposições que estão inseridas no conjunto dos números naturais. Vale dizer que esse não é o único método para tal fim. Para verificar a validade de uma propriedade ou proposição, tomemos o conjunto dos números naturais (N) ou inteiros positivos (Z+) e indiquemos P(n) como sendo uma propriedade ou proposição verdadeira ou falsa aplicável aos números naturais. Seguimos então os seguintes passos: 1) determinamos P(1) (para n =1). Se essa proposição for verdadeira, seguimos para o próximo; 2) supondo, então, que P(k), para um k genérico, seja verdadeira, determinamos e avaliamos P(k +1) ∀k ∈ N; 3) se P(k +1) também for verdadeira, a proposição P(n) será verdadeira ∀k ∈ N. saiba mais Para aprofundar seu conhecimento sobre indução finita, veja exemplos e exercícios disponíveis em: E‑CÁLCULO. O princípio da indução finita. São Paulo: USP. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/pif/pif. htm> Acesso em: 02 out. 2012. 5.1 subgrupo O subgrupo de um grupo G possui uma estrutura com a mesma operação definida no grupo G. Os grupos G e {e} são subgrupos do grupo G; são chamados de subgrupos triviais de G. Os demais subgrupos, caso existam, são chamados subgrupos próprios. Consideremos H ≠ ∅ um subconjunto de G se, e somente se: a) a operação entre dois elementos de H ainda pertencer a H, isto é, para todo x, y ∈ H, temos xy ∈ H; b) o elemento neutro pertencer a H; c) o inverso de todo elemento de H também pertencer a H, ou seja, para todo x ∈ H, temos x–1 ∈ H. 90 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Exemplos: 1) Para todo n ∈ N, o conjunto dos múltiplos de n é um subgrupo de (Z, +), ou seja, nZ = {nx / x ∈ Z}. 2) Todos os conjuntos de raízes de índice n > 1 são subgrupos de C – {0}. 3) Sejam H1, H2, ..., Hn subgrupos de G. Então, H = H1 ∩ H2 ∩ ... ∩ Hn é um subgrupo de G. 4) Seja G o conjunto de todas as retas do plano com coeficiente angular não nulo. G = {f: R → R / f(x) = ax + b, a ≠ 0 e a, b ∈ R} é um grupo com a operação composição de funções. Tomemos H como sendo o conjunto das retas do plano com coeficiente angular igual a 1, isto é, H = {f : R → R / f(x) = 1x + b; b ∈ R}. Então, H é subgrupo de G. 5.2 semigrupo Um semigrupo é um conjunto S com uma operação binária2, na qual se verificam as seguintes propriedades: a) Sejam a, b ∈ S o resultado da operação de a e b pertencente a S (a * b ∈ S), que é denominada propriedade de fechamento. b) Para qualquer a, b, c, ∈ S, temos: (a*b)* c = a* (b*c) = a* b* c, que é denominada propriedade associativa. Exemplo: O conjunto S = {2n / n ∈ N*}, conjunto dos números pares sem o zero, é um semigrupo comutativo em relação à multiplicação. Nenhuma outra restrição é colocada com relação a um semigrupo. Sendo assim, não é necessário se ter um elemento neutro. Logo, um conjunto que é fechado para uma determinada operação, que possui propriedade associativa, é um semigrupo, que, com um elemento neutro, será chamado de monoide, como veremos a seguir. 5.3 Monoide Um monoide é um semigrupo com elemento neutro. Dizemos que M é um monoide comutativo se (M,*) for comutativo. 2 Dado um conjunto B não vazio, uma função *: B × B → B é chamada de operação binária sobre o conjunto B, definindo, assim, uma estrutura algébrica [B,*]. 91 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra Exemplos: 1) as operações de multiplicações sobre os naturais; 2) as operações de multiplicações sobre os inteiros; 3) as operações de multiplicações sobre os racionais; 4) as operações de multiplicações sobre os reais. observação Seja (N*, *), que corresponde ao conjunto dos números naturais sem o zero com a operação estrela. Definimos * da seguinte forma: dados a, b ∈ N, a* b = ab, é definida a propriedade de potenciação sobre os naturais sem o zero, que não é associativa, nem comutativa, nem possui elemento neutro. 6 anéis E Corpos Enunciaremos, a seguir, as propriedades que deverão ser satisfeitas para que um conjunto munido de duas operações (em particular nos restringiremos à adição e à multiplicação) tenha uma estrutura de anel. Buscaremos apresentar tais propriedades de forma mais objetiva para favorecer a compreensão dessa estrutura. Por meio da extensão das propriedades de anel para anel com unidade, anel comutativo e domínio de integridade, definiremos uma estrutura de corpo, de modo que, a cada nova estrutura, serão satisfeitas, além das propriedades anteriores, mais algumas novas propriedades. Seja A um conjunto não vazio, no qual estejam definidas duas operações: adição e multiplicação. Chamaremos (A, +, .) de anel se as seguintes propriedades forem verificadas para quaisquer a, b, c ∈ A: I. associativa da adição: a + (b + c) = (a + b) + c; II. existe, em A, o elemento neutro 0 para a adição, isto é: a + 0 = a = 0 + a; III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico, denotado por ‑a para a adição, isto é: ‑a + a = 0 = a + (‑a), para todo a ∈ A; IV. comutativa da adição: a + b = b + a; 92 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 V. associativa da multiplicação: a.(b.c) = (a.b)c; VI. distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita): a.(b + c) = a.b + a.c; (a + b).c = a.c + b.c. Se forem satisfeitas as propriedades anteriores, diremos que A, munido das operações de adição e multiplicação, forma uma estrutura de anel, ou simplesmente que (A, +, .) é um anel. 6.1 anel com identidade Se um anel satisfizer a propriedade: • existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a . 1 = a = 1. a, para qualquer a ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com unidade ou anel com identidade. 6.2 anel comutativo Se um anel satisfizer a propriedade: • a . b = b . a, para quaisquer a, b ∈ A, dizemos que (A, –, .) é um anel comutativo. 6.3 domínio de integridade Se um anel satisfizer a propriedade: • a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel sem divisores de zero. Se (A, +, .) é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é um domínio de integridade. 6.4 Corpo Finalmente, se um domínio de integridade (A, +, .) satisfaz a propriedade: • para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, tal que a. b = b. a = 1, dizemos que (A, +, .) é um corpo ou que tem uma estrutura de corpo, pois este possui um elemento inverso com relação à multiplicação. Vejamos agora alguns exemplos das estruturas definidas anteriormente. Exemplo 1 Anel comutativo dos números inteiros (Z, +,. ). 93 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra Exemplo 2 Anel comutativo dos números racionais (Q, +,. ). Exemplo 3 Anel comutativo dos números reais (R, +, .). Exemplo 4 Anel comutativo dos números complexos (C,+, .). Exemplo 5 Todos os anéis numéricos Z, Q, R e C são anéis de integridade ou domínios de integridade. Observe que todos os exemplos citados são anéis, anéis com unidade, anéis comutativos e domínios de integridade. Exemplo 6 O conjunto Q dos números racionais, com as operações p q p q pq p q qq + = +‘ ‘ ‘ ‘ ‘ e p q p q + ‘ ‘ . A igualdade p q p q pq p q= ↔ = ‘ ‘ ‘ ‘ . O simétrico de p q é − p q . O zero é 0 q , para q ≠ 0; o inverso do número racional p q ≠ 0 é q p . Exemplo 7 Tomemos A M a a a a a a a a= = ∈ 2 11 12 21 22 11 12 21 22( ) / , , ,� � , o conjunto das matrizes (2 x 2) com termos reais. Definindo‑se para todas as a a a a b b b b A11 12 21 22 11 12 21 22 ∈, , a soma e o produto, respectivamente por: a a a a b b b b a b a b a b 11 12 21 22 11 12 21 22 11 11 12 12 21 2 + = + + + 11 22 22a b+ 94 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 e a a a a b b b b a b a b a b11 12 21 22 11 12 21 22 11 11 12 12 11 12 ⋅ = + + aa b a b a b a b a b 12 22 21 11 22 21 21 12 22 22+ + , temos (M2 (R); +, .) o denominado anel das (2 x 2) – matrizes reais. Exemplo 8 Corpo dos números reais (R, +, .). Exemplo 9 O corpo Z2 ={0, 1}, formado apenas por dois elementos distintos 0 e 1, com as operações 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0.0 = 0.1 = 1.0 = 0 e 1.1 = 1. Aqui, o simétrico de cada elemento é ele próprio (e o inverso também). Exemplo 10 No conjunto Q(t), das funções racionais r t p t q t ( ) = ( )( ) , em que p e q são polinômios com coeficientes racionais, sendo q não identicamente nulo, tem‑se p t q t p t u t q t u t ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) . . . As operações em Q(t) são definidas de maneira usual. Exemplo 11 Para este exemplo, retomaremos o conceito de congruência módulo m. Dizemos que a é congruente a b módulo m, isto é, a ≡ b(mod m), se existir um inteiro k, tal que a = b + km. Note que b equivale ao resto da divisão de a por m. Com esse conceito, podemos definir Z / 〈m〉 como sendo o conjunto formado pelos restos da divisão de um número inteiro por m. Desse modo, temos Z / 〈4〉 = {0, 1, 2, 3}, visto que o menor resto de uma divisão por 4 é 0 e o maior possível é 3. O conjunto Z / 〈4〉, com as operações de adição e multiplicação, isto é, (Z / 〈4〉, +, .) é um exemplo de um anel que não é domínio de integridade, que, por sua vez, não pode ser um corpo. Lembrando que, para ser domínio de integridade, é preciso satisfazer a condição: a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A. Nessa categoria, estão todos os casos de Z / 〈m〉, para m não primo. Avaliando a tabela multiplicativa, em seguida, você pode ver que 2 • 2 = 0 e, como 2 ≠ 0, Z / 〈4〉 não é domínio de integridade. A seguir, apresentamos as tabelas de operações de Z / 〈4〉, nas quais aparecem apenas os restos das divisões de qualquer número inteiro por 4. 95 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra Tabela 4 Tabela 5 + 0 1 2 3 • 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 As operações dos elementos de Z / 〈4〉 são feitas da seguinte maneira: Adição: Tomamos como exemplo a operação entre o número 7 e o número 5. O resto da divisão de 7 por 4 resulta em 3, que é o que aparece na parte azul da tabela, e o resto da divisão de 5 por 4 resulta em 1, que também aparece na parte azul da tabela. A soma dos restos resulta em 4, que, dividido por 4, tem como resultado resto 0. Ao cruzarmos os valores em azul da tabela, 3 com 1, temos, então, resultado 0. Logo, basta operarmos com os restos de dois números para sabermos o resultado do resto da soma, não sendo necessário somar os dois números em si. Apresentamos, em seguida, outro exemplo, agora buscando o resto da divisão da soma dos números (125 e 87) por 4. 125 → Resto = 1 87 → Resto = 3 Somando os restos: 1 + 3 = 4 → Resto = 0 Logo, a soma dos restos da divisão de 128 e 87 por 4 resulta em um resto igual a 0. Na tabela, podemos ver esse resultado, ao cruzar, na parte em azul, o número 3 com o número 1. Se considerarmos 125 + 87 = 212, ao dividirmos por 4, obteremos também resto 0, o que ilustra que podemos trabalhar com a soma do resto de cada número individualmente, em vez de operarmos com o resultado da soma dos números em si. Multiplicação: Tomamos como exemplo a operação entre o número 9 e o número 11. Faremos da mesma maneira que na adição, só que agora considerando o produto entre os restos da divisão desses dois números pelo número 4. 9 → Resto = 1 11 → Resto = 3 96 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Multiplicando os restos: 1 x 3 = 3. Nesse caso, ao dividirmos 3 por 4, obteremos 0 no quociente e resto 3, que é o valor que vemos na tabela, ao cruzarmos, em vermelho, os números 1 e 3. Observe que, se multiplicarmos 9 x 11 = 99, em que 99= 4 x 24 + 3, isto é, o resto também é 3. Isso ilustra também, assim como no caso da adição, que não precisamos trabalhar com os números em si para a realização de tais operações, mas apenas com seus restos. Exemplo 12 O conjunto Z / 〈5〉 , com as operações de adição e multiplicação, isto é, (Z / 〈5〉, +, .) é um exemplo de um anel que, mais do que ser domínio de integridade, é um corpo, pois obedece a condição: a. b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A. Nessa categoria, estão todos os casos de Z / 〈p〉, para p primo. A seguir, apresentamos as tabelas de operações de Z / 〈5〉 , em que aparecem apenas os restos das divisões de qualquer número inteiro por 5. Tabela 6 Tabela 7 + 0 1 2 3 4 • 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 As operações são efetuadas como no exemplo anterior, com o resto da divisão de cada elemento. O que vemos de diferente nesse último caso, e que se estende para todos os Z / 〈p〉, com p primo, é que, na operação de multiplicação, jamais ocorrerá a . b = 0 sem que tenhamos ou a = 0 ou b = 0. Essa propriedade faz com que o conjunto dos Z / 〈p〉 faça parte das estruturas de corpos. Exemplo 13 Vejamos agora o corpo dos números complexos. Vamos verificar cada uma das propriedades de corpo para esse conjunto. A operação * é associativa, isto é: x * (y * z) = (x * y) * z, quaisquer que sejam x, y, z ∈ C. Para verificar a sua validade, vamos definir três números complexos: x = a + bi; y = c + di; z = e + fi. • x * (y * z) = (x * y) * z • x * (c + di + e + fi) = (a + bi + c + di) * z • a + bi + (c + di + e + fi) = (a + bi + c + di) + e + fi • a + c + e + (b + d + f)i = a + c + e + (b + d + f)i 97 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra Portanto, satisfaz a propriedade associativa. Existe, em, A o elementoneutro e para a operação *, isto é: x * e = x = e * x, para todo x ∈ C. Por um lado temos: i) x * e = x a + bi + e = a + bi e = a + bi – (a + bi) e = 0 Por outro lado, temos: ii) e * x = x e + a + bi = a + bi e = a + bi – (a + bi) e = 0 Portanto, como i = ii, o elemento neutro existe e é número 0. Cada elemento x ∈ A admite um simétrico x´ para a operação *, isto é: x´ * x = e = x * x´ para todo x ∈ C. Por um lado, temos: x´ * x = e x´ + a + bi = 0 x´ = – a – bi + 0 x´ = – a – bi e, por outro lado: x * x´= e a + bi + x´ = 0 x´ = – a – bi + 0 x´ = – a – bi 98 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Portanto, como i = ii, todo número complexo tem um simétrico para a operação de adição, que é x´ = – a – bi. A operação * é comutativa, isto é: x * y = y * x, quaisquer que sejam x, y ∈ C. • x * y = y * x • a + bi + c + di = c + di + a + bi • a + c + (b + d)i = a + c + (b + d)i Até aqui, mostramos que C é um grupo comutativo em relação à adição. Associativa da multiplicação: x. (y. z) = (x. y)z: • x. (y. z) = (x. y)z • (a + bi) [(c + di)(e + fi)] = [(a + bi)(c + di)] (e + fi) • (a + bi)(ce + cfi + dei – df)=(ac + adi + bci – bd)(e + fi) • ace + acfi + adei – adf + bcei – bcf – bde – bdfi = ace + adei + bcei – bde + acfi – adf – bcf – bdfi • ace – adf – bcf – bde + (acf + ade + bce – bdf)i = ace – adf – bcf – bde + (acf + ade + bce – bdf)i Portanto, vale a associativa na multiplicação. Distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita): x . (y + z) = x.y + x.z (esquerda): • (a + bi)(c + di + e + fi) = (a + bi)(c + di) + (a + bi)(e + fi) • (a + bi)(c + e + di + fi) = ac + adi + bci – bd + ae + afi + bei – bf • ac + ae – bd – bf + (ad + af + bc + be)i = ac + ae – bf – bd + (ad + bc + af + be)i Portanto, vale a distributiva à esquerda. Vamos, agora, verificar a propriedade distributiva da multiplicação à direita, isto é: • (x + y). z = x . z + y. z (direita) • (a + bi + c + di)(e + fi) = (a + bi)(e + fi)+(c + di)(e + fi) • ae + bei + ce + dei + afi – bf + cfi – df = ae + afi + bei – bf + ce + cfi + dei ‑ df • ae + ce – bf – df + (be + de + af + cf)i = ae + ce – bf – df + (af + be + cf + de)i 99 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra Portanto, vale a distributiva à direita. Mostramos até aqui que (C, +,.) é um anel. Existe 1 ∈ A, 0≠1, tal que x . 1 = x = 1. x para qualquer x ∈ C: • (a + bi)1= a + bi = 1 (a + bi) Portanto, (C, +, .) é um anel com unidade. x . y = y . x para quaisquer a, b ∈ A: • (a + bi)(c + di) = (c + di)(a + bi) • ac + adi + bci – bd = ac + cbi + adi – bd • ac – bd + (ad + bc)i = ac – bd+(ad + cb)i Portanto, (C, +,.) é um anel comutativo. x . y = 0 → x = 0 ou y = 0 para quaisquer x, y ∈ C. 0 . (c + di) = 0c + 0di = 0 (a + bi) . 0 = a0 + 0bi = 0. Essa propriedade é validada imediatamente, já que a e b são números reais. Portanto, (C, +,.) é um domínio de integridade. Para qualquer x ∈ C, x ≠ 0, existe x` ∈ C, tal que x . x´ = x´. x = 1. a bi a b i a b i a bi a bi a bi a bi a bi +( ) +( ) = + = + → + − − = − ’ ’ ’ ’ 1 1 aa b2 2+ a b i a a b b a b i’ ’+ = + − +2 2 2 2 Mostramos, assim, que (C, +, .) é um corpo, ou seja, o conjunto dos números complexos, munido da adição e da multiplicação, forma uma estrutura de corpo. Retomando conceitos: Para termos um corpo, precisamos de um anel (A), conjunto não vazio, em que estejam definidas duas operações (adição e multiplicação) e se verifiquem as propriedades: associativa (para a adição 100 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 e multiplicação); comutativa (para a adição); distributiva (da multiplicação em relação à adição), e, além disso, que admita um único elemento neutro (para adição) e simétrico (para multiplicação). Se existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a . 1 = a = 1 . a, para qualquer a ∈ A, temos um anel com unidade. Se tivermos um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero, dizemos ter um domínio de integridade. Finalmente, se dado um domínio de integridade (A, +, .), tal que, para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, e a . b = b . a = 1, dizemos que (A, +, .) é um corpo, ou que (A, +, .) tem uma estrutura de corpo, pois possui um elemento inverso com relação à multiplicação. Anéis Anéis com identidade Anéis comutativos com identidade Domínios de integridade (n não primo) Corpos QR C, Z / 〈p〉 (p primo) M, (Z) Z / 〈n〉 Z Figura 20 Nessa representação, temos bem clara a divisão das estruturas, vemos os corpos fazendo parte do domínio de integridade. Podemos ver que fazem parte dos corpos os conjuntos dos números reais, racionais e complexos, mas também faz parte o Z 〈p〉 com p primo, pois, como vimos, esse conjunto corresponde ao resto da divisão de dados números por p. Contudo, como vimos no exemplo de Z / 〈5〉, que é primo, ao efetuarmos a operação de multiplicação de dois elementos desse conjunto, tal que a . b = 0, isso só ocorre quando a = 0 ou b = 0, o que situa esse conjunto na estrutura domínios de integridade. Finalmente, o que o enquadra nos corpos é o fato de que, nesse conjunto, existem elementos a e b, tal que ab = ba = 1, ou seja, o elemento possui um inverso. O domínio de integridade faz parte dos anéis comutativos com identidade, e vemos inserido nessa estrutura o conjunto dos números inteiros Z, o qual obedece a condição de que a . b = 0 só ocorre quando a = 0 ou b = 0. Entretanto, o fato de não haver dois elementos no conjunto dos números inteiros, tal que ab = ba = 1 (pois para satisfazer essa relação, b teria de ser o inverso de a, e o inverso de um número inteiro não é um número inteiro) faz com que os números inteiros não estejam inseridos na estrutura de um corpo. Os anéis comutativos com identidade fazem parte dos anéis com identidade, diferenciando‑se pelo fato de, nessa estrutura, a operação de multiplicação obedecer a condição de comutação (ab = ba). 101 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra Temos na figura, nessa estrutura, o conjunto Z / 〈n〉 para n não primo, pois, como vimos em Z / 〈4〉, esse caso não obedece a condição de que a . b = 0 só ocorre quando a = 0 ou b = 0, pois para a = 2 e b = 2, obtivemos um resultado 0. Os anéis com identidade fazem parte dos anéis, diferenciando‑se apenas no fato de que, nessa estrutura, o conjunto deve ter um termo neutro. Vemos, nessa estrutura, o conjunto formado por matrizes quadradas (ordem n), no qual sabemos que o termo neutro de uma matriz quadrada é a matriz identidade. Contudo, as matrizes não se encaixam nos anéis comutativos com identidade, pois a multiplicação destas não obedece a lei de comutação. Por fim, temos os anéis, que devem ter definidas as operações de adição e multiplicação com as propriedades: associativa (para a adição e multiplicação); comutativa (para a adição); distributiva (da multiplicação em relação à adição), mas não precisa necessariamente satisfazer as condições das outras estruturas. Um exemplo de anéis que não se encaixam nas outras estruturas são matrizes retangulares, emque não há um termo neutro para multiplicação, isto é, não conseguimos construir uma matriz identidade se a matriz não for quadrada. resumo Nesta unidade estudamos e retomamos os principais conceitos de estruturas algébricas de grupos, corpos e anéis. Quanto às principais características de um grupo, vimos que um conjunto G é um grupo, em relação a uma operação * ou (G*), se: 1) a operação * é associativa, isto é: a * (b * c) = (a * b) * c, quaisquer que sejam a, b, c ∈ G; 2) existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é: a * e = a = e * a, para todo a ∈ G; 3) cada elemento a ∈ A admite um simétrico a´ para a operação *, isto é: a´ * a = e = a * a´, para todo a ∈ G. Se, além disso, a operação * é comutativa, isto é: a * b = b * a, quaisquer que sejam a, b ∈ G, então (G, *) é um grupo abeliano ou comutativo. Lembrando de que conceito de subgrupo, dado H, H ≠ ∅, um subconjunto de G, H será subgrupo se, e somente se: a) a operação entre dois elementos de H ainda pertencer a H; isto é, para todo x, y ∈ H, temos xy ∈ H; 102 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 b) o elemento neutro pertencer a H; c) o inverso de todo elemento de H também pertencer a H, ou seja, para todo x ∈ H, temos x–1 ∈ H. Lembremos ainda do conceito de semigrupo: um conjunto S com uma operação binária, em que se verificam as seguintes propriedades: a) Sejam a, b ∈ S o resultado da operação de a e b pertencente a S (a * b ∈ S), que é denominada propriedade de fechamento. b) Para qualquer a, b, c ∈ S, temos: (a * b) * c = a * (b * c) = a * b * c, que é denominada propriedade associativa. Dentro da classificação de semigrupos, vale lembrarmos ainda do monoide, que é um semigrupo com elemento neutro. Relembremos, agora, as principais características e propriedades de um anel. Seja A um conjunto não vazio no qual estejam definidas duas operações: adição e multiplicação. Chamaremos (A, +, .) a um anel se as seguintes propriedades forem verificadas para quaisquer a, b, c ∈ A: 1) associativa da adição: a + (b + c) = (a + b) + c; 2) existe, em A, o elemento neutro 0 para a adição +, isto é: a + 0 = a = 0 + a; 3) cada elemento a ∈ A admite um simétrico, denotado por – a para a adição, isto é: – a + a = 0 = a + (– a), para todo a ∈ A; 4) comutativa da adição: a + b = b + a; 5) associativa da multiplicação: a . (b.c) = (a.b) . c; 6) distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita): a . (b + c) = a . b + a . c; (a + b) . c = a . c + b . c. Teremos um anel com identidade se, além das propriedades de um anel, ainda for satisfeita a propriedade: existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a. 1 = a = 1. a, para qualquer a ∈ A. Será um anel comutativo se, além das anteriores, ainda satisfizer a propriedade: a . b = b . a, para quaisquer a, b ∈ A. 103 Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 Álgebra Será um domínio de integridade se, além de tudo, ainda satisfizer esta propriedade: a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A. Teremos um corpo se um domínio de integridade satisfizer a propriedade: para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, tal que a . b = b . a = 1. Exercícios Questão 1. As afirmações a seguir são de estrutura de grupo, anéis e corpos. I. O subconjunto H= { , , }0 2 4 não é subgrupo do grupo (Z5, +). II. O subconjunto H= { , , }0 2 4 não é subgrupo do grupo (Z6, +). III. 3Z = {3x ; x ∈ Z} é subanel do anel (Z, +, • ). IV. O anel ( Z7,+, • ) não é um anel de integridade. Assinale a alternativa com os itens incorretos: A) I. B) II. C) I e III. D) II e IV. E) III e IV. Resposta correta: alternativa D. Análise das afirmativas I – Afirmativa correta. Justificativa: o subconjunto H= { , , }0 2 4 não é um subgrupo do grupo (Z5,+), pois, por exemplo, 2 4 1+ = ∉H (resto da divisão por 5). II – Afirmativa incorreta. Justificativa: o subconjunto H= { , , }0 2 4 é um subgrupo do grupo (Z6,+), pois a soma de quaisquer dois dos elementos de H é também um elemento de H. 104 Unidade III Re di m en sio na do e R en om ea do - s ol ic ita çã o: A m an da / Di ag ra m aç ão : M ár ci o - 23 /0 4/ 20 13 0 0 0 0 2 2 0 2 0 4 4 0 4 2 2 4 + = ∈ + = + = ∈ + = + = ∈ + = ∈ H H H H 2 4 4 2 0+ = + = ∈H (resto da divisão por 6). 4 4 2+ = ∈H (resto da divisão por 6). III – Afirmativa correta. Justificativa: 3Z = {3x ; x ∈ Z} é um subanel do anel (Z, +, • ), pois ∀ 3x, 3y ∈ 3Z, tem‑se: · 3x + (–3y) = 3x – 3y = 0 ∈ 3Z (–3y é o simétrico aditivo de 3y). · 3x . (3y) = 3 . 3 . x . y = 3 . (3xy), e como “3xy” é um número inteiro, 3 . (3xy) ∈ 3Z. IV – Afirmativa incorreta. Justificativa: o anel ( Z7,+, • ) é um anel de integridade, pois a adição é associativa, é comutativa, admite elemento neutro, e todo elemento de � 7 tem simétrico aditivo. A multiplicação é associativa, é comutativa, admite elemento neutro e é distributiva em relação à adição. Se x ⨂ y = 0A, então, ou x = 0A ou y = 0A. Questão 2. (ENADE 2005, Matemática) A respeito da solução de equações em estruturas algébricas, assinale a opção incorreta. A) Em um grupo (G, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a G. B) Em um anel (A, +, •), a equação a + X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A. C) Em um anel (A, +, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A. D) Em um corpo (K, +, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a K, a ≠ 0. E) Em um corpo (K, +, •), a equação a•X + b = c tem solução para quaisquer a, b e c pertencentes a K, a ≠ 0. Resolução desta questão na plataforma.
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