Lista de exercicios 1 - Probabilidade e Estatística

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LISTA DE EXERCICIOS: MAT 013
Profs. Nancy Chachapoyas e José Vidarte
O objetivo dessa lista é auxiliar e direcionar aos estudos. Muitos de estes
exercícios não são triviais e não creio serem suficientes para sua avaliação. Além
disso, essa lista não conta com um gabarito, a resolução vai por conta do leitor.
Procure outros exercícios em outras referências. Se for necessário vou atualizar
esta lista, avisando de tal fato a todos.
Se encontrar algum erro, por favor me avise.
1 Estatística descritiva
1. Uma pesquisa com uma amostra de usuários de transporte coletivo na
cidade de São Paulo indagou sobre os diferentes tipos usados nas suas
locomoções diárias. Dentre ônibus, metros e trem, o número de diferentes
meios de transporte utilizados foi o seguinte: 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1 2, 3, 1,
1, 1, 2, 2, 3, 1,1,1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2 e 3.
(a) Organize uma tabela de freqüências
(b) Faça uma respresentação gráfica.
(c) Identifique a variável e calcule a média, a mediana, a variância e o
desvio padrão.
2. Um novo medicamento para cicatrização está sendo testado e um experi-
mento é feito para estudar o tempo (em dias) de completo fechamento em
cortes provenientes de cirugia. Uma amostra em trinta cobaias formeceu os
valores: 15, 17, 16,15,17,14,17,16,16,17,15,18,14,17,15,14,15,16,17,18,18,17,
15,16,14,18,18,16,15 e 14.
(a) Organize uma tabela de freqüências
(b) Faça uma respresentação gráfica.
(c) Identifique a variável e calcule a média, a mediana, a variância e o
desvio padrão.
3. Um questionário foi aplicado aos dez funcionários do setor de contabilidade
1
de uma empresa fornecendo os dados apresentados na tabela.
Funcionário Curso Idade Salário Anos na
empresa
1 superior 34 1100,00 5
2 superior 43 1450,00 8
3 médio 31 960,00 6
4 médio 37 960,00 8
5 médio 24 600,00 3
6 médio 25 600,00 2
7 médio 27 600,00 5
8 médio 22 450,00 2
9 fundamental 21 450,00 3
10 fundamental 26 450,00 3
(a) Classifique cada uma das variáveis.
(b) Organize uma tabela de freqüências para cada variável.
(c) Faça uma representação gráfica para cada variável.
(d) Calcule a média, a mediana, a variância e o desvio padrão para cada
variável.
4. Os trinta pacientes de uma clínica médica tiveram o seu nível de potássio
no plasma medido. Os resultados foram os seguintes
Nível freqüência
2,25|- 2,55 3
2,55|- 2,85 5
2,85|- 3,15 4
3,15|- 3,45 5
3,45|- 3,75 6
3,75|-4,05 7
(a) Identifique a variável.
(b) Complete a tabela de freqüências.
(c) Construa o histograma.
(d) Calcule a média, mediana, variância, desvio-padrão.
(e) Qual é a porcentagem dos valores que estão acima do nível 3,15.
5. Considere o seguinte histograma do peso de uma amostra de 50 alunos,
onde as densidades de freqüências são:
∆1 = 0, 016, ∆2 = 0, 044, ∆3 = 0, 016, ∆4 = 0, 012, ∆5 = 0, 010, ∆6 =
0, 002
2
Variável
∆
40
0.01
50
0.02
60
0.03
70
0.04
80
0.05
90 100
(a) Calcule a média, mediana, variância, desvio-padrão.
(b) Qual é a porcentagem dos valores que estão acima do nível 70.
6. Verifique as seguintes fórmulas para dados tabulados.
(a) σ2 =
1
N
[Σx2i .fi −
(Σxi.fi)
2
N
]
(b) S2 =
1
n− 1 [Σx
2
i .fi −
(Σxi.fi)
2
n
]
2 Probabilidade
1. Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados
esportistas. temos ainda que 500 alunos são do curso de biologia diurno,
700 da biologia noturno, 100 são esportistas e da biologi diurno e 200
são esportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido ao acaso e
pergunta-se a probabilidade de:
(a) Ser esportista
(b) Ser esportista e aluno da biologia noturno.
(c) Não ser da biologia.
(d) Ser esportista ou aluno da biologia.
(e) Não ser esportista nem aluno da biologia.
2. Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que P (A) =
0, 2, P (B) = p, P (A ∪B) = 0, 5 e P (A ∩B) = 0, 1. Determine p.
3
3. Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P (A) = 0, 3 e
P (B) = 0, 5. calcule
(a) P (A ∩B)
(b) P (A ∪B)
(c) P (A|B)
(d) P (Ac)
(e) P ((A ∪B)c)
4. Se P (A ∪ B) = 0, 8, P (A) = 0, 5 e P (B) = x, determine o valor de x no
caso de
(a) A e B serem mutuamente exclusivos.
(b) A e B serem independentes.
5. Se P (B) = 0, 4, P (A) = 0, 7 e P (A ∩B) = 0, 3. Calcule P (A|Bc)
6. Verifique: Se A, B e C são três eventos quaisquer, então
P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C)
.
7. Suponha que A,B,C sejam eventos tais que P (A) = P (B) = P (C) =
1/4, P (A∩B) = P (C ∩B) = 0 e P (A∩C) = 1/8. Calcule a probabilidade
de que ao menos um dos eventos A,B ou C ocorra.
8. Verifique que se A e B são independentes então Ac e Bc também são
independentes.
9. Verifique: Se A e B são eventos independentes e disjuntos, então P (A) = 0
ou P (B) = 0
10. Se P (A) = P (B) = P (A|B) = 1/2. Calcular P [(A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B)].
11. Se P (B) = P (A|B) = P (C|A ∩B) = 1/2. Calcule P (A ∩B ∩ C).
12. Suponha queB1, B2 eB3 são eventos mutuamente excludentes. Se P (Bj) =
1/3 e P (A/Bj) =
j
6 , j = 1, 2, 3, calcule P (A).
13. Seja E : lançar dois dados, e
A = {(x1, x2)|x1 + x2 = 8}
B = {(x1, x2)|x1 = x2}
C = {(x1, x2)|x1 + x2 = 10}
D = {(x1, x2)|x1 > x2}
E = {(x1, x2)|x1 = 2x2}
Calcule
(a) P (A|B)
4
(b) P (C|D)
(c) P (D|E)
(d) P (A|C)
(e) P (A|B ∩ C)
(f) P (A ∪B|C ∩D)
14. Dado P (A) = 12 , P (B) =
1
3 , P (A ∩B) = 14 . Calcular:
(a) P (A ∪B)
(b) P (A|B)
(c) P (B|A)
(d) P ((A ∪B)|B)
15. A probabilidade de o aluno X resolver esse problema é
3
5
e do aluno Y é
4
7
, qual é a probabilidade de que o problema seja resolvido?
16. Um número é escolhido ao acaso no conjunto {1, 2, 3, . . . , 19, 20}. Verificar
se são independentes os eventos:
(a) A: o número é multiplo de três; B: o número é par.
(b) C: o número é primo; D: o número é impar.
17. Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte informação:
Homens Mulheres
Menores 5 3
Adultos 5 2
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:
(a) Qual é a probabilidade de ser homem?
(b) Qual é a probabilidade de ser menor ou mulher?
(c) Sabendo que o elemento escolhido é adulto, qual é a probabilidade
de ser homem?
18. O São Paulo Futebol Clube ganha com probabilidade 0,7 se chove e com
0,8 se não chove. Em Setembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O São
Paulo ganhou uma partida em setembro, qual é a probabilidade de ter
chovido nesse dia?
19. Considere um conjunto de 4 números dos quais nenhum é zero, dois são
positivos e dois negativos. Sorteamos ao acaso, com reposição, 2 números
desse conjunto. Determine a probabilidade de
(a) Um deles ser negativo
5
(b) O quociente ser negativo.
(c) Os dois números terem o mesmo sinal.
20. Verifique se são válidas as afirmações:
(a) Se P (A) = 13 e P (B|A) = 35 então A e B são disjuntos.
(b) Se P (A) = 12 e P (B|A) = 1 e P (A|B) = 12 então A não pode estar
contido em B.
21. Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do
total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas
respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e
verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha
vindo da máquina B?
22. Você entrega a seu amigo uma carta, destinada àsua (seu) namorada(o) ,
para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode se esquecer com proba-
bilidade 0,1. Se não se esquecer, a probabilidade de que o correio estravie
a carta é de 0,1. Finalmente, se foi enviado pelo correio a probabilidade
de que a namorada(o) não receba é de 0,1.
(a) Qual é a probabilidade da(o) namorada(o) receber a carta?
(b) Qual é a probabilidade da(o) namorada(o) não receber a carta.
(c) Sua (seu) namorada(o) não recebeu a carta, qual é a probabilidade
de seu amigo ter esquecido.23. Numa certa população, a probabilidade de gostar de teatro é
1
3 enquanto
que a de gostar de cinema é
1
2 . Determine a probabilidade de gostar de
teatro e não de cinema nos seguintes casos:
(a) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos.
(b) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes.
(c) Todos os que gostam de teatro gostam de cinema.
(d) A probabilidade de gostar de teatro e de cimema é
1
8
(e) Dentre os que gostam de cinema, a probabilidade de não gostar de
teatro é
3
4
24. São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma
vermelha. A urna B contém duas bolas pretas e três vermelhas. Uma
bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na urna B. Uma bola é
então extraída ao acaso, da urna B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-
se que a segunda foi preta.
6
25. Apenas 1 em cada 10 personas de uma população tem tuberculose. Das
pessoas que têm tuberculose, 80% reagem positivamente ao teste Y , en-
quanto apenas 30% dos que não têm tuberculose reagem positivamente.
Uma pessoa da população é selecionada ao acaso, e o teste Y é aplicado.
Qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu
positivamente ao teste?
26. Um dado atirado n vezes n vezes. Qual é a probabilidade de que “6′′
apareça ao menos uma vez nas n jogadas?
R. 1− ( 56)n .
27. Cada uma de duas pessoas joga três moedas equilibradas. Qual é a prob-
abilidade de que elas obtenham o mesmo número de caras?
R.
5
16 .
28. Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números diferentes,
qual é a probabilidade de uma face seja 4?
R.
1
3 .
29. Sabe-se que na fabricação de um certo artigo, defeitos de um tipo ocorrem
com probabilidade 0, 1 e defeitos de outro tipo ocorrem com probabilidade
0, 05. Qual será a probabilidade de que:
(a) Um artigo não tenha ambos tipos de defeitos?
(b) Um artigo seja defeituoso?
(c) Um artigo tenha apenas um tipo de defeito, sabido que é defeituoso?
R. (a)0.995, (b)0.145, (c)0.14
30. Se cada elemento de um determinate de segunda ordem for zero o um, qual
será a probabilidade de que o valor do determinante seja positivo? (Admita
que os elementos do determinante sejam escolhidos independentemente, a
cada valor se atribuindo a probabilidade 1/2.)
R.
3
16 .
31. Um montagem eletrônica é formada de dois sistemas A e B. De proced-
imentos anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas:
P (A falhe) = 0, 20 e P (A e B falhem) = 0, 15, P (B falhe sozinho).
Calcule as seguintes probabilidades:
(a) P (A falhe |B tenha falhado).
(b) P (A falhe sozinho).
R. (a)0.30, (b)0.05, (c)0.14
Bom trabalho a todos.
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	Estatística descritiva
	Probabilidade