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Parte 1 - Ca´lculo Diferencial em R
Análise Matemática I - 2013/14
LEI
Definição 1. Seja f uma função real de variável real. Define-se por domínio de f ,
comummente denotado por Df , o conjunto de todos os pontos onde f está definida,
e por contradomínio ou imagem, o conjunto das imagens de todos os pontos do
domínio, ou seja, D′f = {y ∈ R : y = f(x), x ∈ Df}.
1. Para as funções que se seguem, indique o domínio e o contradomínio:
(a) f(x) = x2;
(b) f(x) = x3;
(c) f(x) = x2 + 6;
(d) f(x) = 4− x2;
(e) f(x) =
1
x
;
(f) f(x) =
1
x+ 2
;
(g) f(x) =
√
x;
(h) f(x) =
√
2− x;
(i) f(x) =
√
x+ 1;
(j) f(x) = 3
√
x+ 1;
(k) f(x) =
1
4− x2 ;
(l) f(x) = ex;
(m) f(x) = e−x;
(n) f(x) = e1/x;
(o) f(x) = ln(x);
(p) f(x) = ln(x− 3);
(q) f(x) = sen (x);
(r) f(x) = cos (x);
(s) f(x) = tg(x);
(t) f(x) = cotg(x);
(u) f(x) =
1
sen(x)
.
2. Apresente um esboço para o gráfico de cada uma das funções apresentadas no exer-
cício anterior.
3. Indique o domínio e o contradomínio da função f , admitindo que f definida pela se-
guinte regra f(x) = e
√
−x2+2x+1.
4. Localize o vértice da parábola dada por f(x) = 2x2 + 3x− 20.
5. Quais as soluções da equação x2 − 2x+ 1 = 0.
6. Considere f(x) = −x2 + x+ 2.
(a) Determine todos os valores reais que resolvem a equação f(x) = 0.
(b) Identifique os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(c) Determine a abcissa do vértice da parábola.
(d) Faça o esboço gráfico de f .
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Análise Matemática I - 2013/14
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7. Considere f(x) = x2 − 3x− 2.
(a) Determine todos os valores reais que resolvem a equação f(x) = 0.
(b) Identifique os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(c) Determine a abcissa do vértice da parábola.
(d) Faça o esboço gráfico de f .
8. Considere a parábola dada por f(x) = 3x2 + 6x− 45.
(a) Identifique os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(b) Indique o sentido da concavidade.
(c) Quantas raízes reais possui a parábola? Justifique a resposta dada.
(d) Determine o vértice da parábola.
(e) Qual o contradomínio de f?
(f) Faça o esboço gráfico de f .
9. Uma epidemia está a espalhar-se sobre uma região de grande área. Os especialistas
estimam que o número de indivíduos infetados pela doença é dado por uma função
dependente do tempo, medido em relação ao ponto de referência que corresponde ao
momento em que a doença foi detetada. Admite-se assim que a função que exprime o
número de infetados é dada por
n(t) = 0.05t3 + 1.4
onde n representa o número de indivíduos infectados (em centenas) e t é medido em
dias. Deve salientar-se que a validade do modelo é apenas assumida para os primeiros
trinta dias, subsequentes ao momento em que foi detetado o vírus.
(a) Estime o número de indivíduos que se encontram afetados pelo vírus ao fim de
10 dias?
(b) Qual o número de dias que decorrerá após a deteção do vírus, por forma a que
se possa afirmar que 700 indivíduos estão infetados?
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(c) Qual a interpretação que dá ao fator 1.4 que consta na equação do modelo?
10. Sabendo que x = −1 é uma das soluções da equação x3 − x2 − x + 1 = 0, identifique
todas as soluções da equação.
11. Determine todas as soluções reais para as equações que se seguem:
(a) 2x4 − 5x2 + 3 = 0;
(b) x4 − 2x2 + 1 = 0;
(c) x4 + 2x2 + 1 = 0;
(d) x9 − x = 0.
12. Seja
f(x) =
x3 − 2x2 + x
x− 3 .
(a) Indique o domínio da função f .
(b) Determine os zeros da função f .
(c) Simplifique a expressão f , procedendo à divisão dos polinómios.
(d) O que pode dizer cerca do comportamento do gráfico quando se consideram va-
lores infinitamente grandes positivos e infinitamente grandes negativos para x?
Definição 2. Uma função f : A→ B diz-se:
• par se f(−x) = f(x), para todo o x ∈ A;
• ímpar se f(−x) = −f(x), para todo o x ∈ A.
13. Estude a paridade de cada uma das funções que se seguem:
(a) f(x) = x3 − x;
(b) f(x) = x3 + 4x2;
(c) f(x) =
x
1− x2 ;
(d) f(x) =
x2
x− x3 ;
(e) f(x) =
x3
x− x3 ;
(f) f(x) =
x2
1− x4 ;
(g) f(x) = ex
2
;
(h) f(x) =
√
1 + x2
x2
;
(i) f(x) =
√
1 + x3
x3
.
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14. Sejam f(x) = 1 + x+ x2 e h 6= 0.
(a) f(2 + 1) = f(2) + f(1)?
(b) Determine f(1 + h) e f(x+ h).
(c) f(x+ h) = f(x) + f(h)?
(d) f(x+ h) = f(x) + h?
(e) Determine
f(x+ h)− f(x)
h
. Simplifique o resultado.
15. Considere as funções f(x) = x − 1 e g(x) = x2 − 3. Indique a expressão e o domínio
para cada uma das seguintes funções:
(a) (f + g) (x);
(b) (f − g) (x);
(c) (f · g) (x);
(d) (f/g) (x).
16. Determine todos os pontos de interseção dos gráficos das funções f(x) = 3x + 2 e
g(x) = x2.
17. Sejam f(x) = x + 1 e g(x) = x2 − x. Indique a expressão e o domínio para cada uma
das seguintes funções:
(a) (f ◦ g)(x); (b) (g ◦ f)(x).
18. Considere as funções f(x) = 8x3 +1 e g(x) =
1
x
. Indique a expressão e o domínio para
cada uma das seguintes funções:
(a) (f ◦ g)(x); (b) (g ◦ f)(x).
19. Sejam f(x) = 2
√
x e g(x) = x2 + 4. Indique a expressão e o domínio para cada uma
das seguintes funções:
(a) (g − f) (x);
(b) (f · g) (x);
(c) (f/g) (x);
(d) (f ◦ g) (x);
(e) (g ◦ f) (x);
(f) (f ◦ f) (x).
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Círculo Trigonométrico
Os valores das funções trigonométricas podem igualmente ser obtidos através da aná-
lise ao círculo trigonométrico.
tg(α)
cotg(α)
cos(α)
sen(α)
α
Eixo dos co-senos
Eixo dos senos Eixo das tangentes
Eixo das co-tangentes
1−1
1
−1
0
Da análise ao círculo trigonométrico é possível inferir as seguintes relações:
• sen(α) =
cateto oposto
hipotenusa
;
• cos(α) =
cateto adjacente
hipotenusa
;
• tg(α) =
sen(α)
cos(α)
=
cateto oposto
cateto adjacente
;
• cotg(α) =
1
tg(α)
=
cos(α)
sen(α)
=
cateto adjacente
cateto oposto
;
• sec(α) =
1
cos(α)
=
hipotenusa
cateto adjacente
;
• cosec(α) =
1
sen(α)
=
hipotenusa
cateto oposto
;
• sen2(α) + cos2(α) = 1 (Fórmula fundamental da trigonometria).
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Da fórmula fundamental da trigonometria facilmente se conclui que:
tg2(α) + 1 = sec2(α)
e que
1 + cotg2(α) = cosec2(α).
Alguns valores que se devem memorizar são os que aparecem na seguinte tabela:
0 π/6 π/4 π/3 π/2
sen(α) 0 1/2
√
2/2
√
3/2 1
cos(α) 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0
tg(α) 0
√
3/3 1
√
3 → +∞
cotg(α) → +∞ √3 1 √3/3 0
α
função
SENO
A função seno é uma função trigonométrica com domínio R e contradomínio [−1, 1].
O gráfico da função é dado por:
1
−1
pi
2 π
3pi
2 2π
−pi
2−π−3pi2−2π
x
y
20. Mostre que:
(a) sen(−x) = − sen(x),∀x ∈ R;
(b) sen(2x) = 2 sen(x) cos(x),∀x ∈ R;
(c) sen2(x) =
1− cos(2x)
2
,∀x ∈ R;
(d) sen(kπ) = 0,∀k ∈ Z;
(e) sen(
π
2
± x) = cos(x),∀x ∈ R;
(f) sen(π ± x) = ∓ sen(x),∀x ∈ R;
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(g) sen(x) + sen(y) = 2 cos
(
x− y
2
)
sen
(
x+ y
2
)
,∀x, y ∈ R;
(h) sen(x)− sen(y) = 2 sen
(
x− y
2
)
cos
(
x+ y
2
)
,∀x, y ∈ R;
(i) sen(x) sen(y) =
cos(x− y)− cos(x+ y)
2
,∀x, y ∈ R;
(j) sen(x) cos(y) =
sen(x− y) + sen(x+ y)
2
,∀x, y ∈ R.
CO-SENO
A função co-seno é uma função trigonométrica com domínio R e contradomínio [−1, 1].
O gráfico que carateriza esta