Zeros Reais Newton Raphson e Secante 2018 1

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ENGENHARIA CIVIL
CÁLCULO NUMÉRICO
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e seja 
 uma raiz de f(x), onde 
tal que 
 e 
.
A ideia do método é aproximar o gráfico da função f(x) por meio de linhas tangentes, como ilustrado na figura abaixo, até as linhas tangentes atingirem uma aproximação desejada através do ponto que corta o eixo x (pontos 
)
Seja
 um número próximo de 
(que pode ser obtido observando o gráfico de f(x)). A reta tangente ao gráfico de f(x) em 
, intercepta o eixo x em 
. 
Considere o ângulo α. Pelas relações trigonométricas, temos que:
 (I)
Mas por definição de derivadas (coeficiente angular da reta tangente ao ponto P), temos que:
 (II)
De (I) e (II), temos:
Se
, então
 é a raiz desejada. Caso contrário, calcula-se
, que é obtido no mesmo raciocínio.
 (III)
Por derivadas, temos:
 (IV)
De (III) e (IV), temos:
Se
, então
 é a raiz desejada. Caso contrário, calcula-se
 e assim por diante até obter a precisão desejada.
Assim, escolhido um valor inicial
, a sequência
será determinada por
onde 
 será a aproximação da raiz 
.
Teorema 1: Seja 
, 
(
) e 
funções contínuas no intervalo [a, b] e 
a única raiz de 
 neste intervalo. Então, existe um intervalo I contendo a raiz 
, tal que se 
, a sequência (
) gerada pela fórmula recursiva convergirá para a raiz 
.
Critério de Parada (CP) – No M-N-R, escolhe-se 
 como raiz aproximada de 
 se:
1) 
 ou
2) 
 (usa-se mais este critério)
Exemplo – Considere 
 . Encontrar a raiz aproximada, com valor inicial 
 e com um erro de 
, onde 
.
Passo 1: Derivar f(x)
(
Passo 2: Calcular as possíveis raízes
= 0,3333
- Critério de parada (CP): (para verificar se 
 é a raiz procurada).
= 0,037037 > 0,0001 (continua)
= 0,3376068
- Critério de parada (CP): (para verificar se 
 é a raiz procurada).
0,00001834053 < 0,0001 (para)
Logo, a raiz procurada é 
.
OBSERVAÇÕES
1- Para encontrar os intervalos que contém as raízes, utiliza-se o Teorema de Bolzano
No exemplo anterior, f(0) . f(1) = 3 . (-5) = -15 < 0
2- O Método de Newton-Raphson tem convergência quadrática. Porém este necessita da avaliação da função e sua derivada em cada ponto
. Pode ocorrer de termos uma raiz isolada num intervalo [a, b] e o método acabe convergindo para uma outra raiz que não pertence a [a, b]. Isto ocorre porque temos que tomar
.Na escolha do valor inicial 
podemos escolher o ponto médio do intervalo, pois isto aumenta as chances de tomar
 dentro do intervalo [a, b].
Vantagens
Rapidez processo de convergência;
Desempenho elevado.
Desvantagens
Necessidade da obtenção de f’ (x), o que pode ser impossível em determinados casos;
O cálculo do valor numérico de f’ (x) a cada iteração;
Difícil implementação computacional.
Uma grande desvantagem do método de Newton-Raphson é a necessidade de se obter e calcular o valor de
 a cada iteração. Uma forma de se contornar este problema é substituir a derivada
 pelo quociente da diferença
	 
Onde 
 e 
 são duas aproximações para a raiz. Pelo M-N-R temos
 
 
OBS.: São necessárias duas aproximações para a raiz, para iniciar o processo
Exemplo- Use o método da secante para encontrar uma aproximação da raiz da função
, com aproximações iniciais 
 e 
 com erro 
, onde 
.
( 
( 
( 
�� EMBED Equation.3 
 
C.P ( 
 (continua)
( 
�� EMBED Equation.3 
C.P ( 
 ( continua)
( 
 
 
 
 
 
C.P ( 
 
PARAR
Logo, a raiz aproximada é 
EXERCÍCIOS
UTILIZE 4 OU MAIS CASAS DECIMAIS
�
1- Quando um capacitor carregado é ligado com uma resistência 𝑅, um processo de descarga do capacitor ocorre. Durante este processo, uma variável no tempo é estabelecida no circuito. Sua variação com o tempo se dá de forma decrescente e exponencial, de acordo com a expressão:
onde 𝐼 é a corrente, 
é a carga inicial do capacitor, 𝐶 sua capacitância, 𝑅 a resistência e 
 tempo. 
Determine, através do método de Newton-Raphson, com precisão 
 uma aproximação para o valor de 𝑡, quando 𝐼 = 0.83𝐴, 
 = 7𝐶, 𝑅 = 3 𝑜ℎ𝑚𝑠 e 𝐶 = 2 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑. Considere como tempo inicial 
=0,5.
Resposta: t = 2,0428809
2- A figura representa um pêndulo suspenso num teto de uma sala. O pêndulo balança de acordo com a seguinte expressão 
em que d (cm) representa a distância até à parede de referência e depende do número de segundos t desde que o pêndulo foi posto em movimento. Calcule o instante de tempo t para o qual o pêndulo toca na parede da sala. 
Utilize o método de Newton, use para aproximação inicial 
 = 4 e considere 
 ou no máximo 4 iterações. 
Resposta: 3,45454857
3- Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigénio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes:
�
Calcule, usando um método de Newton_Raphson, a distância para a qual o nível de oxigénio X desce para o valor C = 5. Utilize para aproximação inicial o valor
 = 1 e considere
 ou no máximo 3 iterações. Utilize nos cálculos 4 casas decimais ou mais.
�
Resposta: 0,5964142
4- A pressão máxima, P, em Kg/mm² que um cabo metálico suporta é dada por 
�
 
em que x é o diâmetro em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de 1.5 Kg/mm² utilizando o método de Newton-Raphson, com uma aproximação inicial 
= 1 mm, com erro inferior a 
. Use 4 casas decimais ou mais.
�
Resposta: 0,3254588931
5- Uma pessoa tomou um empréstimo de A reais, que acrescenta os juros no total antes de computar o pagamento mensal. Assim, se a taxa mensal de juros, em porcentagem, é q e o empréstimo é pelo prazo de n meses, a quantia total que o tomador concorda em pagar é:
Isto é dividido por n para dar o total de cada pagamento P, ou seja,
Isto é perfeitamente legal e muito usado em lojas de departamento. (É chamado o empréstimo com acréscimo). Mas a verdadeira taxa de juros que o tomador está pagando é alguma coisa além de q%, porque ele não conserva o total do empréstimo por todos os n meses: Ele está pagando-o de volta com o decorrer do tempo. A verdadeira taxa de juros pode ser encontrada pela determinação de uma raiz x da equação:
Isto fornece a taxa de juros por período de pagamento, que pode ser convertida em taxa anual multiplicando-se a mesma por 12. Seja A = R$ 1000, n = 2 anos e q = 60% a.a. Determine a verdadeira taxa de juros, utilizando o método de Newton-Raphson. Utilize como ponto inicial de taxa de juros
 e margem de erro menor que 0,1.
Resposta: 0,73455 (73,34% a.a)
6- Um problema frequente encontrado em projeto de circuitos eletrônicos é a determinação do ponto de operação DC relativo às variáveis de tensão (v) e corrente (i) de elementos não-lineares de circuitos, como diodos e transistores. A determinação do ponto de operação envolve a solução de uma equação não-linear e pode ser resolvido utilizando algoritmos iterativos para o cálculo de raízes. Considere o circuito abaixo:
 R
 +
 +
 
 I v
 _ 
 -- 
 
.
As característicasde operação do diodo em condições normais de operação são determinadas pela equação:
Assume-se, devido à temperatura de funcionamento do diodo que: 
. Aplicando-se a lei de Kirchoff para a tensão, obtém-se:
Utilizando os valores de 
, chega-se a:
Aplicando o Método de Newton-Raphson, encontre os valores de v e i, considerando os dados acima e 
. Considere uma aproximação inicial de tensão 
volt e margem de erro abaixo de 0,7.
Resposta: 0,440115
7- Pelo método de Newton-Raphson calcule uma aproximação a um zero sabendo que 
(a) 
 com 
 e erro 
Resposta: 2,6457520
(b) 
 com 
 e erro 
	
Resposta: 1,4309709058
8- Use o método da secante para obter a raiz aproximada da equação do exercício 4. Utilizar as aproximações 
. Utilize uma margem de erro 
.
Resposta: 0,324132
9- Use o método da secante para obter a raiz aproximada da equação 
. Utilizar as aproximações 
. Utilize uma margem de erro 
.
Resposta: 1,430456
RAÍZES DAS EQUAÇÕES
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (M-N-R)
� EMBED Equation.3 ���
MÉTODO DA SECANTE
� EMBED Equation.3 ���
CÁLCULO NUMÉRICO – 1/2018�ENGENHARIA CIVIL��
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