MD1 Todas as APs Master

Prévia do material em texto

AP2-MetDet1-2017-2-gabarito.pdf
AP3 MD1 2014_1 Comentada.pdf
AP3_2008_1_Gabarito.pdf
AP3_2010_2_Gabarito.pdf
AP3_2016_1_Gabarito.pdf
AP3_MetDet1-2015-1-gabarito (2).pdf
AP3_MetDet1-2015-1-gabarito.pdf
AP3_MetDet1-2015-1-questoes.pdf
AP3_MetDet1-2015-2-gabarito (1).pdf
AP3_MetDet1-2015-2-gabarito (2).pdf
AP3_MetDet1-2015-2-gabarito.pdf
AP3_MetDet1-2015-2-questoes.pdf
AP3-MetDet_I-2013-2-gabarito.pdf
AP3-MetDet1-2012-2gabaritomod.pdf
AP3-MetDet1-2013-1gabarito.pdf
AP3-MetDet1-2014-2-gabarito.pdf
AP3-MetDet1-2016-1-gabarito (1).pdf
AP3-MetDet1-2016-1-gabarito (2).pdf
AP3-MetDet1-2016-1-gabarito.pdf
AP3-MetDet1-2016-1online.pdf
AP3-MetDet1-2016-2-gabarito (1).pdf
AP3-MetDet1-2016-2-gabarito.pdf
AP3-MetDet1-2016-2-questoes.pdf
AP3-MetDet1-2016-2-questoes-online.pdf
AP3-MetDet1-2017-1-gabarito (1).pdf
AP3-MetDet1-2017-1-gabarito(2).pdf
AP3-MetDet1-2017-1-gabarito.pdf
AP3-MetDet1-2017-1-online.pdf
AP2-MetDet1-2017-1-online-novo.pdf
AP2-MetDet1-2016-2-questoes.pdf
AP2-MetDet1-2016-2-questoes-online.pdf
AP2-MetDet1-2016-1-questoesonline.pdf
AP2-MetDet1-2015-2-questoes2.pdf
AP1-MetDet1-2015-2-gabarito.pdf
AP1-MetDet1-2015-2-Questoes.pdf
AP1-MetDet1-2016-1-gabarito.pdf
AP1-MetDet1-2016-1-questoes.pdf
AP1-MetDet1-2016-2-gabarito.pdf
AP1-MetDet1-2016-2-questoes.pdf
AP1-MetDet1-2017-2-Gabarito.pdf
AP2-MetDet1-2015-1-gabarito.pdf
AP2-MetDet1-2015-1-questoes.pdf
AP2-MetDet1-2015-2-gabarito2.pdf
AP2-MetDet1-2016-1-gabarito.pdf
AP2-MetDet1-2016-2-gabarito.pdf
AP2-MetDet1-2017-1-gabarito-novo.pdf
AP2 - Me´todos Determin´ısticos I - 2017-2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com os enunciados das Questo˜es e, inicial-
mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificac¸a˜o
em uma etiqueta.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova
e se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula.
Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicado
para este fim.
4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho e qualquer outro aparelho que per-
mita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade
detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es
devidas.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-
las de acordo com as questo˜es!
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o.
Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 28/10/2017
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1, 2 e 3.)
Dinorah procura um plano de telefonia que atenda melhor suas necessidades. Como utiliza muito
a internet a partir de seu telefone celular, ela esta´ comparando os planos com internet ilimitada
oferecidos pelas principais operadoras, levando em considerac¸a˜o apenas o prec¸o mensal e os minutos
de chamadas. Dinorah apurou que:
• A operadora Escuro, oferece um plano com minutos ilimitados, por um custo mensal fixo de
R$ 200,00.
• A operadora Morto, oferece um plano que tem um custo mensal formado por uma parte fixa
de R$ 50,00, mais um custo adicional de R$1,00 por minuto de chamada.
• A operadora Tchau oferece um plano que possui com 100 minutos de chamada inclu´ıdos, cujo
custo mensal e´ formado por uma parte fixa R$ 80,00 e com um custo adicional de R$ 2,00 por
minuto excedente a` franquia de 100 minutos.
• A operadora Maia possui um plano com custo mensal dado por R$ 2,00 por minuto de chamada
feita.
Questa˜o 1 (1.5 pt) (Esta questa˜o deve ser respondida na folha anexa, com o sistema
de eixos coordenados. Na˜o deixe de verificar se o responsa´vel pela aplicac¸a˜o da prova
etiquetou corretamente essa folha junto, bem como as demais folhas de resposta. Inde-
pendentemente da etiqueta, preencha a folha com seu nome, polo e matr´ıcula)
Construa, no sistema de eixos coordenados ja´ impresso na folha anexa, os gra´ficos do custo
mensal de cada plano, em func¸a˜o dos minutos de chamadas feitos em um meˆs. Observe que o eixo
horizontal esta´ representando os minutos m e o eixo vertical o custo mensal.
Identifique, no esboc¸o, o gra´fico de cada plano, utilizando os seguintes nomes para as func¸o˜es: E
para a Escuro, M para a Morto, T para Tchau e A para Maia. Tenha especial atenc¸a˜o aos pontos
de intersec¸a˜o entre os gra´ficos.
Soluc¸a˜o: (Veja os gra´ficos na u´ltima folha deste gabarito)
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Questa˜o 2 (1.0 pt) Deˆ as expresso˜es, em func¸a˜o dos minutos m utilizados no meˆs, do custo men-
sal de cada um dos planos.
Soluc¸a˜o: O valor a ser pago no plano da Escuro em um meˆs, e´ dado por E(m) = 200, independen-
temente do valor de m.
O valor a ser pago no plano da Morto e´ de M(m) = 50+m, isto e´, um custo fixo de R$ 50,00 mais
R$ 1,00 por minuto.
O custo do plano da Tchau e´ de 80, se m 6 100, acrescidos de 2 · (m− 100), isto e´, R$ 2,00 para
cada minuto apo´s 100 minutos, caso m > 100. Assim,
T (m) =
{
80, se m 6 100
80 + 2 · (m− 100), se m > 100.
O custo do plano da Maia e´ de A(m) = 2 ·m, isto e´, R$ 2,00 por minuto.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Se Dinorah utiliza, em me´dia, cerca de 120 minutos de chamadas telefoˆnicas
por meˆs, qual operadora oferece o plano com menor custo mensal?
Soluc¸a˜o: Para 120 minutos, temos os custos
E(120) = 200,
M(120) = 50 + 120 = 170,
T (120) = 80 + 2 · (120− 100) = 80 + 2 · 20 = 120,
A(120) = 2 · 120 = 240.
Com isso, a operadora Tchau oferece o plano mais em conta para Dinorah.
Questa˜o 4 (1.5 pt) Jessikah, amiga de Dinorah, tambe´m esta´ interessada em planos de telefonia,
mas cogita contratar um plano sem internet fixa. Como na˜o entende muito sobre mega/gigabytes
e utiliza a internet apenas para coisas simples, Jessikah esta´ avaliando planos em que a internet e´
tarifada por minutos de navegac¸a˜o, e na˜o por volume de dados. A operadora Escuro oferece um
plano sem custo fixo, com o prec¸o de R$ 2,00 por minuto de chamada e R$ 0,50 por minuto de
navegac¸a˜o.
Jessikah estima que, em um meˆs, o tempo que utiliza o celular para acesso a` internet seja o dobro
do tempo que gasta com chamadas. Com isso, acredita que pagara´ R$ 90,00 mensais. Quantosminutos mensais Jessikah acredita que utilizara´ em chamadas?
Soluc¸a˜o: Sejam m a quantidade de minutos de chamadas e i os minutos de navegac¸a˜o na internet.
Como o tempo de uso da internet e´ o dobro do tempo de chamadas, temos
i = 2m.
Como cada minuto de chamada custa R$ 2,00 e cada minuto de internet custa R$ 0,5, o valor que
Jessikah pagara´ sera´ 2m+ 0.5i, ou seja,
2m+ 12i = 90.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Assim, temos o sistema {
i = 2m
2m+ 12i = 90.
Substituindo i = 2m na segunda equac¸a˜o, temos
2m+ 12 · 2m = 90,
logo
2m+m = 90 ∴ 3m = 90 ∴ m = 30.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 a 8 a seguir.)
A operadora Escuro esta´ revendo seus planos e estuda o valor mais adequado para a mensalidade de
seu plano ilimitado. Segundo a ana´lise de consultoria contratada pela empresa, cobrando de cada
usua´rio uma mensalidade de P reais, este plano sera´ contratado por 1000−4P milhares de usua´rios,
isto e´, a demanda D(P ) sera´ dada por
D(P ) = (1000− 4P ) · 1000.
Questa˜o 5 (0.5 pt) Determine o valor ma´ximo da mensalidade do plano (valor acima do qual na˜o
ha´ demanda).
Soluc¸a˜o: Temos D(P ) = 0 se, e so´ se
1000− 4P = 0⇔ 1000 = 4P ⇔ P = 250.
Questa˜o 6 (0.5 pt) Determine a func¸a˜o F que representa o faturamento mensal da operadora com
este plano, em func¸a˜o do prec¸o mensal P . Por faturamento, entenda o valor bruto apurado com a
venda do plano, antes de descontar quaisquer custos operacionais.
Soluc¸a˜o: Para cada valor de P , o plano tera´ D(P ) = (1000− 4P ) · 1000 clientes. Cada um destes
clientes pagara´ P reais, temos o faturamento
F (P ) = P · (1000− 4P ) · 1000.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Se cada cliente que contratar o plano ilimitado representar um custo operacio-
nal mensal, para a Escuro, de R$50,00, deˆ a expressa˜o da func¸a˜o que representa o custo operacional
total do plano C em func¸a˜o do prec¸o mensal P .
Soluc¸a˜o: O custo operacional total sera´ dado por R$ 50,00 multiplicado pelo nu´mero D(P ) de
clientes, logo
C(P ) = 50 ·D(P ) = 50 · (1000− 4P ) · 1000 = 50.000 · (1000− 4P ) .
Questa˜o 8 (1.5 pt) Deˆ a expressa˜o do lucro L da venda do plano (faturamento – custo operacional
total), em func¸a˜o da mensalidade P e determine o valor de P que deve ser praticado para que o
lucro mensal seja ma´ximo.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Soluc¸a˜o: O lucro com a venda deste plano sera´ dado por
L(P ) = F (P )− C(P ) = P · (1000− 4P ) · 1000− 50.000 · (1000− 4P )
= (1000P − 50.000) · (1000− 4P )
= 1.000.000P − 4.000P 2 − 50.000.000 + 200.000P
= −4.000P 2 + 1.200.000P − 50.000.000
O valor ma´ximo desta func¸a˜o quadra´tica e´ dado quando
P = − b2a = −
1.200.000
2 · (−4.000) =
300
2 = 150.
Assim, o plano dara´ lucro ma´ximo quando o prec¸o P for de R$150,00.
Questa˜o 9 (1.5 pt) Represente, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o con-
junto soluc¸a˜o da equac¸a˜o |x− 4| < |x+ 2|. Como ferramenta para a resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o, voceˆ
pode utilizar a interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo.
Soluc¸a˜o: O mo´dulo |x−4| representa a distaˆncia entre x e 4. Ja´ o mo´dulo |x+2|, a distaˆncia entre
x e −2. com isso, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ dada pelos valores de x cuja distaˆncia ao 4 e´ menor que
a distaˆncia ao −2. Esboc¸ando, temos
Note que o ponto
4 + (−2)
2 = 1 esta´ exatamente na metade entre −2 e 4. Assim, a soluc¸a˜o e´ dada
pelos pontos do intervalo (1,+∞).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Colar aqui a etiqueta 1
Nome: Polo: Matr´ıcula:
Folha de resposta da questa˜o 1
Esta folha deve ser etiquetada como uma folha de resposta; pec¸a ao aplicador que o fac¸a.
Independentemente da etiqueta, preencha com seu nome, polo e matr´ıcula.
CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS I
AP3 COMENTADA
Questa˜o 1.
(2.0) Ka´tia decide passear pelo plano coordenado. Ela sai do ponto (0,4) e anda em linha reta
ate´ o ponto (3,10). Deste ponto, ela segue novamente em linha reta ate´ o ponto (8,5). Seja
(x, f(x)) o ponto que representa a posic¸a˜o de Ka´tia no plano coordenado para um dado valor
x, tal que 0 ≤ x ≤ 8.
a) Determine a func¸a˜o f .
b) Quando o valor da componente x da posic¸a˜o de Ka´tia e´ igual a
√
17, em que ponto do plano
coordenado ela esta´?
c) Determine a distaˆncia entre o ponto inicial e o ponto final do trajeto de Ka´tia.
Questa˜o contextualizada sobre func¸o˜es. Lembramos que exerc´ıcios contextualizados, por sua
natureza, sa˜o u´nicos. Como exemplos deste tipo de exerc´ıcios envolvendo func¸o˜es, citamos:
Questa˜o 8, 9, 10 do EP11, Questa˜o 4 da AP2 2012/1, Questa˜o 4 da AP2 2013/2. Vamos sepa-
rar os comenta´rios por itens.
Item (a): Pede-se f(x), onde (x, f(x)) e´ o ponto que representa a posic¸a˜o de Ka´tia no plano
coordenado. Foi visto, na Aula 14 (pg. 172), que (x, f(x)) e´ um ponto do gra´fico da func¸a˜o
f . Conforme dito no enunciado, o gra´fico e´ a unia˜o de duas retas e, na mesma Aula 14
(pg.176), aprendemos que retas inclinadas sa˜o gra´ficos de func¸o˜es afins, i.e. func¸o˜es da forma
y = f(x) = ax + b. No caso da questa˜o, como temos a unia˜o de duas retas, devemos deter-
minar quatro coeficientes, a1, b1, a2, b2. No Exemplo 14.3 (pg. 178) temos um procedimento
semelhante ao que precisamos fazer para a obtenc¸a˜o da equac¸a˜o da reta a partir de dois pontos
dados. Cabe ressaltar que a Questa˜o 8 do EP11 trata de um caso onde a func¸a˜o possui regras
diferentes em dois intervalos distintos, como e´ o caso aqui.
Item (b): Substituic¸a˜o direta de um ponto no domı´nio para descobrir sua imagem. No caso, te-
mos que identificar que 3 ≤ √17 ≤ 8 e calcular f(√17), respeitando a regra va´lida no intervalo.
1
Item (c): Pede- se a distaˆncia entre dois pontos no plano. O Exemplo 11.1, na Aula 11, pg.
136, e´ um exemplo que calcula a distaˆncia entre dois pontos no plano.
Questa˜o 2.
(3.0) Apo´s ingesta˜o de um composto qu´ımico, foi poss´ıvel modelar, em func¸a˜o do tempo, a
concentrac¸a˜o de duas importantes substaˆncias ja´ existentes no corpo humano: a substaˆncia
A e a substaˆncia B. Em um intervalo de tempo que varia de 0 a 11, as concentrac¸o˜es das
substaˆncias A e B foram modeladas respectivamente pelas func¸o˜es fA(t) = 2t
2 − 17t + 38 e
gB(t) = −t2 + 10t + 14, onde a varia´vel t e´ o tempo e 0 marca o momento da ingesta˜o do
composto. Responda o que e´ pedido.
a) Qual e´ a concentrac¸a˜o da substaˆncia A, 10 unidades de tempo apo´s da ingesta˜o do composto?
b) Qual e´ o per´ıodo, depois da ingesta˜o do composto, que a concentrac¸a˜o da substaˆncia A e´
menor do que a concentrac¸a˜o da substaˆncia B?
c) Quanto tempo depois da ingesta˜o do composto a concentrac¸a˜o da substaˆncia B e´ maior?
d) Qual e´ a menor concentrac¸a˜o que a substaˆncia A atinge apo´s a ingesta˜o do composto?
Questa˜o contextualizada envolvendo func¸o˜es quadra´ticas. Lembramos de novo que exerc´ıcios
contextualizados, por sua natureza, sa˜o u´nicos. Como exemplos de exerc´ıcios contextualizados
sobre func¸o˜es, citamos: Questa˜o 8, 9, 10 do EP11, Questa˜o 4 da AP2 2012/1, Questa˜o 4 da
AP2 2013/2. Vamos separar os comenta´rios por itens.
Item (a): Substituic¸a˜o direta de um ponto no domı´nio para descobrir sua imagem. No caso,
determinar fA(10).
Item (b): Inequac¸a˜o envolvendo func¸o˜es quadra´ticas. Na Aula 12, pg. 153, estuda-se este
to´pico. Exerc´ıcios deste tipo: Questa˜o 4 do EP10, Questa˜o 6 do EP11.
Itens (c) e (d): Envolvem os conceitos de concavidade e ma´ximos e mı´nimos utilizando ve´rtice
de gra´ficos de func¸o˜es quadra´ticas. A teoria a respeito de concavidades e ve´rtices encontra-se
na Aula 14, pg. 180. O Exemplo 14.4, pg. 181, inclusive apresenta duas func¸o˜es, onde o gra´fico
da primeira e´ para cima e o da segunda e´ para baixo. A Questa˜o 1 daAP2 de 2013.2 e´ um
2
exerc´ıcio espec´ıfico envolvendo ma´ximos e mı´nimos.
Questa˜o 3.
(2.0) Seja C um subconjunto dos naturais, i.e. C ⊂ N. Considere as seguintes proposic¸o˜es
como verdadeiras.
∀x ∈ C, x < 25 ⇒ x e´ divis´ıvel por 3.
∀x ∈ C, 10 < x < 30⇒ x e´ ı´mpar.
Indique se cada uma das proposic¸o˜es a seguir e´ “Verdadeira”, “Falsa”ou “Na˜o e´ Poss´ıvel Deci-
dir”, utilizando apenas estas duas proposic¸o˜es, marcando, respectivamente (V), (F) ou (NPD).
Quando sua resposta for ”Verdadeira”ou ”Falsa”, justifique-a.
( ) 12 ∈ C
( ) 15 ∈ C
( ) ∀x ∈ C, 25 < x < 30⇒ x ∈ {29, 40} ou x e´ divis´ıvel por 3.
( ) ∀x ∈ C, x < 2
(100)−3/6
⇒ x e´ divis´ıvel por 3.
Exerc´ıcio cla´ssico envolvendo o entendimento de proposic¸o˜es simples e compostas. Exemplos
do tipo: Questa˜o 2 da AP3 de 2013.2, Questa˜o 2 da nossa AP1, Questa˜o 7 do EP4.
Questa˜o 4.
(3.0) Uma escola realizou uma pesquisa com seus alunos e encontrou os seguintes resultados:
- 30% deles praticam voˆlei e futebol;
- 63% deles praticam futebol;
- 28% deles so´ praticam futebol;
- 12% deles so´ praticam voˆlei;
- 62% deles praticam voˆlei ou natac¸a˜o;
- 25% deles praticam natac¸a˜o e futebol;
- todos os alunos que praticam natac¸a˜o e voˆlei tambe´m praticam futebol.
a) Qual e´ a porcentagem de alunos que pratica futebol e natac¸a˜o, mas na˜o pratica voˆlei?
3
b) Qual e´ a porcentagem de alunos que pratica futebol ou voˆlei, mas na˜o pratica natac¸a˜o?
c) Qual e´ a porcentagem de alunos que na˜o pratica esporte nenhum?
Sugesta˜o: Utilize o diagrama de Venn abaixo, onde as letras de a a f representam as por-
centagens de alunos em cada conjunto.
Exerc´ıcio cla´ssico sobre intersec¸o˜es entre conjuntos envolvendo porcentagem (apenas utilizando
que a soma das porcentagens deve ser 100). Exemplos do tipo: Questa˜o 1 da nossa AD1,
Questa˜o 8 do EP1.
Para finalizar, acreditamos que qualquer aluno que estudou o caderno dida´tico, as ADs, os EPs
e todas as APs selecionadas, compareceu a`s tutorias tirando suas du´vidas estava plenamente
capacitado a fazer uma boa prova.
Atenciosamente; Denise e Pierre
4
 
 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do 
Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Resolução da Terceira Avaliação Presencial – AP3 
 
1ª Questão (2,0 pts) 
 
 U 
 A B C D 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que: n (U) = 100, n (A) = 30, n (B) = 20, n (C) = 15, n (A∪∪∪∪B) = 40, 
n (C∪∪∪∪D) = 35 e n (A∩∩∩∩B) = 2.n(C∩∩∩∩D). 
Determine: 
(a) n(A∩∩∩∩B) 
(b) n(D) 
(c) n(U – (A∪∪∪∪B∪∪∪∪C∪∪∪∪D)) 
 
Solução: 
(a) Como n (A∪∪∪∪B) = n (A) + n (B) - n(A∩∩∩∩B), 40 = 30 + 20 - n(A∩∩∩∩B). Logo, 
n(A∩∩∩∩B) = 10. 
(b) Da equação n (A∩∩∩∩B) = 2.n(C∩∩∩∩D), concluímos que n(C∩∩∩∩D) = 5. 
 
 Preenchendo o diagrama: 
 
 U 
 A B C D 
 20 10 10 10 5 20 
 
 
 
 
Concluímos que n(D) = 20. 
(b) Como n (A∪∪∪∪B) = 40 e n (C∪∪∪∪D) = 35 e são uniões disjuntas, temos que 
n(U – (A∪∪∪∪B∪∪∪∪C∪∪∪∪D)) = 100 – 75 = 25. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,0 pts) 
 
(a) Esboce o gráfico da função 



≥+−
<+
=
254
21)( 2 xsexx
xsex
xf . 
(b) Calcule, se existirem, )(lim)(lim),(lim
222
xfexfxf
xxx →→→ −+
. 
(c) f é contínua em x = 2? Justifique sua resposta. 
 
Solução: 
 (a) O gráfico é dado por: 
 
 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
 
 
(b) 
3)1(lim)(lim
1)54(lim)(lim
22
2
22
=+=
=+−=
−−
++
→→
→→
xxf
xxxf
xx
xx
 → o limite )(lim
2
xf
x→
 não existe. 
(c) Podemos concluir pelo gráfico ou pelos limites acima que f é não é 
contínua em x = 2. 
 
3ª Questão (2,0 pts) 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 
1
1
+
−
x
x
 em 
00 =x . 
Solução: 
O coeficiente da reta tangente ao gráfico no ponto ( ))0(,0 f é dado por )0('f . 
Para calcular a derivada da função, temos que utilizar a regra do quociente: 
1
1)(
+
−
=
x
x
xf 
.)1(
2
)1(
11
)1(
1).1()1.(1)´(
1)('1)('
1)(1)(
222 +
=
+
+−+
=
+
−−+
=
==
+=−=
xx
xx
x
xx
xf
xvxu
xxvxxu
 
De 2
1
2
)10(
2)0(' 2 ==+=f vem que o coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico de f no ponto (0 , -1) é 2. 
Assim a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 
1
1
+
−
x
x
 em 00 =x 
é 12)( −= xxy . 
 
4ª Questão (2,0 pts) 
Considere a função 2012
2
7
3
)( 2
3
++−= xx
x
xf .Determine: 
a) A derivada primeira. 
b) A derivada segunda. 
c) Os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento de f, 
fazendo o estudo do sinal da derivada primeira. 
d) Os intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para cima e os 
intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para baixo, fazendo 
o estudo do sinal da derivada segunda. 
e) Máximos, mínimos e ponto de inflexão, se houver. 
 
Solução: 
O domínio da função 2012
2
7
3
)( 2
3
++−= xx
x
xf é ).,( +∞−∞=ℜ 
a) )3).(4(12701.122.
2
7
3
.3)´( 2
2
−−=+−=++−= xxxxx
x
xf . 
 
b) 72)´´( −= xxf . 
 
c) Pontos críticos: f ´(x) = 0 → (x-3).(x-4) =0 → x = 3 ou x = 4. 
 -∞ 3 4 +∞ 
f´(x)=x2-7x+12 + - + 
f (x) ↑ ↓ ↑ 
 
Logo, do estudo do sinal acima podemos concluir que: 
f é crescente em (-∞ , 3) ∪ (4 , ∞) e f é decrescente em (3 , 4). 
 
d) Estudo do sinal da segunda derivada: 
5,3
2
70)´´(
72)´´(
==⇔=
−=
xxf
xxf
 
 
 - ∞ 3,5 +∞ 
f ’’(x) = 2x-7 - + 
f (x) ∩ ∪ 
 
A função é côncava no intervalo (- ∞ , 3.5) e a função é convexa no intervalo 
(3.5 , +∞). 
 
e) f possui um ponto de inflexão em (3.5 , f (3.5)) = (3.5 , 33.4166). 
 f possui um máximo local em x = 3, dado por f (3) = 5.332
67
=
. 
 f possui um mínimo local em x = 4, dado por f (4) = 3.333
100
=
. 
 
5ª Questão (2,0 pts) 
a) Resolva a integral definida ( )∫
1
0
32-t dt . 
b) Resolva a integral indefinida ∫ xdxln , para x > 0. 
Solução: 
 
a) Para resolver vamos fazer uma substituição de variáveis: 
dtdu
dt
du
ttu
=↔=
−=
1
2)(
. 
Fazendo a substituição de variáveis na integral obtemos: 
 
.
4
)2(
4
)2(
44
33
∫ ∫ +
−
=+==− CtCuduudtt 
( )
4
15
4
16
4
1
4
)20(
4
)21(
4
)2(2-t
441
0
41
0
3
−=−=
−
−
−
=

−
=∫
tdt . 
 
b) Para resolver a integral indefinida ∫ xdxln vamos utilizar a técnica de 
integração por partes: ∫∫ −= vduvudvu .. . Sejam, 
 
dx
x
du
xdx
du
xxxu
11
0,ln)(
=↔=
>=
 
dxdv
dx
dv
xxv
=↔=
=
1
)(
 
Assim, CxxCxxxdxxxdx
x
xxxxdx +−=+−=−=−= ∫ ∫∫ )1(lnlnln
1
.lnln . 
CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP3 - 2010.2
Questa˜o 1 (2 pontos). Ao realizar uma pesquisa de mercado, certa empresa descobriu que
dentre uma amostra com 2000 consumidores:
1400 eram do sexo feminino;
1200 praticam esportes regularmente;
metade dos homens que participaram da pequisa pratica esporte.
Dentre as mulheres entrevistadas, quantas na˜o praticam esportes regularmente? Monte um
diagrama de Venn e justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: E´ claro que a intersec¸a˜o entre o conjunto dos homens e o conjunto das mulheres
e´ vazia.Montamos enta˜o o seguinte diagrama de Venn:
Das informac¸o˜es apresentadas no enunciado sabemos que 600 homens participaram da
pesquisa (2000-1400). Metade deles pratica esportes, logo ha´ 300 homens que praticam
esportes na pesquisa. O total de praticantes de esportes e´ de 1200 pessoas, como 300 sa˜o
homens, descobrimos que 900 sa˜o mulheres. Portanto ha´ 900 mulheres na pesquisa que
praticam esportes regularmente.
1
Questa˜o 2 (2 pontos). Sejam f(x) = |x2 − 2x− 7| e g(x) = 30√(x+ 1)120. Determine:
a) f(2)
Soluc¸a˜o: f(2) = |22 − 2× 2− 7| = |4− 4− 7| = | − 7| = 7
b) g(2)
Soluc¸a˜o: g(2) = 30
√
(2 + 1)120 = (2 + 1)120/30 = (2 + 1)4 = 34 = 81
Questa˜o 3 (2 pontos). A func¸a˜o h(x) e´ uma func¸a˜o do segundo grau, isto e´, pode ser
representada como h(x) = ax2 + bx+ c. Sabendo que:
h(0) = 1/2,
h(1) = 10
e h(−2) = −13/2,
descubra qual e´ a lei da func¸a˜o h.
Soluc¸a˜o: h(0) = a× 02 + b× 0 + c = c = 1/2. Logo, c = 1/2.
h(1) = a× 12 + b× 1 + c = a+ b+ 1/2 = 10. Logo, a+ b = 19/2.
h(−2) = a× (−2)2 + b× (−2) + c = 4a− 2b+ 1/2 = −13/2. Logo, 4a− 2b = −7.
Montando o sistema:
 a+ b = 19/24a− 2b = −7
Multiplicando a primeira equac¸a˜o por dois e somando com a segunda, obtemos: 6a = 12.
Logo, a = 2. Substituindo este valor na primeira equac¸a˜o, obtemos b = 15/2. Portanto,
h(x) = 2x2 + 15
2
x+ 1
2
.
Questa˜o 4 (4 pontos). Considere as func¸o˜es f(x) =
x2
3
− 4x
3
− 5
3
e g(x) =
x− 5
3
.
a) Calcule f(4) e g(4)
2
Soluc¸a˜o: f(4) =
42
3
− 4× 4
3
− 5
3
=
16
3
− 16
3
− 5
3
= −5
3
e
g(4) =
4− 5
3
= −1
3
b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o g;
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o g e´ linear. Logo para trac¸ar seu gra´fico precisamos de dois pontos.
Para x = 0, temos que g(0) = (0 − 5)/3 = −5/3. Por outro lado, para encontrar o
ponto em que o gra´fico que g cruza o eixo vertical procuramos x que satisfac¸a g(x) = 0.
g(x) = 0⇔ x− 5
3
= 0⇔ x− 5 = 0⇔ x = 5
Podemos, enta˜o, trac¸ar o gra´fico passando pelos pontos (0,−5/3) e (5, 0). (Ver pro´ximo
item.)
c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f ;
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos encontrar as ra´ızes de f . Observe que x
2
3
− 4x
3
− 5
3
= 0 ⇔
x2 − 4x− 5 = 0. Usando Bhaskara:
∆ = 16 + 20 = 36 e x = (4±√36)/2 = (4± 6)/2 = 2± 3, isto e´, x = 5 ou x = −1.
Para trac¸ar o gra´fico, precisamos ainda de mais um ponto. Vamos usar o ve´rtice (xv, yv)
da para´bola. Por simetria, sabemos que xv = (−1+5)/2 = 2. Para encontrar yv basta
calcular f(xv) =
22
3
− 4×2
3
− 5
3
= 4
3
− 8
3
− 5
3
= −9
3
= −3.
3
d) Encontre o conjunto dos valores de x para os quais f(x) ≤ g(x).
Observando o gra´fico, vemos que f(x) ≤ g(x) se e somente se x ∈ [0, 5].
4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Este texto e´ comum as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir.
Considere o conjunto
A =
{
x ∈ Z :
(
−
√
17 < x <
5
3
)
∧ (x > −4)
}
isto e´, A e´ o conjunto formado pelos nu´meros inteiros que tornam verdadeira a proposic¸a˜o composta(
−√17 < x < 5
3
)
∧ (x > −4).
Considere tambe´m o conjunto
B =
{
x ∈ Z : (−3 < x ≤ 1) ∨ (x2 − x− 42 = 0)}
isto e´, B e´ o conjunto formado pelos nu´meros inteiros que tornam verdadeira a proposic¸a˜o composta
(−3 < x ≤ 1) ∨ (x2 − x− 42 = 0).
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir.
Questa˜o 1 (0.5 pt) Escreva os nu´meros que esta˜o no conjunto A.
Soluc¸a˜o: Como a proposic¸a˜o “
(
−√17 < x < 5
3
)
∧ (x > −4)”e´ uma conjunc¸a˜o, para que ela seja
verdadeira, e´ preciso que as duas proposic¸o˜es simples envolvidas sejam verdadeiras. Isto e´, x deve
ser um inteiro que satisfaz, ao mesmo tempo, a restric¸a˜o −√17 < x < 5
3
e a restric¸a˜o x > −4.
Como −5 = −√25 < −√17 < −√16 = −4 e 1 = 3
3
<
5
3
<
6
3
= 2, temos que{
x ∈ Z : −
√
17 < x <
5
3
}
= {−4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1} .
Por outro lado,
{x ∈ Z : x > −4} = {−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , . . . } .
Portanto,
A = {−4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1} ∩ {−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , . . . }
= {−3 , −2 , −1 , 0 , 1}
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
Questa˜o 2 (0.7 pt) Escreva os nu´meros que esta˜o no conjunto B
Soluc¸a˜o: Como a proposic¸a˜o “(−3 < x ≤ 1) ∨ (x2 − x− 42 = 0)”e´ uma disjunc¸a˜o, para que ela
seja verdadeira, basta que uma das proposic¸o˜es simples envolvidas seja verdadeira. Isto e´, x deve ser
um inteiro que satisfaz a restric¸a˜o −3 < x ≤ 1, ou a restric¸a˜o x2 − x− 42 = 0.
Observe que
{x ∈ Z : −3 < x ≤ 1} = {−2 , −1 , 0 , 1}
Por outro lado, {
x ∈ Z : x2 − x− 42 = 0} = {−6 , 7} ,
uma vez que,
x2 − x− 42 = 0 ⇐⇒ x = −(−1)±
√
(−1)2 − 4(1)(−42)
2
⇐⇒ x = 1±
√
1 + 168
2
⇐⇒ x = 1±
√
169
2
⇐⇒ x = 1± 13
2
⇐⇒ x = 1− 13
2
ou x =
1 + 13
2
⇐⇒ x = −12
2
ou x =
14
2
⇐⇒ x = −6 ou x = 7.
Portanto,
B = {−2 , −1 , 0 , 1} ∪ {−6 , 7}
= {−2 , −1 , 0 , 1 , −6 , 7}
Questa˜o 3 (0.5 pt) Verifique se a proposic¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa.
∃x ∈ A ∩B, (−x2 + x ≥ −6) .
Soluc¸a˜o: Em primeiro lugar, observe que
A ∩B = {−3 , −2 , −1 , 0 , 1} ∩ {−2 , −1 , 0 , 1 , −6 , 7}
= {−2 , −1 , 0 , 1} .
Por tratar-se de uma proposic¸a˜o do tipo “∃x ∈ A ∩ B”, devemos analisar se ha´ um elemento
de A ∩ B, para o qual a proposic¸a˜o “(−x2 + x ≥ −6)”e´ verdadeira. Analisando os elementos do
conjunto A ∩B, observamos que, para para x = −2, segue que
−(−2)2 + (−2) = −4− 2
= −6.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
desta forma, para x = −2, a proposic¸a˜o “(−x2 + x ≥ −6)”e´ verdadeira.
Conclu´ımos, assim, que existe um elemento do conjuntoA∩B, para o qual, a proposic¸a˜o “(−x2 + x ≥ −6)”e´
verdadeira.
Portanto, ∃x ∈ A ∩B, (−x2 + x ≥ −6) e´ verdadeira.
Questa˜o 4 (0.7 pt) Verifique se a proposic¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa.
∀x ∈ B, ( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0).
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de a a proposic¸a˜o simples “x e´ ı´mpar”e de b a proposic¸a˜o simples “x ≤ 0”.
Isto e´
a: “x e´ ı´mpar.”
b: “x ≤ 0.”
A proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ uma disjunc¸a˜o. Portanto, para que ela seja verdadeira, basta que uma das
proposic¸o˜es simples envolvidas seja verdadeira.
Como trata-se de uma proposic¸a˜o do tipo “∀x ∈ B”, devemos analisar se a proposic¸a˜o “a ∨ b”e´
verdadeira ou falsa para cada elemento do conjunto B.
Para x = 1 e x = 7, temos que, a proposic¸a˜o a e´ verdadeira, pois 1 e 7 sa˜o nu´meros ı´mpares.
Logo, para x = 1 e x = 7, temos que a disjunc¸a˜o “( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0)”e´ verdadeira, pois, para
estes valores de x, ““( x e´ ı´mpar )”e´ verdadeira.
Para x = −2, x = −1, x = 0 e x = −6, a proposic¸a˜o b verdadeira, pois −2, −1, 0 e −6 sa˜o
menores ou iguais a zero. Desta forma, para x = −2, x = −1, x = 0 e x = −6 a disjunc¸a˜o “( x e´
ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0)”tambe´m e´ verdadeira, pois, para estes valores de x, “(x ≤ 0)”e´ verdadeira.
Conclu´ımos, portanto, que a disjunc¸a˜o “( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0)”e´ verdadeira, para todo x ∈ B.
Logo, ∀x ∈ B, ( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0) e´ verdadeira.
Este texto e´ comum as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.
Considere as func¸o˜es f(x) =
3x
2
− 4 e g(x) = −2x2 + 18x − 28. A func¸a˜o h e´ definidacomo
h(x) =
√
f(x)√
g(x)
.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
Questa˜o 5 (1.3 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o
dom´ınio da func¸a˜o h
Soluc¸a˜o: Observe que na definic¸a˜o da func¸a˜o h, tomamos a raiz quadrada da func¸a˜o f , da func¸a˜o
g e ainda realizamos o quociente entre as duas raizes. Portanto, para que a func¸a˜o h esteja bem
definida, precisamos que todas estas operac¸o˜es sejam va´lidas. Isto significa que, o que for radicando,
ou seja, o que estiver dentro do s´ımbolo de raiz quadrada, precisara´ ser maior ou igual a zero e, o
que for denominador, precisara´ ser diferente de zero. Desta forma, o dom´ınio de h e´ formado pelos
valores de x ∈ R, tais que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0. Desta forma, temos que
f(x) ≥ 0 ⇔ 3
2
x− 4 > 0
⇔ 3
2
x ≥ 4
⇔ x ≥ 2
3
· 4
⇔ x ≥ 8
3
⇔ x ∈
[
8
3
,∞
)
e
g(x) > 0 ⇔ −2x2 + 18x− 28 > 0
⇔ 2 < x < 7
⇔ x ∈ (2, 7) .
Portanto, o dom´ınio de h e´ dado por
x ∈
[
8
3
,∞
)
∩ (2, 7)
x ∈
[
8
3
, 7
)
Explicamos a seguir como resolver a inequac¸a˜o −2x2 + 18x − 28 > 0 ou, equivalentemente,
−x2 + 9x− 14 > 0, onde dividimos a inequac¸a˜o por 2, para simplificarmos as contas.
Podemos resolver a inequac¸a˜o utilizando nossos conhecimentos de para´bola. Desta forma, cha-
mando y de −x2 + 9x − 14, isto e´ y = −x2 + 9x − 14, podemos estudar o sinal da inequac¸a˜o
−x2 + 9x− 14 > 0 estudando o sinal do y da para´bola.
Primeiro, vamos determinar as ra´ızes da equac¸a˜o −x2 + 9x− 14 = 0.
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −1, b = 9 e c = −14, temos que
∆ = b2 − 4ac = (9)2 − 4(−1)(−14) = 81− 56 = 25.
Logo,
P =
−b±√∆
2a
=
−(9)±√25
2(−1) =
−9± 5
−2 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
Ou seja, as soluc¸o˜es de 8−x2+9x− 14 = 0 sa˜o x = −9 + 5−1 =
−4
−2 = 2 e x =
−9− 5
−2 =
−14
−2 = 7.
De posse das ra´ızes e, como a = −1 < 0, temos que a para´bola possui concavidade para baixo e
corta o eixo x em x = 2 e x = 7. Desta forma, y sera´ positivo para valores de x, tais que, 2 < x < 7.
Uma forma alternativa de fazer a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o
−x2 + 9x− 14 = − (x− 2) (x− 7) > 0
e´ utilizar a tabela abaixo.
(−∞, 2) (2, 7) (7,∞)
sinal de −1 − − −
sinal de (x− 2) − + +
sinal de (x− 7) − − +
sinal de − (x− 2) (x− 7) − + −
Como vemos na tabela acima,
−x2 + 9x− 14 = − (x− 2) (x− 7) > 0 ⇐⇒ 2 < x < 7.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Calcule
(
−
4
√
5
2
)2
· h(3)
Soluc¸a˜o: Temos que (
−
4
√
5
2
)2
· h(3) =
(
4
√
5
)2
(2)2
· h(3)
=
(
51/4
)2
4
· h(3)
=
(5)1/2
4
· h(3)
=
√
5
4
· h(3).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
Vamos agora calcular o valor de h(3).
h(3) =
√
f(3)√
g(3)
=
√
3
2
· 3− 4√−2(3)2 + 18 · 3− 28
=
√
9
2
− 4
√−2 · 9 + 54− 28
=
√
9− 2 · 4
2√−18 + 54− 28
=
√
9− 8
2√
8
=
√
1
2√
8
=
1√
2 · √8
=
1√
16
=
1
4
.
Substituindo agora, h(3) =
1
4
, segue que(
−
4
√
5
2
)2
· h(3) =
√
5
4
· 1
4
=
√
5
16
.
Questa˜o 7 (0.8 pt) Qual o valor ma´ximo de g? Em que ponto x esse valor ma´ximo ocorre?
Soluc¸a˜o: Observe que a func¸a˜o g e´ uma func¸a˜o quadra´tica, de modo que seu gra´fico e´ uma para´bola.
Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o g e´ a para´bola y = −2x2 + 18x − 28. Note que esta
para´bola possui concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente de x2 e´ negativo. O valor do
ma´ximo de g e´ dado pelo y do ve´rtice da para´bola, calculado abaixo, e o ponto em que a func¸a˜o g
atinge seu ma´ximo e´ dado pelo x do ve´rtice da para´bola, calculado abaixo.
yv = −∆
4a
= −(18)
2 − 4(−2)(−28)
4(−2)
=
324− 224
8
=
100
8
=
25
2
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 7
e
xv = − b
2a
= − 18
2(−2)
= − 18−4
=
9
2
.
Portanto, o valor ma´ximo de g e´ igual a yv =
25
2
e ocorre no ponto xv =
9
2
.
Este texto e´ comum as Questo˜es 8, 9, 10, 11 e 12 a seguir.
O sala´rio de um vendedor e´ formado de uma parte fixa igual a R$ 1.050,00, mais 2, 5% do va-
lor das vendas efetivadas no meˆs.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 8, 9, 10, 11 e 12 a seguir.
Questa˜o 8 (0.6 pt) Considere que a varia´vel x representa o valor das vendas efetivadas. Determine
uma expressa˜o que relacione o sala´rio em func¸a˜o de x.
Soluc¸a˜o: Chamando de S a func¸a˜o que define o sala´rio do vendedor, temos que
S(x) = 1.050 +
2, 5
100
· x, x ≥ 0.
Questa˜o 9 (0.3 pt) Em um meˆs que o sala´rio foi de R$ 1.730,00, qual foi o valor das vendas?
Soluc¸a˜o: Para descobrir o valor das vendas quando o sala´rio foi de R$ 1.730,00, precisamos resolver
a equac¸a˜o
1.730 = 1.050 +
2, 5
100
· x.
Desta forma, segue que
1.730 = 1.050 +
2, 5
100
· x ⇔ 2, 5
100
· x = 1.730− 1.050
⇔ 2, 5
100
· x = 680
⇔ x = 680 · 100
2, 5
⇔ x = 68.000
2, 5
⇔ x = 68.0000
25
⇔ x = 27.200.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 8
Portanto, quando o sala´rio foi de R$ 1.730,00, o valor das vendas foi de R$ 27.200,00.
Questa˜o 10 (0.8 pt) Seu empregador lhe fez uma proposta de diminuir a parte fixa em 15% e
aumentar a porcentagem sobre o valor das vendas realizadas para 3%. Determine a func¸a˜o sala´rio
que representa a proposta feita pelo empregador.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de PF a parte fixa da proposta feita pelo empregador. Desta forma, como
ele propo˜e uma diminuic¸a˜o de 15%, temos que
PF = 1.050− 15% · 1.050
= 1.050− 15
100
· 1.050
= 1.050− 15 · 1.050
100
= 1.050− 15.750
100
= 1.050− 157, 50
= 892, 50.
Chamando de Sp a func¸a˜o que define a proposta de sala´rio feita pelo empregador, temos que
Sp(x) = = 892, 50 +
3
100
· x, x ≥ 0.
Questa˜o 11 (0.8 pt) Esboce o gra´fico da func¸a˜o sala´rio da Questa˜o 8 e o da func¸a˜o sala´rio pro-
posto na Questa˜o 10 em um mesmo sistema de eixos.
Soluc¸a˜o: Observe que as func¸o˜es S e Sp sa˜o func¸o˜es afins, de modo que seus gra´ficos sa˜o retas.
Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o S e´ a reta y = 1.050 +
2, 5
100
· x, x ≥ 0, e o gra´fico da
func¸a˜o Sp e´ a reta y = 892, 50+
3
100
·x, x ≥ 0 . Desta forma, para determinar o gra´fico da func¸o˜es
S e Sp, basta determinarmos dois pontos de cada reta.
Gra´fico de S:
Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 1.050. Ou seja, (0, 1.050) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 1.050+ 2, 5
100
·x = 0⇐⇒ 2, 5
100
·x = −1.050⇐⇒ x = −1.050 · 100
2, 5
= −105.000
2, 5
=
−42.000. Ou seja, (−42.000 , 0) e´ um ponto da reta.
Gra´fico de Sp:
Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 9
• x = 0⇐⇒ y = 892, 50. Ou seja, (0 ; 892, 50) e´ um ponto da reta.
• y = 0 ⇐⇒ 892, 50 + 3
100
· x = 0 ⇐⇒ 3
100
· x = −892, 50 ⇐⇒ x = −892, 50 · 100
3
=
−892.500
3
= −29.750. Ou seja, (−29.750 , 0) e´ um ponto da reta.
Para o esboc¸o ficar mais preciso, vamos identificar a abscissa do ponto de intersec¸a˜o das duas retas.
1.050 +
2, 5
100
· x = 892, 50 + 3
100
· x ⇔ 3
100
· x− 2, 5
100
· x = 1.050− 892, 50
⇔ 0, 5
100
· x = 157, 50
⇔ x = 157, 50 · 100
0, 5
⇔ x = 31.500
Na Figura 1 plotamos o gra´fico das func¸o˜es S e Sp.
S
Sp
-42 000 -29 750 31 500
x
892.5
1050
1837.5
y
Figura 1: Questa˜o ??
Questa˜o 12 (0.4 pt) O funciona´rio possui uma me´dia de vendas em torno de R$ 28.000,00. Ele
deve aceitara proposta do empregador, pois sera´ mais vantajosa para ele, ou deve recusar, pois lhe
sera´ prejudicial?
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 10
Soluc¸a˜o: Graficamente, podemos observar que quando x > 31.500, a reta y = 892, 50 +
3
100
· x,
gra´fico da func¸a˜o Sp, esta´ acima da reta y = 1.050 +
2, 5
100
· x, gra´fico da func¸a˜o S. Isto significa
que para x > 31.500, Sp(x) > S(x). Ja´ para 0 ≤ x < 31.500, a reta y = 1.050 + 2, 5
100
· x,
gra´fico da func¸a˜o S, esta´ acima da reta y = 892, 50 +
3
100
· x, gra´fico da func¸a˜o Sp. Isto significa
que para 0 ≤ x < 31.500, S(x) > Sp(x). Como a me´dia de vendas do vendedor e´ em torno de
R$ 28.000,00, que e´ um valor entre 0 e 31.500, a proposta do empregador e´ prejudicial, pois, ele
ganharia menos com o sala´rio calculado pela func¸a˜o Sp do que com o sala´rio calculado pela func¸a˜o S.
Este texto e´ comum as Questo˜es 13 e 14 a seguir.
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, res-
pectivamente, por
D(P ) = −8P 2 + 16P + 330 e Q(P ) = 20P + 218, P > 0
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 13 e 14 a seguir.
Questa˜o 13 (0.7 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 330 milho˜es de unidades?
Soluc¸a˜o: Para encontrar o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 330 milho˜es de unidades,
devemos igualar a func¸a˜o demanda D a 330 e encontrar os valores de P correspondentes.
−8P 2 + 16P + 330 = 330 ⇔ 8P 2 − 16P = 0
⇔ P (P − 2) = 0
⇔ P = 0 ou P = 2.
Como P > 0, desprezamos o zero e ficamos apenas com P = 2.
Resposta: O prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 330 milho˜es de unidades e´ R$2,00.
Questa˜o 14 (0.9 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
Soluc¸a˜o: Pela definic¸a˜o de prec¸o de equil´ıbrio, precisamos determinar o prec¸o P em que D = Q,
ou seja,
−8P 2+16P +330 = 20P +218⇐⇒ 8P 2−16P +20P −330+218 = 0⇐⇒ 8P 2+4P −112 = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 11
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = 8, b = 4 e c = −112, temos que
∆ = b2 − 4ac = (4)2 − 4(8)(−112) = 16 + 3584 = 3600.
Logo,
P =
−b±√∆
2a
=
−(4)±√3600
2(8)
=
−4± 60
16
.
Ou seja, as soluc¸o˜es de 8P 2 + 4P − 112 = 0 sa˜o P1 = −4 + 60
16
=
7
2
, P2 =
−4− 60
16
= −4. Como,
o prec¸o de equil´ıbrio P deve satisfazer P > 0, ficamos apenas com P =
7
2
= 3, 5.
Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio e´ de R$3,50.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.5 pt) : Determine o valor de:
a) (0.5 pt)
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
b) (1.0 pt)
f(x)− f(2)
x− 2 −
f(x)
x
onde f(x) = x2.
c) (1.0 pt) (27)−1/3 − 2 [(0.5)2 −√9]
Soluc¸a˜o:
a)
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
=
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
√
x−√2√
x−√2
=
√
x−√2
x− 2 −
(√
x−√2)
x− 2
=
√
x−√2−√x+√2
x− 2
= 0
b)
f(x)− f(2)
x− 2 −
f(x)
x
=
x2 − 4
x− 2 −
x2
x
=
(x− 2)(x + 2)
x− 2 − x = x+ 2− x = 2.
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
c)
(27)−1/3 − 2
[
(0.5)2 −
√
9
]
=
1
(27)1/3
− 2
[(
5
10
)2
− 3
]
=
1
(33)1/3
− 2
[(
1
2
)2
− 3
]
=
1
33/3
− 2
[
1
4
− 3
]
=
1
3
− 2
[
1− 12
4
]
=
1
3
− 2
[
−11
4
]
=
1
3
+
22
4
=
1
3
+
11
2
=
2 + 33
6
=
35
6
.
Questa˜o 2 (1.5 pts) : O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de ape-
nas 5%. Devido a` intervenc¸a˜o do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu, ale´m dos 5%,
um aumento de mais 120% sobre o percentual original de 5%. Determine o percentual de reajuste
conseguido.
Soluc¸a˜o: Como a categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 5%,
temos que calcular 120% de 5%, isto e´,
120% · 5% = 120
100
· 5% = 6
5
· 5% = 6%.
Como os trabalhadores ja´ tinham conseguido 5%, somando-se agora os 6%, obte´m-se o percentual
de reajuste conseguido que foi de 11%.
Questa˜o 3 (2.0 pt) : Determine o dom´ınio da func¸a˜o f(x) =
√
x2 − 6x+ 9+√2x− 1 na forma
de intervalo.
Soluc¸a˜o: Para que possamos extrair a raiz quadrada de um nu´mero real, esse nu´mero deve ser maior
ou igual a zero. Logo, o dom´ınio da func¸a˜o e´ formado pelos nu´meros reais x tais que x2−6x+9 ≥ 0
e 2x− 1 ≥ 0.
Vamos seguir o seguinte procedimento:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
• primeiro, vamos determinar o conjunto S1 dos nu´meros que satisfazem x2 − 6x+ 9 ≥ 0;
• em seguida, determinamos o conjunto S2 dos nu´meros que satisfazem 2x− 1 ≥ 0;
• e, finalmente fazemos a intersec¸a˜o de S1 e S2, obtendo os nu´meros reais que satisfazem
x2 − 6x+ 9 ≥ 0 e 2x− 1 ≥ 0. Ou seja, determinamos o dom´ınio.
i) ii)
+ +
3
x
y
+
-
1
2
x
y
iii)
S1
S2
S1 Ý S2
1
2
Figura 1: Questa˜o 3
Determinac¸a˜o de S1 = {x ∈ R : x2 − 6x+ 9 ≥ 0} .
Por Bhaskara, temos que a soluc¸a˜o de x2 − 6x + 9 = 0, com a = 1, b = −6 e c = 9 e´ dada
por
∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(9) = 0,
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
6±√0
2(1)
=
6
2
= 3.
Assim, x2 − 6x+ 9 = 0 quando x = 3.
Na Figura 1-i). plotamos a para´bola y = x2 − 6x+ 9. Notamos que o y da para´bola e´ maior
do que zero para qualquer valor de x 6= 3. Dessa forma, y = x2 − 6x+ 9 ≥ 0, quando x ∈ R.
Da´ı, S1 = R.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
Uma outra soluc¸a˜o para a determinac¸a˜o de S1 e´ observar que x
2 − 6x + 9 = (x − 3)2 e que
(x− 3)2 ≥ 0, para qualquer x ∈ R. Desta forma, S1 = R.
Determinac¸a˜o de S2 = {x ∈ R : 2x− 1 ≥ 0} .
O valor de x em que 2x− 1 = 0 e´ x = 1
2
.
A reta y = 2x− 1 esta´ plotada na Figura 1-ii). Notamos que o y da reta e´ maior do que zero
quando x >
1
2
. E, que y = 2x− 1 ≥ 0, quando x ∈
[
1
2
,∞
)
.
Da´ı, S2 =
[
1
2
,∞
)
.
Fazendo a intersec¸a˜o de S1 com S2, obtemos o conjunto soluc¸a˜o S, dado pela Figura 1-iii). Ou seja,
S = S1 ∩ S2 =
[
1
2
,∞
)
.
Questa˜o 4 (4.0 pts) : Para a comercializac¸a˜o de um certo produto, um lojista nota que a receita
e´ dada por R(x) = −x2 + 5x e o custo e´ dado por C(x) = x2 + 2, com x ∈ [0, 5], indicando a
quantidade do produto.
a) (1.0 pt) Determine a(s) quantidade(s) x em que a receita e´ igual ao custo.
b) (2.0 pt) Esboce os gra´ficos da receita R e do custo C no mesmo plano cartesiano, marcando os
pontos (x, y) em que a receita e´ igual ao custo.
c) (0.5 pt) Determine o valor de x para que a receita R seja ma´xima.
d) (0.5 pt) Determine o custo C m´ınimo do produto.
Soluc¸a˜o:
a) Temos que
R(x) = C(x) ⇐⇒ −x2 + 5x = x2 + 2
⇐⇒ −x2 − x2 + 5x− 2 = 0
⇐⇒ −2x2 + 5x− 2 = 0.
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −2, b = 5 e c = −2, segue que
∆ = b2 − 4ac = (5)2 − 4(−2)(−2) = 9,
x =
−b±√∆
2a
=
−5±√9
2(−2) =
−5± 3
−4 ⇐⇒ x1 =
−5 + 3
−4 =
1
2
, x2 =
−5− 3
−4 = 2.Logo, os valores de x que satisfazem R(x) = C(x), isto e´, a receita e´ igual ao custo, sa˜o:
x1 =
1
2
, x2 = 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
b) Os gra´ficos de R(x) e de C(x) sa˜o representados por para´bolas. Para desenha´-las, vamos deter-
minar onde cada uma delas intercepta os eixos coordenados, a concavidade e o ve´rtice.
Para R(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para baixo pois o coefi-
ciente de x2 e´ negativo. Temos tambe´m que
• x = 0⇐⇒ R(0) = −(0)2 + 5(0) = 0.
Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
• R(x) = 0⇐⇒ −x2 + 5x = 0⇐⇒ −x(x− 5) = 0⇐⇒ x = 0 ou x− 5 = 0.
Logo, os valores que satisfazem −x2 + 5x = 0, sa˜o
x1 = 0, x2 = 5.
E, portanto a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (5, 0).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 5
2(−1) ,−
25
4(−1)
)
=
(
5
2
,
25
4
)
.
Para C(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para cima pois o coefi-
ciente de x2 e´ positivo. Temos tambe´m que
• x = 0 ⇐⇒ R(0) = (0)2 + 2 = 2. Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto
(0, 2).
• C(x) = 0⇐⇒ x2 + 2 = 0.
Note que x2+2 e´ um nu´mero maior do que zero para qualquer valor de x real, logo na˜o
existe x que satisfaz a equac¸a˜o x2 + 2 = 0, ou seja, a pa´rabola na˜o intercepta o eixo
x. Um outro modo para verificar esse fato,e´ observando que ∆ = 02− 4(1)(2) = −8 e´
negativo. O que significa que na˜o existe x real que satisfaz a equac¸a˜o.
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 0
2(1)
,−(−8)
4(1)
)
= (0, 2)
Determinemos, agora, a segunda coordenada dos pontos (x, y) da intersec¸a˜o da receita com o
custo. No item a), determinamos os nu´meros x1 =
1
2
, x2 = 2 em que R(x) = C(x). Para marcar
o ponto (x, y) em que isso ocorre, usando y = C(x) = x2 + 2 (podemos tambe´m usar a func¸a˜o
R(x)) temos
• para x1 = 1
2
que
y1 =
(
1
2
)2
+ 2
=
1
4
+ 2
=
1 + 8
4
=
9
4
Logo,
(
1
2
,
9
4
)
sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
• para x1 = 2 que
y2 = (2)
2 + 2
= 4 + 2
= 6.
Logo, (2, 6) sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x).
Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de R(x), de C(x) e dos pontos em que R(x) = C(x).
VR H52, 254L
VC H0,2L
R
C
1
2
2
5
2
5
x
94
6
27
y
Figura 2: Questa˜o 4
c) Como o gra´fico de R e´ uma para´bola, com concavidade voltada para baixo pois o coeficiente de
x2 e´ negativo, segue que o valor de x em que a receita e´ ma´xima ocorre em x = xv onde xv e´ a
primeira coordenada do ve´rtice VR da para´bola. Assim, x = xv = − b
2a
= − 5
2(−1) =
5
2
.
d) Como o gra´fico de C e´ uma para´bola, com concavidade voltada para cima pois o coeficiente de x2
e´ positivo, segue que o valor do custo m´ınimo ocorre em y = yv onde yv e´ a segunda coordenada
do ve´rtice VC da para´bola. Assim, y = yv = −∆
4a
= − [0
2 − 4(1)(2)]
4(1)
= −(−8)
4
=
8
4
= 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.5 pt) : Determine o valor de:
a) (0.5 pt)
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
b) (1.0 pt)
f(x)− f(2)
x− 2 −
f(x)
x
onde f(x) = x2.
c) (1.0 pt) (27)−1/3 − 2 [(0.5)2 −√9]
Soluc¸a˜o:
a)
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
=
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
√
x−√2√
x−√2
=
√
x−√2
x− 2 −
(√
x−√2)
x− 2
=
√
x−√2−√x+√2
x− 2
= 0
b)
f(x)− f(2)
x− 2 −
f(x)
x
=
x2 − 4
x− 2 −
x2
x
=
(x− 2)(x + 2)
x− 2 − x = x+ 2− x = 2.
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
c)
(27)−1/3 − 2
[
(0.5)2 −
√
9
]
=
1
(27)1/3
− 2
[(
5
10
)2
− 3
]
=
1
(33)1/3
− 2
[(
1
2
)2
− 3
]
=
1
33/3
− 2
[
1
4
− 3
]
=
1
3
− 2
[
1− 12
4
]
=
1
3
− 2
[
−11
4
]
=
1
3
+
22
4
=
1
3
+
11
2
=
2 + 33
6
=
35
6
.
Questa˜o 2 (1.5 pts) : O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de ape-
nas 5%. Devido a` intervenc¸a˜o do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu, ale´m dos 5%,
um aumento de mais 120% sobre o percentual original de 5%. Determine o percentual de reajuste
conseguido.
Soluc¸a˜o: Como a categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 5%,
temos que calcular 120% de 5%, isto e´,
120% · 5% = 120
100
· 5% = 6
5
· 5% = 6%.
Como os trabalhadores ja´ tinham conseguido 5%, somando-se agora os 6%, obte´m-se o percentual
de reajuste conseguido que foi de 11%.
Questa˜o 3 (2.0 pt) : Determine o dom´ınio da func¸a˜o f(x) =
√
x2 − 6x+ 9+√2x− 1 na forma
de intervalo.
Soluc¸a˜o: Para que possamos extrair a raiz quadrada de um nu´mero real, esse nu´mero deve ser maior
ou igual a zero. Logo, o dom´ınio da func¸a˜o e´ formado pelos nu´meros reais x tais que x2−6x+9 ≥ 0
e 2x− 1 ≥ 0.
Vamos seguir o seguinte procedimento:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
• primeiro, vamos determinar o conjunto S1 dos nu´meros que satisfazem x2 − 6x+ 9 ≥ 0;
• em seguida, determinamos o conjunto S2 dos nu´meros que satisfazem 2x− 1 ≥ 0;
• e, finalmente fazemos a intersec¸a˜o de S1 e S2, obtendo os nu´meros reais que satisfazem
x2 − 6x+ 9 ≥ 0 e 2x− 1 ≥ 0. Ou seja, determinamos o dom´ınio.
i) ii)
+ +
3
x
y
+
-
1
2
x
y
iii)
S1
S2
S1 Ý S2
1
2
Figura 1: Questa˜o 3
Determinac¸a˜o de S1 = {x ∈ R : x2 − 6x+ 9 ≥ 0} .
Por Bhaskara, temos que a soluc¸a˜o de x2 − 6x + 9 = 0, com a = 1, b = −6 e c = 9 e´ dada
por
∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(9) = 0,
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
6±√0
2(1)
=
6
2
= 3.
Assim, x2 − 6x+ 9 = 0 quando x = 3.
Na Figura 1-i). plotamos a para´bola y = x2 − 6x+ 9. Notamos que o y da para´bola e´ maior
do que zero para qualquer valor de x 6= 3. Dessa forma, y = x2 − 6x+ 9 ≥ 0, quando x ∈ R.
Da´ı, S1 = R.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
Uma outra soluc¸a˜o para a determinac¸a˜o de S1 e´ observar que x
2 − 6x + 9 = (x − 3)2 e que
(x− 3)2 ≥ 0, para qualquer x ∈ R. Desta forma, S1 = R.
Determinac¸a˜o de S2 = {x ∈ R : 2x− 1 ≥ 0} .
O valor de x em que 2x− 1 = 0 e´ x = 1
2
.
A reta y = 2x− 1 esta´ plotada na Figura 1-ii). Notamos que o y da reta e´ maior do que zero
quando x >
1
2
. E, que y = 2x− 1 ≥ 0, quando x ∈
[
1
2
,∞
)
.
Da´ı, S2 =
[
1
2
,∞
)
.
Fazendo a intersec¸a˜o de S1 com S2, obtemos o conjunto soluc¸a˜o S, dado pela Figura 1-iii). Ou seja,
S = S1 ∩ S2 =
[
1
2
,∞
)
.
Questa˜o 4 (4.0 pts) : Para a comercializac¸a˜o de um certo produto, um lojista nota que a receita
e´ dada por R(x) = −x2 + 5x e o custo e´ dado por C(x) = x2 + 2, com x ∈ [0, 5], indicando a
quantidade do produto.
a) (1.0 pt) Determine a(s) quantidade(s) x em que a receita e´ igual ao custo.
b) (2.0 pt) Esboce os gra´ficos da receita R e do custo C no mesmo plano cartesiano, marcando os
pontos (x, y) emque a receita e´ igual ao custo.
c) (0.5 pt) Determine o valor de x para que a receita R seja ma´xima.
d) (0.5 pt) Determine o custo C m´ınimo do produto.
Soluc¸a˜o:
a) Temos que
R(x) = C(x) ⇐⇒ −x2 + 5x = x2 + 2
⇐⇒ −x2 − x2 + 5x− 2 = 0
⇐⇒ −2x2 + 5x− 2 = 0.
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −2, b = 5 e c = −2, segue que
∆ = b2 − 4ac = (5)2 − 4(−2)(−2) = 9,
x =
−b±√∆
2a
=
−5±√9
2(−2) =
−5± 3
−4 ⇐⇒ x1 =
−5 + 3
−4 =
1
2
, x2 =
−5− 3
−4 = 2.
Logo, os valores de x que satisfazem R(x) = C(x), isto e´, a receita e´ igual ao custo, sa˜o:
x1 =
1
2
, x2 = 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
b) Os gra´ficos de R(x) e de C(x) sa˜o representados por para´bolas. Para desenha´-las, vamos deter-
minar onde cada uma delas intercepta os eixos coordenados, a concavidade e o ve´rtice.
Para R(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para baixo pois o coefi-
ciente de x2 e´ negativo. Temos tambe´m que
• x = 0⇐⇒ R(0) = −(0)2 + 5(0) = 0.
Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
• R(x) = 0⇐⇒ −x2 + 5x = 0⇐⇒ −x(x− 5) = 0⇐⇒ x = 0 ou x− 5 = 0.
Logo, os valores que satisfazem −x2 + 5x = 0, sa˜o
x1 = 0, x2 = 5.
E, portanto a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (5, 0).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 5
2(−1) ,−
25
4(−1)
)
=
(
5
2
,
25
4
)
.
Para C(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para cima pois o coefi-
ciente de x2 e´ positivo. Temos tambe´m que
• x = 0 ⇐⇒ R(0) = (0)2 + 2 = 2. Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto
(0, 2).
• C(x) = 0⇐⇒ x2 + 2 = 0.
Note que x2+2 e´ um nu´mero maior do que zero para qualquer valor de x real, logo na˜o
existe x que satisfaz a equac¸a˜o x2 + 2 = 0, ou seja, a pa´rabola na˜o intercepta o eixo
x. Um outro modo para verificar esse fato,e´ observando que ∆ = 02− 4(1)(2) = −8 e´
negativo. O que significa que na˜o existe x real que satisfaz a equac¸a˜o.
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 0
2(1)
,−(−8)
4(1)
)
= (0, 2)
Determinemos, agora, a segunda coordenada dos pontos (x, y) da intersec¸a˜o da receita com o
custo. No item a), determinamos os nu´meros x1 =
1
2
, x2 = 2 em que R(x) = C(x). Para marcar
o ponto (x, y) em que isso ocorre, usando y = C(x) = x2 + 2 (podemos tambe´m usar a func¸a˜o
R(x)) temos
• para x1 = 1
2
que
y1 =
(
1
2
)2
+ 2
=
1
4
+ 2
=
1 + 8
4
=
9
4
Logo,
(
1
2
,
9
4
)
sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
• para x1 = 2 que
y2 = (2)
2 + 2
= 4 + 2
= 6.
Logo, (2, 6) sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x).
Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de R(x), de C(x) e dos pontos em que R(x) = C(x).
VR H52, 254L
VC H0,2L
R
C
1
2
2
5
2
5
x
94
6
27
y
Figura 2: Questa˜o 4
c) Como o gra´fico de R e´ uma para´bola, com concavidade voltada para baixo pois o coeficiente de
x2 e´ negativo, segue que o valor de x em que a receita e´ ma´xima ocorre em x = xv onde xv e´ a
primeira coordenada do ve´rtice VR da para´bola. Assim, x = xv = − b
2a
= − 5
2(−1) =
5
2
.
d) Como o gra´fico de C e´ uma para´bola, com concavidade voltada para cima pois o coeficiente de x2
e´ positivo, segue que o valor do custo m´ınimo ocorre em y = yv onde yv e´ a segunda coordenada
do ve´rtice VC da para´bola. Assim, y = yv = −∆
4a
= − [0
2 − 4(1)(2)]
4(1)
= −(−8)
4
=
8
4
= 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.5 pt) : Determine o valor de:
a) (0.5 pt)
√
x−
√
2
x− 2 −
1
√
x+
√
2
b) (1.0 pt)
f(x)− f(2)
x− 2 −
f(x)
x
onde f(x) = x2.
c) (1.0 pt) (27)−1/3 − 2
[
(0.5)2 −
√
9
]
Questa˜o 2 (1.5 pts) : O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas
5%. Devido a` intervenc¸a˜o do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu, ale´m dos 5%, um
aumento de mais 120% sobre o percentual original de 5%. Determine o percentual de reajuste
conseguido.
Questa˜o 3 (2.0 pt) : Determine o dom´ınio da func¸a˜o f(x) =
√
x2 − 6x+ 9+
√
2x− 1 na forma
de intervalo.
Questa˜o 4 (4.0 pts) : Para a comercializac¸a˜o de um certo produto, um lojista nota que a receita
e´ dada por R(x) = −x2 + 5x e o custo e´ dado por C(x) = x2 + 2, com x ∈ [0, 5], indicando a
quantidade do produto.
a) (1.0 pt) Determine a(s) quantidade(s) x em que a receita e´ igual ao custo.
b) (2.0 pt) Esboce os gra´ficos da receita R e do custo C no mesmo plano cartesiano, marcando os
pontos (x, y) em que a receita e´ igual ao custo.
c) (0.5 pt) Determine o valor de x para que a receita R seja ma´xima.
d) (0.5 pt) Determine o custo C m´ınimo do produto.
BOA PROVA!
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Calcule:
a) 2× 1
5
b)
(
−1
3
)2
c) 3
√−125 d) (√2−√5)2
Os itens valem, respectivamente, (0.2), (0.2), (0.3) e (0.3).
Soluc¸a˜o:
a) 2× 1
5
=
2
1
× 1
5
=
2 · 1
1 · 5 =
2
5
b)
(
−1
3
)2
=
(
−1
3
)
·
(
−1
3
)
=
(−1) · (−1)
3 · 3 =
1
9
c) 3
√−125 = (−125)1/3 = [(−5)3]1/3 = (−5)3/3 = (−5)1 = −5
d)
(√
2−√5)2 = (√2)2 − 2 · √2 · √5 + (√5)2 = 2− 2√10 + 5 = 7− 2√10
Questa˜o 2 (2.0 pt) : Indique quais das sentenc¸as a seguir sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas.
Justifique sua resposta.
a) (0.5 pt) ( ) Se x e´ um nu´mero real tal que x > 3, enta˜o −3 < −x
b) (0.5 pt) ( ) Para todo m que e´ um nu´mero inteiro positivo, tem-se que m+ 1 > 3.
c) (1.0 pt) ( ) Na˜o existe um nu´mero real x tal que x2 − 2x+ 2 < 0.
Soluc¸a˜o:
a) ( Falsa ) Pois, por exemplo, para x = 10 temos que 10 > 3, no entanto −3 > −10.
b) ( Falsa ) Pois, por exemplo, para m = 1, m+ 1 = 2 < 3
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
c) ( Verdadeira ) Para saber se o que se afirma e´ verdade ou na˜o, vamos estudar o sinal de x2−2x+2.
Para isso, vamos chamar y de x2 − 2x+ 2, isto e´, y = x2 − 2x+ 2.
Lembremos que no plano euclideano o gra´fico de y = x2 − 2x + 2 e´ uma para´bola. Vamos,
enta˜o, estudar o sinal do y da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela tem
a concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2 e´ positivo. Ale´m disso, quando
y = 0, isto e´, quando x2 − 2x + 2 = 0, temos que ∆ = 4 − 8 = −4 < 0, o que significa quea
para´bola na˜o intercepta o eixo x. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola e´
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=(
−(−2)
2
,−(−4)
4
)
= (1, 1). A partir destas informac¸o˜es, plotamos o gra´fico da para´bola na
Figura 1. Nele, observamos que para qualquer x real, o ponto (x, y) da para´bola, tem o y
positivo. Ou seja, na˜o existe x real tal que x2 − 2x+ 2 < 0.
1
x
1
y
Figura 1: Questa˜o 2-g)
Questa˜o 3 (1.5 pt) : Um funciona´rio de uma empresa recebeu a quantia de R$ 285,00 a mais em
seu sala´rio. Essa quantia refere-se a um aumento de 9,5% sobre o seu sala´rio.
a) (1.0 pt) Determine qual era o sala´rio do funciona´rio antes do aumento.
b) (0.5 pt) Qual e´ o sala´rio do funciona´rio depois do aumento?
Soluc¸a˜o:
a) Seja S o sala´rio do funciona´rio antes do aumento. Pelo enunciado, temos que
9, 5% · S = 285, 00 ⇐⇒ 9, 5
100
· S = 285, 00
⇐⇒
95
10
100
· S = 285, 00
⇐⇒ 95
1000
· S = 285, 00
⇐⇒ S = 1000
95
· 285, 00
⇐⇒ S = 3000, 00.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
Ou seja, o sala´rio do funciona´rio antes do aumento era igual a R$ 3000,00.
b) O sala´rio do funciona´rio depois do aumento e´ igual a soma de R$3000,00 com R$285,00. Ou
seja, e´ igual a R$ 3285,00.
Questa˜o 4 (3.0 pts) : Considere o sistema S de equac¸o˜es:
S :
{
x2 − 6x− y = 0 (i)
2x− y = 7. (ii)
a) (1.5 pt) Determine as soluc¸o˜es do sistema, se existirem.
b) (1.5 pt) Fac¸a os esboc¸os dos gra´ficos das equac¸o˜es (i), (ii) e marque, tambe´m, os pontos encon-
trados no item a) (se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo (i)− (ii),
temos 

x2 − 6x− y = 0
−2x+ y = −7
+
x2 − 8x = −7
Encontramos enta˜o que
x2 − 8x+ 7 = 0⇐⇒ x = 8±
√
64− 28
2
⇐⇒ x = 8± 6
2
⇐⇒ x = 7 ou x = 1.
Substituindo x em 2x− y = 7 para determinar o valor de y correspondente, temos que
• para x = 1, 2(1)− y = 7⇐⇒ y = 2− 7⇐⇒ y = −5.
• para x = 7, 2(7)− y = 7⇐⇒ y = 14− 7⇐⇒ y = 7.
Portanto, o sistema S tem como soluc¸o˜es os pares ordenados (1,−5), (7, 7).
b) As equac¸o˜es x2−6x−y = 0 e 2x−y = 7 podem ser reescritas na forma y = x2−6x e y = 2x−7
cujos gra´ficos sa˜o representados por uma para´bola e por uma reta, respectivamente.
Gra´fico de y = x2 − 6x: a para´bola tem concavidade voltada para cima pois o coeficiente de
x2 e´ positivo. Temos tambe´m que
• x = 0⇐⇒ y = (0)2 − 6(0) = 0.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
• y = 0⇐⇒ x2 − 6x = 0⇐⇒ x(x− 6) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 6.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (6, 0).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
• O ve´rtice V = (xv, yv) da para´bola tem coordenadas
xv = − b
2a
= −(−6)
2(1)
= 3 e yv = x
2
v − 6xv = (3)2 − 6(3) = −9.
Gra´fico de y = 2x− 7: Para determinar a reta, basta determinarmos dois pontos pelos quais
ela passa. Temos que:
• x = 0⇐⇒ y = 2(0)− 7 = −7. Ou seja, (0,−7) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 2x− 7 = 0⇐⇒ x = 7
2
. Ou seja,
(
7
2
, 0
)
e´ um ponto da reta.
Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de y = x2 − 6x e de y = 2x − 7, bem como os pontos
encontrados no item a).
V
1
7
2 6 7
x
-5
-3
7
-7
-9
y
Figura 2: Questa˜o 4, item b)
Questa˜o 5 (2.5 pts) : Considere as func¸o˜es f(x) = 2x− 1
3
e g(x) = x+ 3.
a) (1.4 pt) Considere a nova func¸a˜o h(x) =
1√
f(x) g(x)
. Determine o dom´ınio de h na forma de
intervalo ou reunia˜o de intervalos.
b) (0.5 pt) Calcule h(−4).
c) (0.6 pt) Considere uma nova func¸a˜o w(x) =
1√
f(x)
√
g(x)
.
Qual e´ o dom´ınio da func¸a˜o w? As func¸o˜es h(x) e w(x) sa˜o iguais? Justifique sua resposta.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
Soluc¸a˜o:
a) Como h(x) =
1√
f(x) g(x)
=
1√(
2x− 1
3
)
(x+ 3)
, isto e´, h e´ um quociente, segue que o deno-
minador de h deve ser diferente de zero para que esse quociente esteja bem definido, ou seja,√(
2x− 1
3
)
(x+ 3) 6= 0⇐⇒
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) 6= 0.
Por outro lado,
√(
2x− 1
3
)
(x+ 3) esta´ bem definida quando
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) ≥ 0.
Assim, o dom´ınio D(h) de h e´ formado pelos valores de x ∈ R em que(
2x− 1
3
)
(x+ 3) 6= 0 e
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) ≥ 0.
Isto significa que D(h) e´ formado pelos valores de x ∈ R em que(
2x− 1
3
)
(x+ 3) > 0.
Vamos, enta˜o, determinar os valores de x ∈ R que satisfazem a inequac¸a˜o acima utilizando a
te´cnica de ana´lise de sinais.
Ou seja, vamos estudar o sinal de 2x− 1
3
e de x+ 3;
Estudo do sinal de 2x− 1
3
• 2x− 1
3
= 0⇐⇒ x = 1
6
• 2x− 1
3
> 0⇐⇒ x > 1
6
• 2x− 1
3
< 0⇐⇒ x < 1
6
Estudo do sinal de x+ 3
• x+ 3 = 0⇐⇒ x = −3
• x+ 3 > 0⇐⇒ x > −3
• x+ 3 < 0⇐⇒ x < −3
Tomando as ra´ızes das equac¸o˜es 2x− 1
3
= 0 e x+3 = 0 como pontos de refereˆncia constru´ımos
a tabela a seguir para determinar os valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o dada.
(−∞,−3)
(
−3, 1
6
) (
1
6
,∞
)
sinal de
(
2x− 1
3
)
− − +
sinal de (x+ 3) − + +
sinal de
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) + − +
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
Como vemos na tabela acima,(
2x− 1
3
)
(x+ 3) > 0 ⇐⇒ x < −3 ou x > 1
6
.
Portanto, D(h) = (−∞,−3) ∪
(
1
6
,∞
)
.
b) Temos que
• f(−4) = 2(−4)− 1
3
= −8 − 1
3
=
−24− 1
3
= −25
3
• g(−4) = −4 + 3 = −1
• f(−4) g(−4) =
(
−25
3
)
(−1) = 25
3
Logo,
h(−4) = 1√
f(−4) g(−4) =
1√
25
3
=
1√
25√
3
=
1
5√
3
=
√
3
5
.
c) Como w(x) =
1√
f(x)
√
g(x)
=
1√
2x− 1
3
√
x+ 3
, isto e´, w e´ um quociente, segue que o
denominador de w deve ser diferente de zero para que esse quociente esteja bem definido, ou
seja,√
2x− 1
3
√
x+ 3 6= 0 ⇐⇒
√
2x− 1
3
6= 0 e √x+ 3 6= 0⇐⇒ 2x− 1
3
6= 0 e x+ 3 6= 0.
Por outro lado,
√
2x− 1
3
e
√
x+ 3 esta˜o bem definidas quando 2x− 1
3
≥ 0 e x+ 3 ≥ 0.
Isto significa que D(w) e´ formado pelos valores de x ∈ R em que
2x− 1
3
> 0 e x+ 3 > 0.
Ou seja, pelos valores de x tais que x >
1
6
.
Assim, D(w) =
(
1
6
,∞
)
.
Da´ı, como D(h) 6= D(w), segue que as func¸o˜es h e w sa˜o diferentes.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Calcule:
a) 2× 1
5
b)
(
−1
3
)2
c) 3
√−125 d) (√2−√5)2
Os itens valem, respectivamente, (0.2), (0.2), (0.3) e (0.3).
Soluc¸a˜o:
a) 2× 1
5
=
2
1
× 1
5
=
2 · 1
1 · 5 =
2
5
b)
(
−1
3
)2
=
(
−1
3
)
·
(
−1
3
)
=
(−1) · (−1)
3 · 3 =
1
9
c) 3
√−125 = (−125)1/3 = [(−5)3]1/3 = (−5)3/3 = (−5)1 = −5
d)
(√
2−√5)2 = (√2)2 − 2 · √2 · √5 + (√5)2 = 2− 2√10 + 5 = 7− 2√10
Questa˜o 2 (2.0 pt) : Indique quais das sentenc¸as a seguir sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas.
Justifique sua resposta.
a) (0.5 pt) ( ) Se x e´ um nu´mero real tal que x > 3, enta˜o −3 < −x
b) (0.5 pt) ( ) Para todo m que e´ um nu´merointeiro positivo, tem-se que m+ 1 > 3.
c) (1.0 pt) ( ) Na˜o existe um nu´mero real x tal que x2 − 2x+ 2 < 0.
Soluc¸a˜o:
a) ( Falsa ) Pois, por exemplo, para x = 10 temos que 10 > 3, no entanto −3 > −10.
b) ( Falsa ) Pois, por exemplo, para m = 1, m+ 1 = 2 < 3
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
c) ( Verdadeira ) Para saber se o que se afirma e´ verdade ou na˜o, vamos estudar o sinal de x2−2x+2.
Para isso, vamos chamar y de x2 − 2x+ 2, isto e´, y = x2 − 2x+ 2.
Lembremos que no plano euclideano o gra´fico de y = x2 − 2x + 2 e´ uma para´bola. Vamos,
enta˜o, estudar o sinal do y da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela tem
a concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2 e´ positivo. Ale´m disso, quando
y = 0, isto e´, quando x2 − 2x + 2 = 0, temos que ∆ = 4 − 8 = −4 < 0, o que significa que a
para´bola na˜o intercepta o eixo x. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola e´
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=(
−(−2)
2
,−(−4)
4
)
= (1, 1). A partir destas informac¸o˜es, plotamos o gra´fico da para´bola na
Figura 1. Nele, observamos que para qualquer x real, o ponto (x, y) da para´bola, tem o y
positivo. Ou seja, na˜o existe x real tal que x2 − 2x+ 2 < 0.
1
x
1
y
Figura 1: Questa˜o 2-g)
Questa˜o 3 (1.5 pt) : Um funciona´rio de uma empresa recebeu a quantia de R$ 285,00 a mais em
seu sala´rio. Essa quantia refere-se a um aumento de 9,5% sobre o seu sala´rio.
a) (1.0 pt) Determine qual era o sala´rio do funciona´rio antes do aumento.
b) (0.5 pt) Qual e´ o sala´rio do funciona´rio depois do aumento?
Soluc¸a˜o:
a) Seja S o sala´rio do funciona´rio antes do aumento. Pelo enunciado, temos que
9, 5% · S = 285, 00 ⇐⇒ 9, 5
100
· S = 285, 00
⇐⇒
95
10
100
· S = 285, 00
⇐⇒ 95
1000
· S = 285, 00
⇐⇒ S = 1000
95
· 285, 00
⇐⇒ S = 3000, 00.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
Ou seja, o sala´rio do funciona´rio antes do aumento era igual a R$ 3000,00.
b) O sala´rio do funciona´rio depois do aumento e´ igual a soma de R$3000,00 com R$285,00. Ou
seja, e´ igual a R$ 3285,00.
Questa˜o 4 (3.0 pts) : Considere o sistema S de equac¸o˜es:
S :
{
x2 − 6x− y = 0 (i)
2x− y = 7. (ii)
a) (1.5 pt) Determine as soluc¸o˜es do sistema, se existirem.
b) (1.5 pt) Fac¸a os esboc¸os dos gra´ficos das equac¸o˜es (i), (ii) e marque, tambe´m, os pontos encon-
trados no item a) (se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo (i)− (ii),
temos 

x2 − 6x− y = 0
−2x+ y = −7
+
x2 − 8x = −7
Encontramos enta˜o que
x2 − 8x+ 7 = 0⇐⇒ x = 8±
√
64− 28
2
⇐⇒ x = 8± 6
2
⇐⇒ x = 7 ou x = 1.
Substituindo x em 2x− y = 7 para determinar o valor de y correspondente, temos que
• para x = 1, 2(1)− y = 7⇐⇒ y = 2− 7⇐⇒ y = −5.
• para x = 7, 2(7)− y = 7⇐⇒ y = 14− 7⇐⇒ y = 7.
Portanto, o sistema S tem como soluc¸o˜es os pares ordenados (1,−5), (7, 7).
b) As equac¸o˜es x2−6x−y = 0 e 2x−y = 7 podem ser reescritas na forma y = x2−6x e y = 2x−7
cujos gra´ficos sa˜o representados por uma para´bola e por uma reta, respectivamente.
Gra´fico de y = x2 − 6x: a para´bola tem concavidade voltada para cima pois o coeficiente de
x2 e´ positivo. Temos tambe´m que
• x = 0⇐⇒ y = (0)2 − 6(0) = 0.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
• y = 0⇐⇒ x2 − 6x = 0⇐⇒ x(x− 6) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 6.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (6, 0).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
• O ve´rtice V = (xv, yv) da para´bola tem coordenadas
xv = − b
2a
= −(−6)
2(1)
= 3 e yv = x
2
v − 6xv = (3)2 − 6(3) = −9.
Gra´fico de y = 2x− 7: Para determinar a reta, basta determinarmos dois pontos pelos quais
ela passa. Temos que:
• x = 0⇐⇒ y = 2(0)− 7 = −7. Ou seja, (0,−7) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 2x− 7 = 0⇐⇒ x = 7
2
. Ou seja,
(
7
2
, 0
)
e´ um ponto da reta.
Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de y = x2 − 6x e de y = 2x − 7, bem como os pontos
encontrados no item a).
V
1
7
2 6 7
x
-5
-3
7
-7
-9
y
Figura 2: Questa˜o 4, item b)
Questa˜o 5 (2.5 pts) : Considere as func¸o˜es f(x) = 2x− 1
3
e g(x) = x+ 3.
a) (1.4 pt) Considere a nova func¸a˜o h(x) =
1√
f(x) g(x)
. Determine o dom´ınio de h na forma de
intervalo ou reunia˜o de intervalos.
b) (0.5 pt) Calcule h(−4).
c) (0.6 pt) Considere uma nova func¸a˜o w(x) =
1√
f(x)
√
g(x)
.
Qual e´ o dom´ınio da func¸a˜o w? As func¸o˜es h(x) e w(x) sa˜o iguais? Justifique sua resposta.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
Soluc¸a˜o:
a) Como h(x) =
1√
f(x) g(x)
=
1√(
2x− 1
3
)
(x+ 3)
, isto e´, h e´ um quociente, segue que o deno-
minador de h deve ser diferente de zero para que esse quociente esteja bem definido, ou seja,√(
2x− 1
3
)
(x+ 3) 6= 0⇐⇒
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) 6= 0.
Por outro lado,
√(
2x− 1
3
)
(x+ 3) esta´ bem definida quando
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) ≥ 0.
Assim, o dom´ınio D(h) de h e´ formado pelos valores de x ∈ R em que(
2x− 1
3
)
(x+ 3) 6= 0 e
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) ≥ 0.
Isto significa que D(h) e´ formado pelos valores de x ∈ R em que(
2x− 1
3
)
(x+ 3) > 0.
Vamos, enta˜o, determinar os valores de x ∈ R que satisfazem a inequac¸a˜o acima utilizando a
te´cnica de ana´lise de sinais.
Ou seja, vamos estudar o sinal de 2x− 1
3
e de x+ 3;
Estudo do sinal de 2x− 1
3
• 2x− 1
3
= 0⇐⇒ x = 1
6
• 2x− 1
3
> 0⇐⇒ x > 1
6
• 2x− 1
3
< 0⇐⇒ x < 1
6
Estudo do sinal de x+ 3
• x+ 3 = 0⇐⇒ x = −3
• x+ 3 > 0⇐⇒ x > −3
• x+ 3 < 0⇐⇒ x < −3
Tomando as ra´ızes das equac¸o˜es 2x− 1
3
= 0 e x+3 = 0 como pontos de refereˆncia constru´ımos
a tabela a seguir para determinar os valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o dada.
(−∞,−3)
(
−3, 1
6
) (
1
6
,∞
)
sinal de
(
2x− 1
3
)
− − +
sinal de (x+ 3) − + +
sinal de
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) + − +
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
Como vemos na tabela acima,(
2x− 1
3
)
(x+ 3) > 0 ⇐⇒ x < −3 ou x > 1
6
.
Portanto, D(h) = (−∞,−3) ∪
(
1
6
,∞
)
.
b) Temos que
• f(−4) = 2(−4)− 1
3
= −8 − 1
3
=
−24− 1
3
= −25
3
• g(−4) = −4 + 3 = −1
• f(−4) g(−4) =
(
−25
3
)
(−1) = 25
3
Logo,
h(−4) = 1√
f(−4) g(−4) =
1√
25
3
=
1√
25√
3
=
1
5√
3
=
√
3
5
.
c) Como w(x) =
1√
f(x)
√
g(x)
=
1√
2x− 1
3
√
x+ 3
, isto e´, w e´ um quociente, segue que o
denominador de w deve ser diferente de zero para que esse quociente esteja bem definido, ou
seja,√
2x− 1
3
√
x+ 3 6= 0 ⇐⇒
√
2x− 1
3
6= 0 e √x+ 3 6= 0⇐⇒ 2x− 1
3
6= 0 e x+ 3 6= 0.
Por outro lado,
√
2x− 1
3
e
√
x+ 3 esta˜o bem definidas quando 2x− 1
3
≥ 0 e x+ 3 ≥ 0.
Isto significa que D(w) e´ formado pelos valores de x ∈ R em que
2x− 1
3
> 0 e x+ 3 > 0.
Ou seja, pelos valores de x tais que x >
1
6
.
Assim, D(w) =
(
1
6
,∞
)
.
Da´ı, como D(h) 6= D(w), segue que as func¸o˜es h e w sa˜o diferentes.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas