exercicios6

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MA22 - Unidade 6 - Exercícios
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
29 de Março de 2013
Exercícios
1) Determine o termo geral e calcule o limite da sequência
2
1
,
4
3
,
6
5
,
8
7
, . . . .
2) Calcule
lim
n→∞
[
1− 1
4
+
1
16
− · · ·+ (−1)n 1
4
n
]
.
3) Calcule o limite da sequência
2, 2, 3, 2, 31, 2, 317, 2, 3171, 2, 31717, . . .
4) Calcule o limite da sequência
√
5,
√
5
√
5,
√
5
√
5
√
5, . . . ,
5) Calcule o limite da sequência cujo termo geral é
a)
1
n
2
+ 2
n
2
+ 3
n
2
+ · · ·+ n
n
2
.
b)
1
n
3
+ 2
2
n
3
+ 3
2
n
3
+ · · ·+ n2
n
3
.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 6 - Exercícios slide 2/5
Exercícios
6) Diga se é finito ou infinito o limite da sequência cujo termo
geral é
1
n
p+1
+
2
p
n
p+1
+
3
p
n
p+1
+ · · ·+ n
p
n
p+1
.
7) Calcule
a) lim
n→∞(
√
n + 1−√n);
b) lim
n→∞( 3
√
n + 1− 3√n);
c) lim
n→∞( k
√
n + 1− k√n), onde k ∈ N.
Sugestão: Pode ser útil usar a identidade:
b − a =
(
k
√
b − k√a
)(
k
√
b
k−1 + k
√
b
k−2 k√
a + · · ·+ k
√
a
k−1
)
.
8) Calcule lim
n→∞ n
2
cos n!
n
3+1
.
9) Calcule lim
n→∞
n
√
n
2
.
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Exercícios
10) Seja a um número real positivo. Mostre que
lim
x→−∞ a
x =
{
0, se a > 0,
∞, se 0 < a < 1.
11) Prove a seguinte variante da regra de substituição: Sejam f e
g duas funções para as quais faz sentido formar g ◦ f . Seja a um
número real tal que lim
x→a f (x) =∞. Se limy→∞ g(y) = L, então
lim
x→a g(f (x)) = L.
Mostre que se L for substituído por ∞, o resultado continua
valendo. Mostre também vale o resultado para limites laterais.
12) Calcule o limite lim
x→pi
2
− 3tg
5
x+2tg3 x+5
2tg
5
x+tg2 x+1
.
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Exercícios
13) Calcule lim
x→a
√
x−b−√a−b
x
2−a2 , se a > b.
14) Calcule lim
x→0 1−cos x
sen
2
x
.
15) Calcule lim
x→∞ 2
2x+2x
4
x+4
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