exercicios7

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MA22 - Unidade 7 - Exercícios
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
7 de Abril de 2013
Exercícios
1) Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua
no ponto indicado.
(a) f (x) =

2+ sen (pix), se x ≤ 2,
2x − 2, se x > 2,
no ponto 2 ;
(b) g(x) =

2x
2−3x+1
x
2−3x+1 , se x < 1,
x
2 − 2x + 3, se x ≤ 1,
no ponto 1 ;
(c) h(x) = x [x ], no ponto −3.
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Exercícios
2) Seja f : R −→ R a função definida por
f (x) =

3 cospix se x < 0,
a x + b se 0 ≤ x ≤ 3,
x − 3 se x > 3.
(a) Calcule os valores de a e de b, tais que f seja uma função
contínua.
(b) Faça um esboço do gráfico de f usando os valores de a e de b
calculados no item anterior.
3) Encontre um exemplo de uma função que seja contínua apenas
nos números inteiros.
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Exercícios
4) Sejam f , g : D −→ R funções, a ∈ D tal que todo intervalo
aberto contendo a intersecta D \ {a}. Suponha que f e g sejam
contínuas em a e f (a) > g(a). Mostre que existe um r > 0 tal que,
para todo x ∈ (a − r , a + r) ∩ D, f (x) > g(x).
5) Mostre que existem funções f , g : R −→ R tais que g seja
contínua, f não seja contínua (digamos em a = 0), mas g ◦ f seja
contínua.
6) Mostre que a função f : R −→ R, definida por
f (x) =

1
x
sen x , se x 6= 0,
0, se x = 0
é contínua.
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Exercícios
7) Sejam f , g : R −→ R funções contínuas e
A = {x ∈ R ; f (x) 6= g(x) }. Mostre que, se a ∈ A, então existe
r > 0 tal que, se x ∈ (a − r , a + r), então x ∈ A. Encontre um
exemplo de funções f e g para as quais A =
⋃
n∈Z(2n, 2n + 1).
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