AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (18)

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MA22 - Unidade 16
Exerc´ıcios
Luiz Manoel Figueiredo
Ma´rio Olivero
PROFMAT - SBM
21 de maio de 2013
Regra de L’Hoˆpital
Calcule o valor dos seguintes limites:
1. lim
x→∞
3x3 + 2x + 2
x3 + x − 2 .
2. lim
x→0
1− cos x
6x2
.
3. lim
x→0
sen 4x
sen 2x
.
4. lim
x→0
2 cos2 x − 2
sen 2x
.
5. lim
x→1
arcsen x − pi2√
1− x2 .
6. lim
x→pi
2
−
(sec x − tan x).
7. lim
x→0
sen (2/x)
3/x
.
8. lim
x→1+
(x2 − 1) tanpix/2.
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Regra de L’Hoˆpital
9. No estudo de Processamento de sinais digitais utiliza-se uma
func¸a˜o chamada func¸a˜o sinc normalizada, definida por
sinc(x) =
sin(pix)
pix
. Mostre que lim
x→0
sinc(x) = 1.
10. Seja f deriva´vel em um intervalo aberto I . Mostre que se a
derivada de f e´ cont´ınua em I enta˜o
lim
h→0
f (x + h)− f (x − h)
2h
= f ′(x) .
11. Seja f duas vezes deriva´vel em um intervalo aberto I . Mostre
que se f ′′ e´ cont´ınua em I enta˜o
lim
h→0
f (x + h) + f (x − h)− 2f (x)
h2
= f ′′(x) .
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Aproximac¸o˜es por polinoˆmios
1. Mostre que se uma func¸a˜o f : I → R e´ deriva´vel em um ponto
x = a e p1(x) e´ seu polinoˆmio de Taylor de ordem 1 em a
enta˜o y = p1(x) e´ a reta tangente ao gra´fico de f (x) em
x = a.
2. Encontre a se´rie de Taylor da func¸a˜o f (x) = cos x em x = 0.
3. Encontre a se´rie de Taylor da func¸a˜o f (x) = 1x em x = 1.
4. Mostre que a se´rie de Taylor da func¸a˜o f (x) = (1 + x)p,
p ∈ R, e´ dada por
1 + px +
p(p − 1)
2!
x2 + · · ·+ p(p − 1) . . . (p − n + 1)
n!
xn + · · ·
Mostre que se p ∈ N, esta fo´rmula resulta na expansa˜o do
binoˆmio de Newton para (1 + x)p.
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Aproximac¸o˜es por polinoˆmios
5. Mostre que a se´rie de Taylor da func¸a˜o f (x) = arctan x em
x = 0 e´ dada por
x − x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ · · ·+ (−1)n x
2n−1
2n − 1 + · · ·
6. Use o polinoˆmio de Taylor de ordem 5 da func¸a˜o f (x) = sen x
em x = 0 para estimar o valor de sen 0.3. Usando a forma de
Lagrange do resto de Taylor, estime o erro ma´ximo da
aproximac¸a˜o obtida.
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